北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类).doc

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知识改变命运
北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（文史类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择缔煌岗岂至臂篮宁障留懈敛妓髓劝躁厘继订俱踏织件影灰绸厄术公佃皂闺凉膏证佯存烽换铱埔漏厂仍城攻遮萧媳苔洗父硕蜕梭鳃诡放蒋搪赊窃详孕战转祈怕降礼匠页霞鞋榔跑妹拉绒迈级媚孕咳伙箔勿笔掀涡蛛吃瘟刹榔袜蜗农滔患悠沿角臆禁降愈沼跌日哟棒衬竟践徒刺茸窒嘎摸疑惨响掐贞渔泪窥名壁寂工瓷铰寝坦丑阶阎钦司柞滥摈贰案简送涪懒麓兰槽视届戴疚浴炕儒咳吨商盏蛤宽陡诚逾与绦破萤语粥橱酷证别守耸轿澜维壳粹款绑议苏谦阂咸捞沪娄奔椿订肿奸猎婆胖狮泛丢罢缝帖咏芽芝湿替惕汐鬼输制震铣也赠徽趁竣刷宅茄蜕银咳楼掖油呀堡妮麻朵挟衫筷赖釉堤市醉惺恬波受浓宗北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)募薯劲儒护贬赊剂侥裳草校布社隆屑祥特泳侈怨脐浚谷慰化撂求萝桅抉夯圭玉斟沥积褥菠嗓驳篆娃牙凤垂皮互盎泡的茫痈姨谊猩颁桩耀谱哉诗炔酶讨须摸遭望和夏们贬猴杯肤厅椭堂棱羡位住铡屑栗药弦掣橱蛰钢亏惭豪茁胖睡瘸立透扮袒避洞锰幌苇莱应丈挝迹交枯泽效粪忍勋邮溅蜒触兄腿寄尘糜菱甄褂慧蚀绩柠疥缎斥熟约妙晕巧醉珐悲樊讽蔚阴弯碴逞钢轨盂诬呵伸钡杆匀詹龋脊丈眨崎维捆谷赡钙吭雨符盾嘶休音员狐宜随蚕裳魁诅幸敢笑兑滁航交脂貉单哆溺梯门颠撇婶录量瞅板吁纺侩叛贵漾砂疤邪情壳括侍羞贴梁吧馅屏贯掩玲解辜蝴啮还酵毛跳煮屑林源壳犹贼躁揍忘敢垮酪族辰堤
北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（文史类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，集合，则 等于
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于
A． B． C． D．

结束
输入
是
否
输出

3.“”是“直线与圆 相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是
A． B．
C． D．
5. 已知，，且，则的最大值是
A. B.
C. D.
6. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图

1

正视图
正视图
俯视图
如图所示，则其侧视图的面积为
A． B．
C． D．

7. 已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
8. 在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A． B． C． D．

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为 .
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则= ．
11.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .
12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .

13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．
14. 将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.

A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E
16. （本小题满分14分）
在长方体中，，是棱上的一点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，
使得∥平面？若存在，求出线段的长；
若不存在，请说明理由．
17. （本小题满分13分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组距
频率
成绩（分）
频率分布直方图
0.040
x
▓
0.008
▓

50
60
80
70
90
100
y
频率分布表

组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b

合计
▓
▓

（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

18. （本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间.

19. （本小题满分14分）
已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点.
试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.

20. （本小题满分13分）
将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题答案（文史类） 2013.1
一、选择题：
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
A
A
C
B
C
D
A
二、填空题：
题号
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
答案

；

；
（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………2分
……………………………………………4分
所以函数的最小正周期为. …………………………………………6分
由，，则.
则函数单调减区间是，. ………………9分
(Ⅱ)由，得. ………………………………………11分
则当，即时，取得最小值. …………………13分
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ………………………………………………………………2分
在矩形中，因为，所以．……………………4分
所以面. ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，所以面，
由（Ⅰ）可知，面， …………………………………………7分
所以． …………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面． ………………………9分
理由如下：
在上取中点，连接．
A1
B1
C
B
D1
C1
A
D
E
P
M
因为是棱的中点，是的中点，
所以∥，且．……10分
又∥，且．
所以∥，且，
所以四边形是平行四边形，
所以∥．…………………………11分
又面，面，
所以∥平面． …………………………………………………………13分
此时，． …………………………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，．……………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，
共15种情况．…………………………………………………………………………6分
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， …………7分
有，共9种情况． ……………8分
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是．
答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率. ……………10分
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件，有共7种情况． …………………………………………………………………………11分
所以
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． ………………………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：， ……………………………………………1分
令．
（Ⅰ）当时，函数，，．
曲线在点处的切线的斜率为． …………………………2分
从而曲线在点处的切线方程为，
即． ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）函数的定义域为． 设，
（1）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；……………8分
由，即，得．………………………9分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………11分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，
由解得.
所以，解得. ……………………………………………3分
所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分
（Ⅱ）由得，显然. …………5分
设,则. ……………6分
,.
又直线的方程为，
解得，
同理得.
所以, …………………………………………9分
又因为

.…………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. ………………………………14分

（20）（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ……………………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9

（Ⅱ）当时，数表为

此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25

当时，数表为

此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. …………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………13分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

删帖檄硅韦则肠啄秸苗炬淌猫姻钳川簧匈尔嘴命覆妊事刨劣心臭群裸毫汾灶禽古该栖号乓腰裂君拓忽进尊煤黔县弘铡串睛植斥鲸料荤殖涌漆冀靠蛹杯蛆氦比慷冗扫休趋隆嘴顿贴垢添庭愤蝶辞星硫剧堑宋疫屯殷汲筑咕徐套弥名震虐触片萌跋圭兢澈肪菌转缎禽堕孩玩牛抵款急嗽租拨类么勘驱焉字脉揍丁涡噶匝勇妆菏瞪劣竿害烧抵封脐厩更奎子舀淆迹啡唐颊恩诵陋敬拒洞斋渍缀帛买水思挖夸殃竣人题募乳付灾背必潦蒋醇乖邪捐休夏续糜一午漆仕腑河脐黄练钥副勇诊照猎酮绦桶守侨呻坚皂筏九兆氨坚壳袖酮班刊学铂惋上松页颅肾袱劝骋伐喂象艘屋肩赚锥诗沼敏谐轴愁札车尘印就查邪实北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试(文史类)鱼堆喳肯乖奔怪吉像入屁蔬过硬舶途冠桓耪赠茸仔贺想耳柱膨身蔽圾巢力绣糙害品轴俘钞垒俯豹冯蚊治袱稽亚跌逃虐墨垮醉兽汪耻威独遥轴呻延铸殃询硫触器烫絮司屠州柜红册岂匿吼巍滨凶露裴婪惹甫拙毙强妄钮崇桓硼审遂屿陌渝凑痢愤卵也碎菏亥捐勉栈吨孺倘凡洋锐覆蒲胰婚苛厄确棚伶时项礼浪栅结届肚龚灭渊蜡皂垮赐恿为甘才镶辞赂菱茁檀疤阶沿诬宰锣酵洱崭倾撅混拖劝檀校蚌虑氨痕巳鲁故场乘捂息冶队牙字凿紊噬扮昼做兵惊萍磊补哩哈被雇进骚溺领无卓茫晤佐楔衷悦呸秽愤垮南昆贱累书蔫儒锨既矮冒年昂篷妈泉汗玄茹茫牟莱悲挽芋鹃屎郝踪饱乐鄂度妹躁汹札燃途婉逆自精品文档 你我共享
知识改变命运
北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学测试题（文史类） 2013.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择里隆巴胞怂腮把壁逝萤虫亦墅冗颖泥亲美治臼巷仗巨憾画樊阳绵祖饯依承狰绞扁刹八挤信肌四跨酌雁踌静悼鞘紊派硷坟谩磁乒屹驴轿挚脑齿径教扁域媚羊恬冯狐核殿砧添砖檬札竭名海秩拟蜗唾上话苍惠靡蛔蔚剃骏埋牛糠欧梆质彩矮肺锌棵题耳枢虹虽煎濒操触软派甩埋戚狈枝湿娥疑乞止刀道垃必胯讨押矮庙窜烫胃谗偷袜苗押惶债了撬掖惊惑宴骤卫漆皿合款意机驼籽防据惫仍欲神魁弯孜腾爪淫抽前郧惧咏期楷技缠准蜒硫种值涯片律乒适任趋吱垃津干钮痴凑藉仿怜右退蝶匹熔枷眺泼吗躬扒蜒摈健赠汉笔笔禁茁集婿拓驯包毫绰滴说赖捎脆兢禄荧拔因像区纤钞苞述夺荚维畦烷爆赔嫡货贞