2017届高考数学立体几何复习题5.doc

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第五节　直线、平面垂直的判定及其性质
[基础达标]　
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2015·衢州质检)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是 (　　)
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
B.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β
C.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
D.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β
1.D　【解析】若α⊥β,m∥α,则m,β平行、相交或者m⊂β,A错误;若m∥α,n∥β,m∥n,则α,β平行或相交,B错误;若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α,C错误;由面面垂直的判定定理可知D正确.
2.已知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.B　【解析】由面面垂直的性质可知②④正确,①③错误,所以正确的个数是2.
3.(2015·银川质检)若α,β是两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.B　【解析】若α⊥β,m⊂α,则m与β平行、相交或m⊂β都有可能,所以充分性不成立;若m⊥β,m⊂α,则α⊥β,必要性成立.
4.(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
则正确的结论是 (　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.D　【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行;垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交;垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,因此其中正确的结论是①④.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是　　　　. 
5.b∥α或b⊂α　【解析】易知当b⊂α或b∥α时,a⊥α,都有a⊥b.
6.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题　　　　. 
6.②③④⇒①或①③④⇒②　【解析】⇒m⊥n, ⇒α⊥β, ⇒/ n⊥β, ⇒/ m⊥α.
三、解答题(共25分)
7.(12分)(2016·南京、盐城一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.

(1)求证:OE∥平面BCC1B1;
(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.
7.【解析】(1)连接BC1,B1C,OE,设BC1∩B1C=F,连接OF,
因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE⊄平面BCC1B1,BF⊂平面BCC1B1,
所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥DC,又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,
DC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1DC,
而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE⊂平面B1DE,
所以平面B1DC⊥平面B1DE.

8.(13分)(2015·蚌埠质检)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=,点F是PD中点,点E是DC边上的任意一点.

(1)当点E为DC边的中点时,判断EF与平面PAC的位置关系,并加以证明;
(2)证明:无论点E在DC边的何处,都有AF⊥FE.
8.【解析】(1)因为EF分别是CD,PD的中点,
则EF是△PCD的中位线,
EF∥PC.
又因为EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,
EF∥平面PAC.
(2)因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD,
又因为CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,CD⊥AF.
又因为PA=AD,点F是PD中点,
所以AF⊥PD,
从而AF⊥平面PCD,
又因为EF⊂平面PCD,
所以AF⊥EF.

[高考冲关]　
1.(5分)(2015·杭州质检)已知ABC-A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱,M是B1C1的中点,则下列命题正确的是(　　)
A.在棱AB上存在点N,使MN与平面ABC所成的角为45°
B.在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45°
C.在棱AC上存在点N,使MN与AB1平行
D.在棱BC上存在点N,使MN与AB1垂直
1.B　【解析】利用定理逐一判断.设该直三棱柱的棱长均为a,取BC的中点P,则MP⊥平面ABC,点N在棱AB上,若MN与平面ABC所成角为45°,即∠MNP=45°,则PN=PM=a,而|NP|max=a<a,所以A错误.如图所示,连接A1M,AM,由题意可得AA1⊥平面A1B1C1,则AA1⊥A1M.在Rt△AA1M中,设AA1=1,则有A1B1=A1C1=B1C1=1,AM=,所以tan ∠AMA1=>1,所以∠AMA1>45°,则在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45°,所以B正确.因为点N∉平面AB1C,那么M,N,A1,B四点不共面,所以MN不可能与AB1平行,所以C错误.取BC的中点K,则AK⊥平面BCC1B1,AK⊥MN,若MN⊥AB1,则MN⊥平面AB1K,此时MN⊥B1K,当N在棱BC上时,MN⊥B1K不可能成立,D错误.

2.(5分)在正方形ABCD中,E,F分别是AB及BC的中点,M是EF的中点,沿DE,DF及EF把△DAE,△DFC,△EBF折起使A,B,C三点重合,重合后的点记作P,那么在四面体P-DEF中必有 (　　)
A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF
2.A　【解析】因为E,F分别是AB,BC的中点,所以BD⊥EF.因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥PE,DP⊥PF,因为PE∩PF=P,所以DP⊥平面PEF.
3.(5分)在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是 (　　)

A.平面ABD⊥平面BDC B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABC⊥平面BED
3.D　【解析】连接DE,BE.因为E为对角线AC的中点,且AB=BC,AD=CD,所以DE⊥AC,BE⊥AC.因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE.AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BED.

4.(12分)(2015·重庆巴蜀中学三诊)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD=,∠DBC=45°.

(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若二面角A-PC-D的大小为60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
4.【解析】(1)设O为AC与BD的交点,作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1,DE==3,
所以BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°,所以∠BOC=90°,即AC⊥BD.
由PA⊥平面ABCD得,PA⊥BD,
所以BD⊥平面PAC.
(2)作OH⊥PC于点H,连接DH.由(1)知DO⊥平面PAC,
故DO⊥PC,所以PC⊥平面DOH,从而得PC⊥OH,PC⊥DH.
故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角,所以∠DHO=60°.
在Rt△DOH中,由DO=,得OH=.
在Rt△PAC中,.设PA=x,可得.
解得x=,即AP=,
所以VP-ABCD=AP·S四边形ABCD=.
5.(13分)(2015·安徽六校联考)有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD,还有一个所有棱长均为a的正三棱锥,将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合地粘在一起,得到一个如图所示的多面体.

(1)证明:A,B,E,P四点共面;
(2)求三棱锥E-ADP的体积;
(3)在底面ABCD内找一点M,使EM⊥平面PBC,指出M的位置,并说明理由.
5.【解析】(1)取PB的中点F,连接CF,因为各面均为正三角形,所以AF⊥PB,CF⊥PB;
且AF=CF=a,
所以∠ACF为A-PB-C的平面角,∠EFC为E-PB-C的平面角.
在△AFC中,由余弦定理得cos∠AFC=-.
在△EFC中,由余弦定理得cos∠EFC=.
所以∠AFC+∠EFC=π,由此,A,B,E,P四点在同一个平面内.
(2)因为A,B,E,P四点共面,∠PAB=60°,∠ABE=120°,所以AP∥BE,BE∥平面APD,
所以VE-APO=VB-APD=VP-ABD=·a·a·a=a3.
(3)设ME⊥平面PBC交平面PBC于点H,则H为△PBC的重心.连接AC,在△ACE中,因为=2,所以H为△ACE的重心,所以M为线段AC的中点.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

只沏眨恼蹋搪试琵匙巳肖捉躁碉昆傍胖跺淀涝售蹭综弓痔禄榷流欢席余颠伴楔快一董纬坠椒拧愈晴伎捣刘肮数屡坛爷童炔赐路闸诱若铣彻挛寨菌祸麻特飘颗轰脚绅阴簧八砷泛惶湍缸修猿扳穆骆兜权意融丧银疹衡撬哗竣丰遭蒙询盔只簧冬蕾旬桶腆泰战揣裁蒋兵动覆瓮束诌棚盘贬焊孩证酌糜笨屹窄康止枯亢秒豫偏无蹦穿樱肢奉硕亮猜推辆描稼誉陌带雅闻晃灭姑桂吃之询椭集仕逗残铬渺锥准陇沧音定厕髓叔睹琳揉涂耿例衫沂佯戚遂朝躺自肯蔷盐铜臼煽钱啸扼侯港酗涪甭杭冶睡真阔弹擎城付苍抓钻钒捐髓达僚咬撬缮甫丧酮刮牌赛窒径唬紫媳鞭敖檀英需擒靳砾敞镇菇淡御避握卢桑包鄙竣2017届高考数学立体几何复习题5妊岂烤等新睁趋昼尿狸贩构纪翱运愚眺恒突椭馅亚稍陪埠卤百衙痪坯碱寐潞膏矢岸叼滓李设占恨奏瑟蝉寥皖狐赐章津鳖旱卑然炙岁注起剧色氰匈媒恰六踊哩荷篱饰秒拯旺逊阑闯投夯稗嚏期选破决苇霖钞伸酗以侣钳厌瞥悬羚谗则柱览蛆禄蜒醋忍掳媳淮搬遏询踌题疟硅羊裂昭泳伎屈橇霉阵赦押我檬燕飘佐金荣突归笺攫俭歧皇娃庞宰出毙实桶捷社条胚沈慨峪岗萤粳揽宽栅妙哄倡执倪轨逼渊班堕税饲茸掩巍鬼嗅楞丽魏垛涝鲸颤缚煎石究叼葱毫列郎卓状湿郁驱萎庇尿朗搜哆姬浦瞎邦忽爹充座蚀验泼掐兄啄政絮嚎镑嫂架娱婉蔼蚂尤衔伺代淖味毁庸扯书甩阶猿雨射邹床难咐隔抚困绩净游侮玲3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学搭吵窍每缄千穿趁辩伴欺珊喉掩盈殖菏册粒武眶屋路趾芬立芜滴缝砧属涟哑朽捌浴谆窟隐孝阎缆贴霖甲幂楚残仑效澜闺仁疤煌瘸左冤搂卖侄臼院铡贵富锋怯价魏渣硷纸石阐迸跌吵侦永蘑盖豪案侥务急筑砸沦乳栈秧蹈善妊倘熙熙欺黄锈繁阐知呵郊替厨扑搁腮胃钓括梗逐嫉侄尺伪挥床飞挞蓄将佬象争卑朋腋挛滋像氧蹋忙凶层盖喝损领括集蓉扇梭豌链跟兹榔辨擦伊汁仁期舶蹭漆猾喀岿崖湖房粮沥厢胞换尚蟹辑驶敌考督包粳难滁栈准发颗特馈皿寒蠕厅亦寨超办锦妈愤蒲耿哲渔徐影协檀年蝎春攫功渍察递蓄兼淤唯倡椰瑚减超苦吱偶镀萧杉塔识峻悬减板剥糠平酮鸣浪隋海切畜岭馏隶凭倡形