八年级数学下册期末试卷培优测试卷.doc

八年级数学下册期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，14
3．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
4．在某次读书知识比赛中育才中学参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： S2＝ [（x188）2+（x288）2+…+（x888）2]，以下说法不一定正确的是（　　）
A．育才中学参赛选手的平均成绩为88分
B．育才中学一共派出了八名选手参加
C．育才中学参赛选手的中位数为88分
D．育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为704分
5．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，BC＝10，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，B为圆心，CD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，BE．则四边形AEBC的面积为（ ）

A．30 B．30 C．24 D．36
6．如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在平行四边形上，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）

A．18 B．17 C．16 D．14
8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　）

A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
二、填空题
9．若代数式有意义，则的取值范围是_____________．
10．菱形的一条对角线长为12cm，另一条对角线长为16cm，则菱形的面积为_____．
11．如图一根竹子长为8米，折断后竹子顶端落在离竹子底端4米处，折断处离地面高度是________米．

12．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为________．

13．已知一次函数的图象过点，那么此一次函数的解析式为__________．
14．如图，已知矩形ABCD中(AD＞AB)，EF经过对角线的交点O，且分别交AD，BC于E，F，请你添加一个条件：______，使四边形EBFD是菱形．

15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交ll于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去．则点A4的坐标为__；点的坐标为_____;点A2021的坐标为____．

16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则EF=________．

三、解答题
17．计算：
（1）+（﹣2）﹣2﹣+（π﹣2）0；
（2）（﹣2）2×+6．
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；
（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
19．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以AB为一边，面积为6的□ABEF，使点E、F均在小正方形的顶点上，并直接写出□ABEF周长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是BC边上的一点，且BF＝AB，连接EF．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）连接AF，交BE于点O，若AB＝5，BE+AF＝14，求菱形ABFE的面积．

21．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：．
22．小明爸爸为了让小明上学更近，决定在学校附近租套房子居住．现有甲、乙两家出租房屋，甲家已经装修好，每月租金为2500元；乙家未装修，每月租金为1800元，但需要支付装修费14000元．设租用时间为x个月，所需租金为y元．
（1）请分别写出租用甲、乙两家房屋的租金、与租用时间x之间的函数关系；
（2）试判断租用哪家房屋更合算，并说明理由．
23．将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，联结，过点A、D分别作的垂线、，垂足分别为点F、E．
①设M为中点，联结、，求证：；
②如果，P是线段上一点（不与点A、C重合），当为等腰三角形时，求的值．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．

（1）直接写出点D的坐标　　；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
25．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为　 　；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得，，
解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可．
【详解】
A.，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D.，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可．
【详解】
解：∵参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2＝ [（x1−88）2＋（x2−88）2＋…＋（x8−88）2]，
∴育才中学参赛选手的平均成绩为88分，一共派出了八名选手参加，育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为88×8＝704（分），由于不能知道具体的数据，所以参赛选手的中位数不能确定，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
5．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出，求出，根据菱形的判定求出四边形是菱形，根据菱形的性质求出，求出，再求出四边形的面积即可．
【详解】
解：，，，
，
是直角三角形，
即，
点是的中点，，
，
即，
四边形是菱形，
，
，
四边形的面积是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解题的关键是能求出是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，②等底等高的三角形的面积相等．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断④；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出∠ACB=∠EOF=63°，可判断③；证明△OAB≌△OAC，得到OA=OB=OC，从而推出∠OEF=54°，可判断⑤；而题中条件无法得出OD=OE，可判断②．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，∠BAC=54°，
∴AO⊥BC（三线合一），故①正确；
∠BAO=∠CAO=∠BAC=×54°=27°，
∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=×126°=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，即∠OAB=∠OBA=27°，
则∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°≠∠OBA，
由折叠可知：△OEF≌△CEF，故④正确；
即∠ACB=∠EOF=63°≠60°，OE=CE，∠OEF=∠CEF，
∴△OEF不是等边三角形，故③错误；
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（SAS），
∴OB=OC，
又OB=OA，
∴OA=OB=OC，
∠OCB=∠OBC=36°，
又OE=CE，
∴∠OCB=∠EOC=36°，
∴∠OEC=180°-（∠OCB+∠EOC）=180°-72°=108°，
又∠OEC=∠OEF+∠CEF
∠OEF=108°÷2=54°，故⑤正确；
而题中条件无法得出OD=OE，故②错误；
∴正确的结论为①④⑤共3个，
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
证明四边形ABEF是菱形，得到OA=OE，OB=OF=6，AE⊥BF，再在Rt△AOB中由勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】
解：∵以点A为圆心，的长为半径画弧交于点，
∴AF=AB，
∵分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，
∴直线AE是线段BF的垂直平分线， 且AP为∠FAB的角平分线，
∴EF=EB，∠FAE=∠BAE，
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BA=BE=AF=FE，
∴四边形ABEF是菱形；
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是菱形的判定、垂直平分线、角平分线的尺规作图、勾股定理等相关知识点，掌握特殊四边形的判定方法及重要图形的尺规作图是解决本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．

∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x
∴设直线AF的解析式为y=x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴=0，
∴b=，
∴y=，
由，解得
∴
∴PJ的最小值为=2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
9．且
【解析】
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】
解：根据题意得：1-x≥0，且x+1≠0，
∴且
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数和分母≠0是解题的关键．
10．96cm2
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线的积的一半求解即可．
【详解】
由已知可得，这个菱形的面积()，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，解答此题的关键是掌握菱形的面积等于两对角线的积的一半．
11．3
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（8-x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（8-x）米，
根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2
解得：x=3．
∴折断处离地面高度是3米，
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
12．D
解析：
【分析】
由题意易得OD=OC，∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝12，
∴，
∵∠AOD＝120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴；
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
13．
【分析】
用待定系数法即可得到答案.
【详解】
解：把代入得，解得，
所以一次函数解析式为．
故答案为
【点睛】
本题考查求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
14．E
解析：EF⊥BD
【分析】
通过证明△OBF≌△ODE，可证四边形EBFD是平行四边形，若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥BD．
【详解】
当EF⊥BD时，四边形EBFD是菱形．
理由：
∵四边形ABCD是矩形，
​∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠FBO=∠EDO，
在△OBF和△ODE中
，
∴△OBF≌△ODE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
故答案为：EF⊥BD.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，以及全等三角形的判定方法，熟练掌握性质及判定方法是解答本题的关键.
15．（4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出
解析：（4，﹣4） （﹣8，8） （21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合6=1×4+2；2021=505×4+1即可找出点A2021的坐标．
【详解】
解：观察，发现规律：
A1（1，2），
A2（-2，2），
A3（-2，-4），
A4（4，-4），
A5（4，8），…，
∴“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，
∵6=1×4+2，
A6（﹣8，8）
∵2021=505×4+1，
∴A2021的坐标为（21010，21011）．
故答案为：（4，﹣4）； （﹣8，8）；（21010，21011）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”．
16．【分析】
设，在中利用勾股定理求出x，再去证明BE=BF，再过点F作于点G，在中用勾股定理求EF长度．
【详解】
设，∵AD=BC=2，∴，
∵折叠，∴,
在中，，
得，解得，
∴，
∵折叠，∴，
解析：
【分析】
设，在中利用勾股定理求出x，再去证明BE=BF，再过点F作于点G，在中用勾股定理求EF长度．
【详解】
设，∵AD=BC=2，∴，
∵折叠，∴,
在中，，
得，解得，
∴，
∵折叠，∴，
∵，∴，
∴，∴，
如图，作于点G，则，，
在中，，．
故答案是：．

【点睛】
本题考查折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质，以及勾股定理方程思想去求边长，再想办法做辅助线构造直角三角形求线段长度．
三、解答题
17．（1）4；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的性质，零指数幂和负指数幂的性质计算即可；
（2）根据二次根式的乘法运算计算即可；
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
【点睛】
本题主要考查了二次根
解析：（1）4；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的性质，零指数幂和负指数幂的性质计算即可；
（2）根据二次根式的乘法运算计算即可；
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，结合负指数幂，零指数幂计算是解题的关键．
18．（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股
解析：（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）如图，过点C作于点D

∵
∴
∴是直角三角形
∴
∴
∴
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域

∴海港C会受台风影响；
（2）当时，
台风在上运动期间会影响海港C
在中

在中

∴
∵台风的速度为20千米/小时
∴（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）
解析：（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得,
将绕点顺时针旋转得，
连接,正方形ABCD即为所求．

（2）如图2所示，
∴S▱ABEF
由题意可知：
平行四边形ABEF即为所求．周长为．
【点睛】
本题考查作图、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．
20．（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）证，则，，得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，则，再由勾股定理得出方程：，解方程即可．
【详解】
（1）证明：四边形是平行
解析：（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）证，则，，得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，则，再由勾股定理得出方程：，解方程即可．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或，
当时，，则，；
当时，，则，；
菱形的面积．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
(2)结合题意，可将原式化为(-+-+-+…+-)，继而求得答案．
【详解】
解：(1)
解析：（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
(2)结合题意，可将原式化为(-+-+-+…+-)，继而求得答案．
【详解】
解：(1)方法一：===-；
方法二：===-；
(2)原式=(-+-+-+…+﹣)=(﹣)=-．
故答案为(1)-；(2)-．
【点睛】
此题考查了分母有理化的知识．此题难度较大，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法．
22．（1），；（2）当租期超过20个月时，租乙家房屋更合算；当租期等于20个月时，租甲家、乙家都可以；当租期低于20个月，租甲家房屋更合算
【分析】
（1）租金等于每月费用乘以租用月数．
（2）租金等于
解析：（1），；（2）当租期超过20个月时，租乙家房屋更合算；当租期等于20个月时，租甲家、乙家都可以；当租期低于20个月，租甲家房屋更合算
【分析】
（1）租金等于每月费用乘以租用月数．
（2）租金等于每月费用乘以租用月数，有装修费的再加上装修费即可．
【详解】
（1）根据题意，
租用甲家房屋：；
租用乙家房屋：；
（2）①由题意，可知：
，
解得：，
即当租用20个月时，两家租金相同．
②由，
解得：；
即当租用时间超过20个月时，租乙家的房屋更合算．
③由，
解得：，
即当租用时间少于20个月时，租甲家的房屋更合算．
综上所述，当租期超过20个月时，租乙家房屋更合算；当租期等于20个月时，租甲家、乙家都可以；当租期低于20个月，租甲家房屋更合算．
【点睛】
本题考查一次函数的具体应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
23．（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明
解析：（1）见解析；（2）①见解析；②或
【分析】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明，利用三角形内角和定理即可得出答案；
②设，则，设，则，根据勾股定理可得，即，从而得出，即可得到，根据是线段上一点（不与点、重合），不存在，可得出当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，分类讨论即可求得答案．
【详解】
解：（1）如图1，过点作于，于，

两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作于，连接，

则，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
经过点，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
设，则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
是线段上一点（不与点、重合），
不存在，
当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，
Ⅰ．当时，则，如图3，

，，
，
，
，
，
；
Ⅱ．当时，如图4，过点作于点，

在中，，
，
，
，
；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．
24．（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）
【解析】
【分析】
（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解
解析：（1）D（0，3）；（2）存在，6；（3）5秒，Q（，）
【解析】
【分析】
（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝，在Rt△D′EG中，可得，即可求出答案；
（3）运用待定系数法求得直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
（2）存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，

在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝，
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝；
（3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，

设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝＝（2﹣t）＝QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数的性质，线段的动点问题，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行分析．
25．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．
【分析】
（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS）
解析：（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．
【分析】
（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．
（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．
（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．
【详解】
解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．
理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
故答案为AD＝AB+DC．
（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG＝∠FAG，
∵∠BAG∠G，
∴∠FAG＝∠G，
∴FA＝FG，
∵CG＝CF+FG，
∴AB＝AF+CF．
（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．
证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．