人教版八年级数学下册期末试卷培优测试卷.doc

人教版八年级数学下册期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．若有意义，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，则三角形的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．四边形BCDE中，对角线BD、CE相交于点F，下列条件不能判定四边形BCDE是平行四边形的是（　　）
A．BC∥ED，BE＝CD B．BF＝DF，CF＝EF
C．BC∥ED，BE∥CD D．BC＝ED．BE＝CD
4．某校有17名同学报名参加信息学竞赛，测试成绩各不相同，学校取前8名参加决赛，小童已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否参加决赛，还需要知道这17名同学测试成绩的（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
5．如图，菱形的边长为2，，点是边的中点，点是对角线上一动点，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
6．如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图所示，若AF＝5，CE＝12，则该三角形的面积为（　　）

A．60 B．65 C．120 D．130
8．如图，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动……照此规律运动，动点依次经过点，，，，，， 则的长度为（ ）

A． B． C．2020 D．4040
二、填空题
9．函数中，自变量的取值范围是______．
10．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是_______．
11．矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线_______．

12．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长是________．

13．一次函数的图象经过点，那么______．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC=8cm，rAOB是等边三角形，则AD的长为______cm．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线y=kx上，∠B1OA1=30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1＝1，则点B6的纵坐标是_________．

16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH ^ BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH=_______．

三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；
（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
19．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1
（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．
（2）求AC边上的高．

20．在矩形中，，，对角线、交于点，一直线过点分别交、于点、，且，求证：四边形为菱形．

21．观察下列各式:

化简以上各式，并计算出结果;
以上式子与其结果存在一定的规律．请按规律写出第个式子及结果．
猜想第个式子及结果(用含(的整数)的式子写出)，并对猜想进行证明．
22．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间的关系如图所示．其中甲蜡烛燃烧前的高度是，乙蜡烛燃烧前的高度是，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等（不考虑都燃尽时的情况)？在什么时间段内甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内甲蜡烛比乙蜡烛低？

23．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（提出问题）
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（类比探究）
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
（综合运用）
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
24．【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

【模型运用】
（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求，两点坐标；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，它交轴于点，交轴于点，在轴上是否存在点，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【模型拓展】
（3）如图4，在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，请直接写出的长．

25．如图所示，四边形是正方形， 是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动(点不与点重合)，另一直角边与的平分线相交于点．
(1)求证: ;
(2)如图(1)，当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点在边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

26．如图1，若是的中位线，则，解答下列问题：
（1）如图2，点是边上一点，连接、
①若，则 ；
②若，，连接，则 ， ， ．
（2）如图3，点是外一点，连接、，已知：，，，求的值；
（3）如图4，点是正六边形内一点，连接、、，已知：，，，求的值．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可．
【详解】
解：由题意得， ，
解得， ，
则m能取的为大于等于1的数，符合条件的为
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据二次根式和绝对值的非负性，可得 ，然后再由勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】
解：∵（a﹣3）2+|c﹣5|＝0，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴该三角形的形状是直角三角形．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，平方、算术平方根、绝对值的非负性，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】
解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选；A.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于比赛取前8名参加决赛，共有17名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】
解：由于总共有17个人，且他们的分数互不相同，第9名的成绩是中位数，
要判断是否进入前8名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
【点睛】
本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
5．A
解析：A
【分析】
连接BQ，BD，当P，Q，B在同一直线上时，DQ＋PQ的最小值等于线段BP的长，依据勾股定理求得BP的长，即可得出DQ＋PQ的最小值，进而得出△DPQ周长的最小值．
【详解】
解：如图所示，连接BQ，BD，

∵点Q是菱形对角线AC上一动点，
∴BQ＝DQ，
∴DQ＋PQ＝BQ＋PQ，
当P，Q，B在同一直线上时，BQ＋PQ的最小值等于线段BP的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△BAD是等边三角形，
又∵P是AD的中点，
∴BP⊥AD，AP＝DP＝1，
∴Rt△ABP中，∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝1，
∴BP＝，
∴DQ＋PQ最小值为，
又∵DP＝1，
∴△DPQ周长的最小值是，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，因为∠AED′＝50°，结合平角可求得∠DEF＝∠D′EF＝65°，再结合平行可求得∠EFC的度数．
【详解】
解：，
，
长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，
，
．
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
设小正方形的边长为x，则AB=5+x，BC=12+x，由全等三角形的性质可求AC得长，由勾股定理可求解小正方形的边长，进而可求解．
【详解】
解：设小正方形的边长为x，

∵AF=5，CE=12，
∴AB=5+x，BC=12+x，
∵△AFM≌△ADM，△CDM≌△CEM，
∴AD=AF=5，CD=CE=12，
∴AC=AD+CD=5+12=17，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
∴172=（5+x）2+（12+x）2，
解得x=3(负值已舍)，
∴AB=8，BC=15，
∴△ABC的面积为：×8×15=60，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，利用勾股定理求解小正方形的边长是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先求出P点坐标，再由直线l1:y=x+1可知,A（0,1）,则B1纵坐标为1,代入直线l2:y=x+中,得B1（1,1）,又A1、B1横坐标相等,可得A1（1,2）,则AB1=1,A1B1=2-1=1,可判断AA1B1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得A1A2B2、A2A3B3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y轴的直线上两点横坐标相等以及直线l1、l2的解析式,分别求A1B1,A2B2的长得出一般规律，再利用规律解答即可．
【详解】
解：由直线直线l1：y=x+1可知，P（-1,0）A（0，1），
根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等以及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），A1（1，2），B2（3，2），A2（3，4），B3（7，4），A3（7，8），
A1B1=2-1，A2B2=4-2=2，A3B3=8-4=4，…AnBn=2n-2（n-1）
当n=2020时，=22020-22019=2×22019-22019=22019（2-1）=22019．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合运用以及等腰三角形的知识．掌握平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y轴的直线上点的横坐标相等成为解答本题的关键．
二、填空题
9．且
【解析】
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得．
【详解】
由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了求函数自变量的取值范围、分式的分母不能为0、二次根式的定义，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
10．24
【解析】
【详解】
解：根据菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半可得菱形面积为
故答案为：24．
11．A
解析：10
【解析】
【分析】
先根据矩形面积公式求出AD的长，再根据勾股定理求出对角线BD即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，
∴AD=48÷6＝8，
∴对角线BD=，
故答案为10.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是根据矩形面积求出另一边的长．
12．A
解析：3
【分析】
利用矩形的性质结合条件证明△AOB是等边三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=3，
∴BC==3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，发现△AOB是等边三角形是突破点．
13．
【分析】
直接把点代入一次函数，求出的值即可．
【详解】
解：一次函数的图象经过点，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
14．A
解析：4
【详解】
∵△AOB是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8cm，∴AB=4cm，
在Rt△ABC中，BC==4cm，∵AD=BC，∴AD的长为4cm．
15．【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，从而得出AnBn=
解析：
【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，从而得出AnBn=OAn，列出部分an的值，发现规律an+1=2an，依此规律结合等边三角形的性质即可得出结论.
【详解】
设△BnAn An+1的边长为an，点B1，B2，B3，…是直线y= 上的第一象限内的点，
过A1作A1M⊥x轴交直线OB1于M点，

∵OA1＝1，
∴点M的横坐标为1，
∵∠MOA1=30°，
∴OM=2A1M
在Rt△OMA1中，由勾股定理（2A1M）2=A1M2+1
解得A1M=
∴点M的坐标为(1，)
点M在y= 上，
∴=
∵∠A1OB1 = 30°，
又△BnAnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1 = 60°，
∴∠OBnAn = ∠BnAnAn+1 -∠BnOAn=30°，
∴AnBn = OAn，
∵OA1=1，
∴a1 =1，
a2=1+1=2= 2a1，
a3= 1+a1 +a2=4= 2a2，
a4 = 1+a1 +a2十a3 =8= 2a3，
an+1 = 2an，
a5 =2a4= 16， a6 = 2a5 = 32，a7= 2a6= 64，
∵△A6B6A7为等边三角形，
∴点B6的坐标为(a7-a6，(a7- a6))，
∴点B6的坐标为(48，16)
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是找出规律:an+1=2an本题属于灵活题，难度较大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键.
16．【分析】
根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，
解析：
【分析】
根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据负整数幂、零指数幂、立方根和绝对值的性质求解即可；
（2）先化成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化成最简二次根式，再计算乘法即可；
（4）根
解析：（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据负整数幂、零指数幂、立方根和绝对值的性质求解即可；
（2）先化成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化成最简二次根式，再计算乘法即可；
（4）根据完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是明确各自的计算方法，仔细认真化简，会合并同类项．
18．（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股
解析：（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）如图，过点C作于点D

∵
∴
∴是直角三角形
∴
∴
∴
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域

∴海港C会受台风影响；
（2）当时，
台风在上运动期间会影响海港C
在中

在中

∴
∵台风的速度为20千米/小时
∴（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）△ABC是直角三角形．理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断；
（2）根据三角形的面积公式可求解.
【详解】
解：（1）△ABC是直角三角形．理
解析：（1）△ABC是直角三角形．理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断；
（2）根据三角形的面积公式可求解.
【详解】
解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意可得，AB＝，BC＝，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AC边上的高为h．
∵S△ABC＝AC•h＝AB•BC，
∴h＝．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．见解析
【分析】
根据矩形的性质，可证得，从而得到四边形为平行四边形，再由勾股定理，可得到，即可求证．
【详解】
证明：∵矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形
解析：见解析
【分析】
根据矩形的性质，可证得，从而得到四边形为平行四边形，再由勾股定理，可得到，即可求证．
【详解】
证明：∵矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵矩形，
∴，，
又∵，，，
∴，
，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质定理，菱形的判定定理是解题的关键．
21．；；第个式子为及结果为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理
解析：；；第个式子为及结果为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【详解】
解：

第个式子为及结果为

证明：左边
右边
成立
【点睛】
本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
22．（1），；（2），；（3）当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【分析】
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）先设出甲、乙两根蜡烛燃烧时，
解析：（1），；（2），；（3）当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【分析】
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）先设出甲、乙两根蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式，然后根据函数图象中的数据即可求得相应的函数解析式；
（3）根据题意，令（2）中的两个函数解析式的值相等，即可解答本题．
【详解】
解：（1）由图象可知，
甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是从点燃到烧尽所用小时分别是
故答案为：；
（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式

即甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式
设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式

即乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
∴，；
（3）由得即当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；观察图像可知，当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
23．（1）见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析（3）
【分析】
（1）延长，交于点，先证，得，．结合，知，即可得．从而得证；
（2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，
解析：（1）见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析（3）
【分析】
（1）延长，交于点，先证，得，．结合，知，即可得．从而得证；
（2）延长，交于点，由四边形是“等垂四边形”， 知，，从而得，根据三个中点知，，，，，据此得，，．由可得答案；
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，由及．可得答案．
【详解】
解：（1）如图①，延长，交于点，

四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长，交于点，

四边形是“等垂四边形”， ，
，，

点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，

则，
由（2）可知．
最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．
24．（1），；（2），或，；（3）
【解析】
【分析】
（1）如图1，过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题；
（2）分两种情况：①点在负半轴上，如图2，过点作，交于点，过点作轴于
解析：（1），；（2），或，；（3）
【解析】
【分析】
（1）如图1，过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题；
（2）分两种情况：①点在负半轴上，如图2，过点作，交于点，过点作轴于点，先证明，得出，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而得出答案；②点在正半轴上，如图3，过点作交于点，过点作轴于点，方法同①即可得出答案；
（3）如图4，过点作，过点作于交轴于，在轴负半轴上截取，过点作轴交的延长线于，先证明，再求出，再利用待定系数法得出直线解析式，得出点坐标，运用勾股定理求出，再由求出，最后再应用等腰直角三角形性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点作轴于，

点的坐标为，点的坐标为，
，，
等腰，，，
又轴，轴轴，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为，
与轴交点，
；
（2）存在符合条件的点．理由如下：
①点在负半轴上，如图2，
过点作，交于点，过点作轴于点，

，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
，；
②点在正半轴上，如图3，
过点作交于点，过点作轴于点，

，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
，；
综上所述，，或，；
（3）如图4，过点作，过点作于交轴于，
在轴负半轴上截取，过点作轴交的延长线于，

则，
，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
设直线解析式为，
，，
，
解得：，
直线解析式为，
令，得，
解得：，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
解得：（舍去），，
，，
．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，平行线的性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，运用面积法解决问题，属于压轴题．
25．（1）详见解析；（2），理由详见解析；（3），理由详见解析
【分析】
（1）根据，等量代换即可证明；（2）DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案；（3）在
解析：（1）详见解析；（2），理由详见解析；（3），理由详见解析
【分析】
（1）根据，等量代换即可证明；（2）DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案；（3）在边上截取，连接，证出即可得出答案．
【详解】
(1)证明:∵，
∴，
∴;
(2) 理由如下:
如图，取的中点，连接，

∵四边形为正方形，
∴ ，
∵分别为中点
∴，
∴
又∵
∴
∴，
又∵，平分
∴．
∴
在和中

，
∴
(3) .理由如下:
如图，在边上截取，连接，

∵四边形是正方形， ，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵平分， ，
∴，
∴，
在和中

∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．
26．（1）①4；②2，3，10；（2）；（3）36
【分析】
（1）①由三角形的中位线定理可得DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可求S△PDE＝S△BDE＝1，即可求解；②由三角形的中位线定理可得DE
解析：（1）①4；②2，3，10；（2）；（3）36
【分析】
（1）①由三角形的中位线定理可得DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可求S△PDE＝S△BDE＝1，即可求解；②由三角形的中位线定理可得DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可得S△PBD＝S△APD＝2，S△APE＝S△PEC＝3，即可求解；
（2）连接AP，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，可得S△PBD＝S△APD＝4，S△APE＝S△PEC＝5，可求S△ADE，即可求解；
（3）先证△NFK是等边三角形，可得NF＝NK＝NK＝FG＝KJ，可得S△PGF＝S△PFN＝7，S△PKJ＝S△PKN＝8，即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，连接BE，

∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，
∴S△PDE＝S△BDE＝1，
∴S△ABE＝2，
∴S△ABC＝4，
故答案为：4；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，
∴S△PBD＝S△APD＝2，S△APE＝S△PEC＝3，
∴S△ABC＝10；
故答案为：2，3，10；
（2）如图3，连接AP，

∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE＝EC，AD＝BD，S△ABC＝4S△ADE，
∴S△PBD＝S△APD＝5，S△APE＝S△PEC＝5，
∴S△ADE＝S△APD+S△APE﹣S△PDE＝4，
∴S△ABC＝4S△ADE＝16；
（3）如图4，延长GF，JK交于点N，连接GJ，连接PN，

∵六边形FGHIJK是正六边形，
∴FG＝FK＝KJ，∠GFK＝∠JKF＝120°，S六边形FGHIJK＝2S四边形FGJK，
∴∠NFK＝∠NKF＝60°，
∴△NFK是等边三角形，
∴NF＝NK＝FK＝FG＝KJ，
∴S△PGF＝S△PFN＝7，S△PKJ＝S△PKN＝8，FK是△NGJ的中位线，
∴S△NFK＝S△PFN+S△PKN﹣S△PFK＝6，
∵FK是△NGJ的中位线，
∴S△NGJ＝4S△NFK＝24；
∴S四边形FGJK＝24﹣6＝18，
∴S六边形FGHIJK＝36．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正六边形的性质等知识，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键．