结构可靠度与可靠指标.ppt

结构可靠度与可靠指标结构可靠度与可靠指标 目目 录录4.1 4.1 结构可靠度与失效概率结构可靠度与失效概率 4.2 4.2 结构可靠度与可靠指标结构可靠度与可靠指标 4.3 4.3 可靠指标的几何涵义可靠指标的几何涵义 4.4 4.4 计算可靠指标计算可靠指标的两个常用公式的两个常用公式 4.5 4.5 可靠指标与安全系数的关系可靠指标与安全系数的关系 4.6 4.6 可靠指标与分项系数的关系可靠指标与分项系数的关系 4.1 4.1 结构可靠度与失效概率结构可靠度与失效概率结构设计的基本目的是使所设计的结构在设计基准期内满足安全性、适用性和耐久性，也就是使结构具有足够的可靠性。结构可靠性的概率度量称为结结构构的的可可靠靠度度。也就是说，结构的可靠度是指结构在规定的时间内与规定的条件下完成预定功能的概率。4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 结构完成各项功能的标志可由相应的极限状态来衡量。结构整体或某一部分超过某一特定状态时，结构就不能满足设计规定的某一功能要求，这一特定状态称为结构的极限状态结构的极限状态。因此，结构的极限状态是区分结构工作状态为可靠或不可靠的分界线。4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 (1)(1)承承载载能能力力极极限限状状态态。这种极限状态对应于结构或构件达到最大承载能力，或达到不适于继续承载的变形。(2)(2)正正常常使使用用极极限限状状态态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用和耐久性的各项规定限值。结构的极限状态一般可分为以下两类：4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 在结构可靠度分析中，结构的极限状态是通过描述结构的功能函数定义的。设X1，X2，Xn为影响结构功能的n个随机变量，则下述随机函数 Z=g(X1，X2，Xn)(4-1)称为结结构构功功能能函函数数。随机变量X1，X2，Xn可以是构件的几何尺寸、材料的物理参数、结构受到的外来作用等等。4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 当Z 0时，结构具有规定功能，即处 于可靠状态；当Z 0时，结构丧失规定功能，即处 于失效状态；当Z=0时，结构处于临界状态，或称 为极限状态。相应地，方程 Z=g(X1，X2，Xn)=0 (4-2)称为结构的极限状态方程极限状态方程。4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 结构功能函数出现小于零（Z 0时，结构处于可靠状态；Z 0部分)即为结构的可靠度Pr。其公式表示分别为(4-9)(4-10)4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 2.2.R R、S S为非正态分布变量为非正态分布变量 设 抗 力R、荷载效应S的概率密度函数分别为fR(r)、fS(s)，如图4-2所示。失效概率用数学式子表示为：4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 为了计算失效概率，先来考虑荷载效应S落在区间ds内的概率。由图4-3可以得到 而抗力R小于荷载效应S的概率为 4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 假定R和S为相互独立的随机变量，则二者在ds区域内同时发生的概率应等于上述两种概率的乘积，即 结构的失效概率Pf是在整个区间(0，)上R小于S的概率，所以有 (4-11)式中 4.1 4.1 结结构构可可靠靠度度与与失失效效概概率率 与上述讨论相类似，又可得到失效概率的另一种计算公式：(4-12)应当指出，式(4-3)是计算结构失效概率的精确表达式，无论结构功能函数是线性的还是非线性的，基本变量是相关的还是不相关的，均可用此式求结构的失效概率。在变量R，S相互独立的情况下，式(4-9)、(4-11)、(4-12)也是计算结构失效概率的精确表达式。4.2 4.2 结构可靠度与可靠指标结构可靠度与可靠指标 仍以具有两个正态变量R和S的极限状态方程为例，即 Z=R S=0 根据式(4-9)，有 4.2 4.2 结结构构可可靠靠度度与与可可靠靠指指标标 将正态分布变量Z N(mZ，Z)转换为标准正态分布变量Y N(0，1)，如右图所示，则失效概率又可表示为 式中(4-13)4.2 4.2 结结构构可可靠靠度度与与可可靠靠指指标标 引入符号，并令(4-14a)可得(4-15)式中为一无因次的系数，称为可靠指标可靠指标。将式(4-14a)写为(4-14b)由图图(4-(4-4)4)可见，z由到均值mZ这段距离可以用标准差去度量。4.2 4.2 结结构构可可靠靠度度与与可可靠靠指指标标 式(4-15)表示了失效概率与可靠指标的关系。利用式(4-5)还可导出可靠度与可靠指标的关系为(4-16)之所以称为可靠指标，是因为它可以描述结构的可靠度，具体原因如下：1.与结构可靠度之间存在一一对应的关系，所以它是结构可靠度的度量。越大，可靠度Pr亦越大，失效概率则越小。4.2 4.2 结结构构可可靠靠度度与与可可靠靠指指标标 2.在某种分布下，当Z为常量时，仅随均值mZ变化。当增加时，概率密度曲线将由于均值mZ的增大而向右移动（见图4-5），这时失效概率Pf减小，而结构可靠度Pr增大。4.3 4.3 可靠指标的几何涵义可靠指标的几何涵义 设R、S为两个正态随机变量，均值和标准差分别为mR、mS和R、S，极限状态方程为 Z=R S=0 (4-17)为了讨论方便，引入标准正态变量R、S，使得 4.34.3可可靠靠指指标标的的几几何何涵涵义义 代入式(4-17)，可得以下形式的极限状态方程(4-18)在标准正态变量空间内，极限状态方程(4-18)表示一条直线，它将该空间分为可靠区和失效区两部分，如右图所示。4.34.3可可靠靠指指标标的的几几何何涵涵义义 由几何学的知识可知，坐标原点O到极限状态直线的距离为：将式(4-19)与式(4-14)比较可见，距离d就是可靠指标。所以，结构可靠度的计算式又可表示为(4-19)上述结论可以推广到n维变量空间。一般地，设X1，X2，Xn为一组相互独立的正态变量，极限状态方程为：4.34.3可可靠靠指指标标的的几几何何涵涵义义 Z=g(X1，X2，Xn)=0 (4-20)式(4-20)可能是线性的，也可能是非线性的，它表示n维空间的一个曲面，该曲面将n维空间分为可靠区和失效区。将变量X1，X2，Xn转换为标准正态变量为Y1，Y2，Yn，相应的极限状态方程即为 Z=G(Y1，Y2，Yn)=0 (4-21)4.34.3可可靠靠指指标标的的几几何何涵涵义义 类似于两个正态变量的情况，在标准正态空间内，从坐标原点到极限状态曲面的最短距离即为可靠指标。下图表示的是三个正态变量的情况，图中O点到曲面的最短距离OP*即为值，曲面上的P*点称为设计验算点设计验算点。4.4 4.4 计算可靠指标计算可靠指标的两个常用公式的两个常用公式 1.1.正正态态变变量量表表示示的的线线性性极极限限状状态态方方程程 对于具有两个正态变量R、S的线性极限状态方程 Z=R S=0由前面的讨论得到可靠指标的计算公式为：(4-22)式(4-22)可以推广到n个变量的情况，设具有n个正态变量Xi(i=1，2，n)的线性极限状态方程为：其均值和标准差分别为：(4-23)(4-25)(4-24)4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 可得结构可靠指标的计算公式为：(4-26)若变量之间存在相关性，设变量Xi、Xj(i，j=1，2，n)的相关系数为ij，则式(4-26)仍然成立，只需将计算标准差Z的公式更换为：(4-27)4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 例 4-1 4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 设某零件在一点处的抗力为R，荷载效应为S，均为正态分布变量，其均值和标准差分别为：求该点处的可靠度。解解：由式(4-22)，得到 应用式(4-16)，可得该点的可靠度为：（查附表1：正态分布函数表）例例4-1 4-1 例 4-2由锰钢制成的拉杆，横截面积为A，已知该拉杆承受的拉力Q和锰钢材料的屈服极限应力Rf均为正态变量，其均值和标准差分别为：试求在失效概率Pf=4.8 107的条件下，拉杆的横截面积A。4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 THANK YOUSUCCESS2024/5/8 周三35可编辑解解：由查附表1得 代入式(4-22)得 例例4-2 4-2 可得 将上式整理后得 解得 例例4-2 4-2 2.2.两个对数正态变量表示的极限状态方两个对数正态变量表示的极限状态方程程 设R和S为对数正态分布变量，则lnR和lnS即为正态分布变量。其统计参数分别表示为：考虑极限状态方程 可见Z也是正态分布变量，下面求Z的均值和标准差。4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 由式(2-38)得lnR、lnS的方差分别为：于是Z的标准差如下：由式(2-39)得lnR、lnS的均值分别为：4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 所以可得Z的均值为：最后可得：(4-28)4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 当VR和VS都小于0.3时，上式可以进一步简化，得到：其误差小于2%。又当VR和VS很小或近于相等时，有(4-29)4.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 (4-28a)例 4-34.44.4计计算算可可靠靠指指标标的的两两个个常常用用公公式式 某零件的强度R和荷载效应S均为对数正态分布变量，其均值和标准差分别为：求该零件的可靠度。解解：由已知条件可得：应用式(4-28)得：例例4-3 4-3 对应的可靠度为：如果应用近似公式(4-29)，可得：例例4-3 4-3 对应的可靠度为：误差为：2.3%4.5 4.5 可靠指标与安全系数的关系可靠指标与安全系数的关系传统的设计原则是抗力不能小于荷载效应，其安全度是用安全系数来表示。例如，用均值表达的单一平均安全系数K可以定义为：K=抗力平均值/荷载效应平均值 =mR/mS (4-30)其相应的设计表达式为：mR KmS (4-31)4.54.5可可靠靠指指标标与与安安全全系系数数的的关关系系 从统计学的观点看，安全系数K存在两个问题：1.它没有定量地考虑抗力和荷载效应的随机性，而是靠经验或工程判断的方法取值，因此，难免带有人为的因素或主观臆断的成分。2.由式(4-30)可见，K只与R和S的均值的比值有关，而与R和S的离散程度（R，S或VR，VS）无关，因此，它不能反映结构的实际安全情况。例如，在下图中，这说明它们的安全性一样。但实际上它们的失效概率（与图中阴影部分的面积有关）却相差很大，当然，结 构的可靠度也大不相同。4.54.5可可靠靠指指标标与与安安全全系系数数的的关关系系 4.54.5可可靠靠指指标标与与安安全全系系数数的的关关系系 由式(4-14)所定义的可靠指标，就解决了上述问题，它不仅与mR，mS的相对值有关，而且还反映了变量R和S的离散程度。所以，可靠指标比安全系数K更能反映结构的安全程度。下面通过数学公式加以说明。由两个正态变量R和S导出的可靠指标式(4-14)，可得：(4-32)4.54.5可可靠靠指指标标与与安安全全系系数数的的关关系系 或(4-33)可见，从概率理论出发，可靠指标除了与R和S的均值之比（即K）有关以外，还与变异系数VR，VS有关。另一方面，安全系数除了与R和S的均值有关之外，还与其方差及分布规律有关。4.6 4.6 可靠指标与分项系数的关系可靠指标与分项系数的关系 目前，大多数国家的现行规范并不采用上一节所述的单一安全系数设计表达式，而是采用分项系数表达式。例如在恒载和活载组合下设计表达式为：(4-34)式中R为抗力分项系数，G为恒载分项系数，而Q为活载分项系数。4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 分项系数是利用分离函数得到的，分离函数的作用，是将其与可靠指标联系起来，将安全系数加以分离，使安全系数表达为分项系数的形式。下面介绍两种分离方法。1.1.0.750.75线性分离法线性分离法加拿大的林德（Lind）提出了0.75线性分离法，林德引入了分离函数1。4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 设X1、X2为任意的两个变量，令设(4-35)林德指出，当1/3 V1 3时，取1=0.75，相对误差不超过6%，因而有(4-36)这个线性化的分离公式，可将设计表达式化为分项系数的形式。4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 设抗力和荷载效应均为正态变量，且满足1/3 R/S 3，则由式(4-14)可得 将式中的标准差用变异系数表示，并移项整理得 令(4-37)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 则相应的设计表达式为(4-38)式中：R为抗力均值分项系数；s为荷载效应均值分项系数。事实上，这里已隐含了可靠指标。如果荷载效应S是由恒载G和活载Q的效应组成的，即S=G+Q，而且满足1/3 G/Q 3，同理还可以对s再进行分离，得到 4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 (4-39)从而得到：(4-40)相应的设计表达式为：(4-41)式中：G为恒载效应分项系数；Q为活载效应分项系数。例 4-4设R、G、Q均为正态分布变量，VR=0.16，VG=0.09，VQ=0.24，=2.95，求当K=mR/mS=2.0，荷载效应比=mQ/mG=1.0时，抗力分项系数R、恒载分项系数G和活载分项系数Q。4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 解解：因为 例例4-4 4-4 比值 满足式(4-40)要求的条件，因此可得结果如下：例例4-4 4-4 4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 2.2.一般分离法一般分离法 一般分离法通过一定的数学变换，定义分离函数i，然后进行分离。该法适用范围广，不仅可以用于两个变量的情况，而且容易推广到多个非正态变量的情况。考虑任意两个变量Xi、Xj，令 (4-42)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 i、j称为分离函数，其值是小于1的数。于是有(4-43)对于n个变量Xj(j=1，2，n)的情况，分离函数为：(4-44)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 同时有：(4-45)下面讨论上式的具体应用。(1)功能函数为正态变量的线性函数 参考例4-4,设功能函数为Z=g(R，G，Q)=R G Q，则有 4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 所以 或者 移项整理后得到：于是有：4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 (4-46)式中(4-47)上述结果也可按两个变量进行二次分离得到。4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 (2)功能函数为一般情况 设结构的功能函数Z为一组相互独立的随机变量Xi(i=1，2，n)的函数，即 将Z在均值处按泰勒级数展开并取一阶近似式，可得均值和标准差的近似公式为：(4-48)(4-49)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 式中表示各偏导数在mXi(i=1，2，n)处取值。仿照式(4-39)，可得分离函数Xi为：(4-50)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 由式(4-45)，可将下列根式分离并线性化为：根据可靠指标的定义：(4-51)(4-52)4.64.6可可靠靠指指标标与与分分项项系系数数的的关关系系 将式(4-51)代入式(4-52)可得(4-53)返 回 首 页THANK YOUSUCCESS2024/5/8 周三69可编辑