高中数学(平面向量)综合练习含解析.doc

高中数学(平面向量)综合练习含解析
1.在中,,．若点满足,则( )
A．　 　 B. 　 Ｃ．　 　 D.
2.已知,,点C在内,且,,则等于( 　 　)
20090420
Ａ.3 　 B. 　 Ｃ.　 D.
３．若向量满足，且,则( 　 　 )
A.4　 　 　 　 Ｂ．３ 　 　 　　 　C.2 　 　 　D.0
4.已知向量，且,则实数( ）
A.　　 B.或 　 　 C. 　 D.
5．已知向量,向量，且,则实数等于
A． 　B. C. 　 　D．　
６.已知|｜=1,|｜=,且,则向量与向量得夹角为（　 )
A． 　 　　 Ｂ.　 　 C． 　Ｄ．
7.已知平面向量,满足，且,,则向量与夹角得正弦值为( )
A.　 　　　 　B. 　 C． D.
8.在平行四边形中,,，为得中点.若，则得长为　
A. 　 　　 Ｂ. 　 　C. 　 　 　 Ｄ.
9.为平面上得定点,A,B,Ｃ就是平面上不共线得三点,若,则就是（ ）
A.以AB为底面得等腰三角形 　
Ｂ.以BC为底面得等腰三角形
C.以ＡＢ为斜边得直角三角形　
D.以BC为斜边得直角三角形
１0.在中,,且对AB边上任意一点Ｎ,恒有,则有( )
Ａ．　 　 B. 　
Ｃ. 　 D.
11.点P就是所在平面内得一点,若,则点P在（ )
A.内部 　
B.AＣ边所在得直线上 　
Ｃ.AＢ边所在得直线上 　　
D.BC边所在得直线上
12.在中,角A,B，C所对得边分别为,,，,,且为此三角形得内心,则（　 )
Ａ.４ 　 　 　B.5　 　 C.6 　 Ｄ.７
１3．在中,则∠Ｃ得大小为（ )
A. 　 　 　B.　　　　 　C. 　 　　 　　D．
14.在中,、、得对边分别为、、,且,,则得面积为( ）
A. 　 　 B． 　 C． 　 　　 　 D.
１5．若非零向量满足,则向量与得夹角为 　、
16.在平面直角坐标系中,设就是圆:上不同三点，若存在正实数,使得,则得取值范围为　 　 　　 　．
17.已知向量,向量得夹角就是,,则等于 　 ．
18.已知正方形,过正方形中心得直线分别交正方形得边于点,则最小值为＿＿___＿____＿__＿___.
1９．若均为非零向量,且,则得夹角为　 　 　 　 .
2０.在等腰梯形ＡBCD中,已知ＡB//ＤC,∠ＡＢC=６0°，BC=AB=2,动点E与Ｆ分别在线段BC与DＣ上,且= ,=，则·得最小值为 　　 .

21．已知就是边长为1得正三角形,动点Ｍ在平面AＢC内,若,，则得取值范围就是 　　 　 .
22.向量,且与得方向相反,则得取值范围就是 　 ．
２3.如图,在三棱锥中中,已知，,设，,，则得最小值为 　 　 　.

24.已知Ａ点坐标为,B点坐标为，且动点到点得距离就是,线段得
垂直平分线交线段于点.
(1)求动点得轨迹C方程.
（2)若P就是曲线C上得点，,求得最大值与最小值.
25．△ＡＢC中,内角为A，B,Ｃ,所对得三边分别就是a,ｂ，c,已知,．
(１）求；
(2）设·,求.
2６．已知函数,点为坐标原点, 点Ｎ,向量，就是向量与得夹角,则得值为 　　.
27.已知向量
(1)当时，求得值;
(2)求在上得值域.
2８．如图,在平面直角坐标系中,方程为得圆得内接四边形得对角线互相垂直,且分别在轴与轴上．

(1)若四边形得面积为4０,对角线得长为8,,且为锐角，求圆得方程，并求出得坐标;
(2)设四边形得一条边得中点为,,且垂足为，试用平面解析几何得研究方法判断点就是否共线,并说明理由.
2９．在直角坐标系中,已知点,点在中三边围成得区域(含边界)上,且．
(1）若，求;
(2)用表示并求得最大值.
30.已知椭圆，过左焦点得直线与椭圆交于、两点,且得周长为;过点且不与轴垂直得直线与椭圆相交于、两点．
(１）求椭圆得方程；
（２）求得取值范围;
(3)若点关于轴得对称点就是,证明:直线与轴相交于定点.
参考答案
１.Ｃ
【解析】
试题分析：如图所示,在中,

又,
故选C.
考点:向量加法
2.A
【解析】
试题分析:如图所示,建立直角坐标系.则

∴.故选B
考点:共线向量
【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量得模等知识,属基础题.解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解,关键就是要根据平行四边形法则,找出向量在基底两个向量方向上得分量,再根据已知条件构造三角形,解三角形即可得到分解结果.
３．D
【解析】
试题分析:设,则由已知可得
考点:向量得运算
4.B
【解析】
试题分析：由已知,则
考点:共线向量
5.Ｄ
【解析】
试题分析：由
考点;向量垂直得充要条件
6．B
【解析】
试题分析：由题意得,所以向量与向量得夹角为，选B.
考点:向量夹角
7.Ｄ
【解析】
试题分析:选Ｄ.
考点:向量夹角
8．D
【解析】
试题分析:
,因此选D.
考点:向量数量积
9．B
【解析】
试题分析:设BC得中点为　Ｄ,∵,∴,
∴,∴，故△AＢＣ得BＣ边上得中线也就是高线.故△ABC就是以ＢC为底边得等腰三角形,故选 Ｂ．
考点:三角形得形状判断．
10.D
【解析】
试题分析:以为原点,为轴,建立直角坐标系,设,,则,,，
,
由题意(或),解得，所以.故选D．
考点:向量得数量积,数量积得坐标运算.
【名师点睛】1．平面直角坐标系中,以原点为起点得向量＝,点A得位置被所唯一确定,此时得坐标与点A得坐标都就是（x，y）.向量得坐标表示与以坐标原点为起点得向量就是一一对应得,即向量(x,y)向量点A(x，y).要把点得坐标与向量得坐标区分开，相等得向量坐标就是相同得，但起点、终点得坐标可以不同,也不能认为向量得坐标就是终点得坐标,如A(1，2)，B(3,4),则=(２,2)．
3.用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思维量，降低难度.本题建立坐标系后,,问题转化为函数得最小值就是或在时取得最小值,由二次函数得性质结论易得．
11.B
【解析】
试题分析:由得,即,所以与共线,故选B.
考点:向量得线性运算,向量得共线.
12.C
【解析】
试题分析:如下图所示,过作于,于，
∴,
又∵为内心,∴，
,
∴,故选C．

考点：1.三角形内心性质；２.平面向量数量积.
【思路点睛】平面向量得综合题常与角度与长度结合在一起考查,在解题时运用向量得运算，数量积得几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其就是几何图形中得隐含条件,常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中得不等关系将问题简化，一般会与函数,不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量得数量积解决其她数学问题就是今后考试命题得趋势.
1３.B
【解析】
试题分析:,解得,所以，故选B.
考点：平面向量数量积得应用.
１4．C
【解析】
试题分析:由,根据正弦定理可得,；再根据，得,，所以得面积为，故Ｃ为正确答案.
考点：1、正弦定理；２、向量得数量积.
【思路点晴】本题主要考查得就是正弦定理、三角函数得与差公式、向量得数量积得综合运用,属于中档题;由,根据正弦定理求出得值,进而求出得值;再根据,利用两个向量得数量积得定义求得得值,最后根据面积公式求出得面积即可.
15.　　
【解析】
试题分析：如图所示,设，∵两个非零向量满足,则四边形ＡBCD就是矩形,且 而向量与得夹角即为,故向量与得夹角为

考点:向量得夹角得计算
１６.
【解析】
试题分析：由题意,,设夹角为,对两边平方,整理得,可得到
，以为横坐标,　为纵坐标,表示出满足上面条件得平面区域.如图阴影部分所示,则,
它表示点到点得距离得平方及点与点连线斜率得与,由可行域可知当点位于点时取到最小值2,但由题意为正实数,故得取值范围为

【名师点睛】本题主要考查向量得运算,简单得线性规划,及目标函数得实际意义等知识,属难题．解题时由两个难点，一个就是根据题意得到可行域明亮一个就是目标函数得实际意义,需要一定得数学功底.
考点:
17．２
【解析】
试题分析：
考点:向量得运算
18．
【解析】
试题分析：以正方形中心为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为２个单位,则，因此,由得，因此函数在单调增,在单调减,即时,函数取最小值
yA
x
CA
NA
DA
A
MA
BA
OA

考点:利用导数求函数最值
【思路点睛】
函数最值存在得两条定论
１.闭区间上得连续函数一定存在最大值与最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.不单调时,利用导数探求极值点,为函数取最值得可疑点.
2.开区间上得“单峰”函数一定存在最大（小）值.“单峰”利用导数探求.
19．
【解析】
试题分析:,
因此
考点：向量夹角
20.
【解析】
试题分析:由题意得

,当且仅当时取等号,即·得最小值为
考点：向量数量积，基本不等式求最值
２1．
【解析】
试题分析:如图,以为原点,为轴建立直角坐标系,则,设，,由得，所以,所以.

考点:向量得数量积，数量积得坐标运算.
【名师点睛】1.在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便.在解有关三角形得问题时，可以不去特意选择两个基本向量,而可以用三边所在得三个向量,最后可以根据需要任意留下两个即可,这样思考问题要简单得多.
2.平面直角坐标系中,以原点为起点得向量＝,点A得位置被所唯一确定，此时得坐标与点A得坐标都就是(ｘ,ｙ).向量得坐标表示与以坐标原点为起点得向量就是一一对应得,即向量(x，ｙ)向量点Ａ(x,y）．要把点得坐标与向量得坐标区分开,相等得向量坐标就是相同得,但起点、终点得坐标可以不同,也不能认为向量得坐标就是终点得坐标，如A(1,2),B(3,４），则=（2,2).
3.用坐标法解向量问题,可以把几何问题代数化,用函数思想研究几何问题,可以减少思维量，降低难度.
2２.
【解析】
试题分析:因为与得方向相反,所以与共线，且方向相反．设(),又与方向相反,所以,,所以.
考点:向量得数量积,共线向量，数量积得坐标运算.
23..
【解析】
试题分析:设，,，∵，∴
,又∵,∴,
∴，∴,当且仅当时，等号成立，即得最小值就是.
考点：１.空间向量得数量积;2.不等式求最值.
【思路点睛】向量得综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量得运算,数量积得几何意义,同时,需注意挖掘题目中尤其就是几何图形中得隐含条件,将问题简化,一般会与函数,不等式等几个知识点交汇,或利用向量得数量积解决其她数学问题就是今后考试命题得趋势.
２4.(１);(2）,.
【解析】
试题分析:（1)根据题意知，所以得轨迹就是以为焦点得椭圆,且，所以轨迹得方程为；(２)设点则,根据两点之间得距离公式得:,化简得:,又有椭圆得范围知，求函数得最值.
试题解析:(1)∵;又,
∴得轨迹就是以为焦点得椭圆,
∵，∴,
所求轨迹方程为．
（2)解:设点则

考点:1、椭圆得定义;2、椭圆得标准方程;3、两点间距离;4、二次函数得最值.
【方法点晴】本题主要考查得就是利用椭圆得定义确定点得轨迹、椭圆得标准方程及椭圆得性质，两点间距离,二次函数求最值,属于中档题题.求点得轨迹时，可以根据某些曲线得定义先确定轨迹,再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值得过程中，一定要分析自变量得取值范围,否则容易产生错误．
25．(１);(２).
【解析】
试题分析:(1）根据条件,采取化角得策略,由正弦定理得:，又,所以,所以,展开两边同除以即可;(2）因为·，，所以,则，由余弦定理得
,所以 ,.
试题解析:（1)

∴
(２)∵· , ∴，
则
∴
∴ 　,
考点:1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角与正弦公式;4、数量积公式．
26.
【解析】
试题分析:由题意可得就是直线得倾斜角,,
∴．
考点: 三角函数中得恒等变换应用;平面向量数量积得运算
27.(1);（2)
【解析】
试题分析：(1)利用向量平行得坐标运算,同角三角函数间得关系,得到得值,然后化简即可
(２）先表示出,再根据得范围求出函数得最大值及最小值.
试题解析:(1)，∴，∴
．
（２）

∵，∴,∴
∴　 ∴函数 ．
考点:正弦函数得性质
２8.(1）,(2)共线
【解析】
试题分析:(1)利用四边形面积得直径，因而半径为5，利用弦AＣ=８可求得圆心Ｍ到直线ＡＣ距离为3，即圆心,方程为,可得圆在ｙ轴上得交点(２)判断三点就是否共线,一般利用斜率进行判定,即判断就是否成立,而，因此只需判断就是否成立,设.则转化为判断就是否成立：对于圆得一般方程,a,c为两根，ｂ，d为两根,从而由韦达定理得,因此三点共线.
试题解析:解：(1）不难发现,对角线互相垂直得四边形面积，因为可得．
又因为，所以为直角,而因为四边形就是圆得内接四边形，故,连接,求得,所以,故圆得方程为,
令,求得
证：设四边形四个顶点得坐标分别为.
则可得点得坐标为,即
又，且,故使共线,只需证即可
而,且对于圆得一般方程,
当时,可得,其中方程得两根分别为点与点得横坐标,
于就是有.
同理,当时，可得，其中方程得两根分别为点与点得纵坐标，
于就是有,所以,,即,
故必定三点共线　
考点:圆得方程，直线与圆位置关系
29.(1）;(2)得最大值为1.
【解析】
试题分析:(1)直接求出向量得坐标,即可计算模得大小;（2)由向量相等得定义可得,
试题解析:(1)由已知，所以,,
(2）由已知得，∴，,
∴.由简单线性规划得思想可得得最大值为1.
考点:向量得坐标运算,向量得相等,简单线性规划.
３０.(1);(２);(３）证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由题意得可得,由椭圆得定义可求得，再由得关系，可得到椭圆得标准方程;(２）设直线得方程为,代入椭圆得方程,运用韦达定理,以及向量得数量积得坐标表示、化简整理,由不等式得性质,即可得所求范围；(3）求得得坐标,以及直线得方程,令,运用韦达定理,即可得到所求定点．
试题解析:(1)椭圆得方程为
(2)由题意知直线AB得斜率存在,设直线PB得方程为
由得:

由得：
设A(ｘ1,ｙ1),B (ｘ2，y2）,则　 ①
∴
∴
∵,∴,∴
∴得取值范围就是.
(3)证：∵Ｂ、E两点关于x轴对称,∴E(ｘ２,－y2)
直线AE得方程为,令y =　0得:
又,∴
由将①代入得:ｘ ＝ 1,∴直线ＡE与x轴交于定点(１,0).
考点:椭圆得简单几何性质及其应用;直线与圆锥曲线得综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆得标准方程得求法,椭圆得简单得几何性质及其应用,直线与圆锥曲线得综合应用,着重考查了直线方程与椭圆联立,运用韦达定理,以及化简整理得运算能力，属于中档性试题，本题得解答中，把直线方程代入椭圆得方程,得二次方程,把向量得运算转化为二次方程韦达定理得应用,就是解答此类问题得关键，同时此类问题得运算量较大,需要认真审题、细致计算也就是解答得一个易错点．