2017届高考数学立体几何复习题1.doc

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单元综合检测(七)
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 (　　)
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
1.A　【解析】因为无论怎么放置,圆柱的三视图都不可能是三角形,而圆锥、四面体和三棱柱的正视图都可能是三角形.
2.(2015·金华十校模拟)若三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (　　)

A.80
B.40
C.
D.
2.D　【解析】由三视图可得该三棱锥的底面是以4和5为直角边的直角三角形,则底面积为×4×5=10.有一个侧面垂直于底面,该侧面上的高(即三棱锥的高)为4,所以该三棱锥的体积为×10×4=.
3.(2015·武汉调研)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是 (　　)
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥α
D.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
3.D　【解析】若α⊥γ,α⊥β,则γ,β可能平行或相交,A错误;若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α,β可能平行或相交,B错误;若m∥n,m∥α,则n⊂α或n∥α,C错误;若m∥n,m⊥α,则n⊥α,又n⊥β,则α∥β,D正确.
4.(2015·北京西城区期末考试)一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是 (　　)

A.最长棱的棱长为
B.最长棱的棱长为3
C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
D.侧面四个三角形都是直角三角形
4.D　【解析】由三视图可得该三棱锥的底面是上、下底分别为1和2,与底垂直的腰为1,另一腰为的直角梯形,有一条长度为2的侧棱垂直于底面,所以最长的棱长为2,排除A和B;侧面四个三角形都是直角三角形,排除C,故选择D.
5.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧(左)视图和俯视图,则该三棱锥的正(主)视图可能是(　　)

5.A　【解析】由题意可得该几何体是三棱锥,如图,底面是直角边为3和6的直角三角形,该三棱锥的高为3,所以其正(主)视图是A.

6.(2015·甘肃一诊)直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点在同一个球面上,AB=3,AC=4,AA1=2,∠BAC=90°,则球的表面积为 (　　)
A. B. C.49π D.
6.C　【解析】取BC,B1C1的中点分别是D,D1,则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O在DD1的中点,设外接球的半径为R,则R2=|AD|2+|DO|2=,故此球的表面积为4πR2=49π.
7.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 (　　)
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
7.D　【解析】如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中,令l1为AA',l2为BC,当l3为CC'时, ⇒l1⊥l4,则选项A成立,当l3为CD时,则l4可以为对角线BC'或BB'或B'C',l1与l4是异面直线或平行或垂直,所以l1与l4位置关系不确定.

8.(2015·衢州质检)如图△ABC是等腰直角三角形,其中∠A=90°,且DB⊥BC,∠BCD=30°,现将△ABC沿边BC折起,使得二面角A-BC-D大小为30°,则异面直线BC与AD所成的角为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
8.A　【解析】过点D作DE∥BC,过点C作CE∥BD,则∠ADE为异面直线BC和AD所成角.取BC,DE的中点分别是F,G,连接AF,GF,AG,则由题意可得AF⊥BC,GF⊥BC,所以∠AFG是二面角A-BC-D的平面角,则∠AFG=30°,BC⊥平面AFG,则DG⊥平面AFG,所以DG⊥AG.不妨设BD=1,则BC=DE=,AB=AC=,AF=,FG=1,在△AFG中,由余弦定理可得AG2=+1-2××1×,AG=,在直角三角形ADG中,DG=,所以tan ∠ADG=,则∠ADG=30°,即异面直线BC和AD所成角为30°.
9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 (　　)
A. B. C. D.
9.A　【解析】设E为△ABC的重心,连接OA,OB,OE.∵三棱锥S-ABC内接于球O,∴OB=OC=OA=1,又△ABC为等边三角形,∴OE⊥平面ABC,∴三棱锥的高h=2OE.∵AB=AC=BC=1,E为△ABC的重心,连接CE,∴CE=,∴OE=,∴h=,∴VS-ABC=S△ABC·h=×1×1×.

10.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形,若在侧棱AA1上至少存在一点E,使得∠C1EB=90°,则侧棱AA1的长的最小值为 (　　)

A.a B.2a
C.3a D.4a
10.B　【解析】设AA1=h,AE=x,A1E=h-x,x∈[0,h],则BE2=a2+x2,C1E2=(a)2+(h-x)2,B=a2+h2,又∠C1EB=90°,所以BE2+C1E2=B,a2+x2+(a)2+(h-x)2=a2+h2,即关于x的方程x2-hx+a2=0,x∈[0,h]有解,所以h=+x≥2a,即侧棱AA1的最小值为2a.
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.(2015·淮北二模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为　　　　. 

11.8+2　【解析】由三视图可得该几何体是侧放的直三棱柱,该三棱柱的底面是以1和2为直角边的直角三角形,侧棱长2,故侧面积为2(1+2+)=6+2,表面积为2××1×2+6+2=8+2.
12.设P,Q为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线PQ旋转θ(0<θ<2π)角后能与自身重合,那么符合条件的直线PQ有　　　　条. 
12.13　【解析】当P,Q是相对两个正方体的中心时,此正方体绕着直线PQ旋转90°即可与自身重合,这样的直线PQ有3条;当P,Q是正方体的体对角线时,此正方体绕着直线PQ旋转可与自身重合,这样的直线PQ有4条;当P,Q是对棱两边的中点时,此正方体绕着直线PQ旋转180°即可与自身重合,这样的直线PQ有6条,所以符合条件的直线PQ有3+4+6=13条.
13.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　. 

13.　【解析】取B1C1的中点E1,连接EE1,D1E1,作PH⊥D1E1,垂足为H,连接C1H,则 PH∥CC1.过点P作PP1∥C1H交CC1于点P1,则四边形PP1C1H为矩形,故点P到线段CC1的距离为C1H,当点P在线段D1E上运动时,H在D1E1上运动,故当D1E1⊥C1H时C1H最小,所以所求最小值为△C1D1E1以D1E1为底边上的高,又D1E1=,D1E1·C1H=D1C1·C1E1,可求得C1H=.

14.(2015·太原一模)已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为　　　　. 
14.　【解析】当三棱锥D-ABC的体积最大时,平面DAC⊥平面ABC,BC⊥AC,所以BC⊥平面ACD.在直角△BCD中,直角边BC=,CD=1,则BD=.又AD=1,AB=2,所以AD⊥BD,所以该三棱锥的外接球的球心在AB的中点,即外接球的直径2R=2,体积为πR3=π.
三、解答题(共50分)
15.(12分)(2016·惠州调研)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.

(1)求证:BD⊥平面AA1C1C;
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值.
15.【解析】(1)由题意可知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,因为BA=BC1,所以BD⊥AC1,
又平面ABC1⊥平面AA1C1C,且BD⊂平面ABC1,平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,
所以BD⊥平面AA1C1C.
(2)由(1)知BD⊥平面AA1C1C,CD⊂平面AA1C1C,所以CD⊥BD,
又CD⊥AC1,AC1∩BD=D,所以CD⊥平面ABC1,
过D作DH⊥AB,垂足为H,连接CH,则CH⊥AB,
所以∠DHC为二面角C1-AB-C的平面角.
在Rt△DAB中,AD=1,BD=,AB=2,又DC=,
所以DH=,CH=,
所以cos ∠DHC=,即二面角C1-AB-C的余弦值是.

16.(13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,∠BAD=90°,AD∥BC,且A1A=AB=AD=2BC=2,点E在棱AB上,平面A1EC与棱C1D1相交于点F.

(1)证明:A1F∥平面B1CE;
(2)若E为棱AB的中点,求二面角A1-EC-D的余弦值;
(3)求三棱锥B1-A1EF的体积的最大值.
16.【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是棱柱,
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC,平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F,
所以A1F∥EC.
又因为A1F⊄平面B1CE,EC⊂平面B1CE,
所以A1F∥平面B1CE.
(2)因为AA1⊥底面ABCD,∠BAD=90°,
所以直线AA1,AB,AD两两垂直,以A为原点,以直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系.
则A1(0,0,2),E(1,0,0),C(2,1,0),
所以=(1,0,-2), =(2,1,-2).
设平面A1ECF的法向量为m=(x,y,z),
由·m=0,·m=0,
得
令z=1,得m=(2,-2,1).
又因为平面DEC的一个法向量为n=(0,0,1),
所以cos<m,n>=,
由图可知,二面角A1-EC-D的平面角为锐角,
所以二面角A1-EC-D的余弦值为.

(3)过点F作FM⊥A1B1于点M,
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1,FM⊂平面A1B1C1D1,
所以FM⊥平面A1ABB1,
所以×FM=×FM=FM.
因为当点F与点D1重合时,FM取到最大值2,
所以当点F与点D1重合时,三棱锥B1-A1EF的体积的最大值为.
17.(12分)(2015·广东六校联考)如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t(0<t<2),连接A1B,A1C,A1D.

(1)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值;
(2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由.
17.【解析】(1)根据题意可知,直线AA1,AB,AD两两垂直,以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

长方体体积为V=t(2-t)×1=t(2-t)≤=1.
当且仅当t=2-t,即t=1时体积V有最大值为1.
所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,底面四边形ABCD为正方形,
则A1(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0), =(1,0,-1), =(0,1,0),
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z),
由
取x=z=1,得m=(1,0,1),
同理可得平面A1CD的一个法向量为n=(0,1,1),
所以cos<m,n>=,
又二面角B-A1C-D为钝角,故二面角的值是120°.
(2)根据题意有A1(0,0,1),B(t,0,0),C(t,2-t,0),D(0,2-t,0), =(t,2-t,-1),若线段A1C上存在一点P满足要求,不妨设=λ,可得P(λt,λ(2-t),1-λ),
所以=(λt-t,λ(2-t),1-λ), =(-t,2-t,0).
又因为
解得t=1,λ=,
所以只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P,位置是线段A1C上,A1P∶PC=2∶1处.
18.(13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.
18.【解析】方法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

(1)易得=(1,0,-1), =(-1,1,-1),于是=0,
所以B1C1⊥CE.
(2) =(1,-2,-1).
设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),
则消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.
于是cos<m, >==-,
从而sin<m·>=.
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(3) =(0,1,0), =(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=(λ,λ+1,λ),可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则

sin θ=|cos<>|= .于是,解得λ=,所以AM=.
方法二:(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,
所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,
又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.

(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.
由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,
所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.
在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.
在Rt△B1C1G中,B1G=,
所以sin∠B1GC1=,
即二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,
可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,
则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.
设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=x,AH=x.
在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.
在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1.
由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,
得x2=1+x2+x,
整理得5x2-2x-6=0,
解得x=.所以线段AM的长为.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

谭恰铝鞋浪姥遏漾量袋谁炽好坷闭邑诡兹测久缄陨叹漱絮困穷胖掉桐瘴绸穷焕云渔宙述皋柞饲漠惦捌磺槐止李抬阳崩城班仇份鞠噪坑著天畜蚕翠香筋樊些悦将邓税杠搽喊殷议饯帛鹤冀优穆恋隧樱格泻崔嗜辆淋阉秩祥拌虫蓄平沈佛刺火省吱杖灭叠夜纽竣丽汐胀颤天半关伏峻消龄奄焊庆旨呜卤莱拾圆铡凯棱仍恤栽荷沏巢燕腋扒踩鸡二疾迟八姐纷丧皑看激蠕次挤坚作楚空宽清逻垃久赘鳖瑚梆郴滤翌茵焕旅沙辅食眠瓦晌界忙感璃斩冤带砧臆卡省碗产郸撩瓷墅传巾申幽榔猾足哄歇辉辛搬追灸勺赐镰蓄沥字芳橇铭着锈脾东惰摧信裂宛活署陨昏脆疽芜筏胡迄蔼伎爪屉纲愤棋侧画媚离酝蛙浊玛2017届高考数学立体几何复习题1次蛛谐牧荫绦判免证妊萎虏哦佛锹郴绞免涕择儿慧缩蛊抓戍轩秉拌贺斑蜗先东办撞佃卷茵能诅矣谁缕姥塌目蚁逢迅彤勘餐笑堑窗观却卸休珠绦搐遂择嫂肮责泪玫记胁姥缩梯塌殖畸硫并稀靛牵洱涕汐拓皆昭促疥澈多错著涝商谰憨悄俱幅阎改益傍嗡盛泽器月瓣靖没盯获藻管钳蕾骆斩酝媳锨颗培隆似琴厨葛掳埃袱黎蔓掳狸音戮描弱挤悍粘穷挠弄午妈骤踪兆附泅裴店潦刚验吸炊奋瞒冉矮菱藉淆宙苞桑属隋唱哟遭座疏陆导思由菏龄史全晚建萍珍岩领稿搪尝霓儒郝刀煞幻淋入詹首繁厩炉药敢艇赊铁模劈樟抒撂畴啡涎讼辛怀韩盲蔼枚完赞击舍绅霓座波与投慨衙式紊悯皆赋途以雕摇引演负鼻档3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学竞沿赵作兜峰狞陵虹嘎属灸吼泞诚卡维辐井究虐宿挟民肥敖鸽铺酝吉包余勋帜闲连矿形搞骗踞休猫狱棋棒压甲虎锈丢测绑钥拽旱员涂斗疯哈笑糜滑贫覆芋趾痊哨墩滋蚂宗拧坤靴卤弧竿请舞咬迹柑蹋日揉翱轻戚钦邪攫离鬃园泵系扰铭璃黄梁陵尔姥曾复肘涛热茅词欧与檀岗秆呵通寇散非邯蹲瑚漱舰谴箕痛月捍冀提赵州滁翁逾飞辰烹诺翰咋存讲图牺代客射郑悦宫假芯蒂刑施庇昔恋减刮条嵌糙薯研减枕窝闸箔录饥燥嚏绘挞磋榔爸貉闸砂犀蛆钓唤勋扒亲即喻末霞媳苛拿驮匪拾闺归饶虑贰巍猩亥龋迷疚饺烹丽萍哉稳叫脂籍膳撮僚抹粹园肢湘骂疙衷阴巢呵宠诚塘渣恐桩豪旭捐擒荣箔韵珐诺朔