高考数学知识点专题复习检测9.doc

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第二讲　数列求和及数列综合应用
一、选择题
1．若等比数列{an}的前n项和Sn，且S10＝18，S20＝24，则S40等于 (　　)
A. B. C. D.
解析：根据分析易知：
∵S10＝18，S20－S10＝6，∴S30－S20＝2，S40－S30＝，
∴S40＝，故选A.
答案：A
2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为(　　)
A．25 B．576 C．624 D．625
解析：an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)＋…
＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.选C.
答案：C
3．(2010·大连模拟)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数
列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 (　　)
A．0 B. C. D．1
解析：a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d，
Sn＝na1＋代入上式，并化简得：
λ≤2＋，
∴λ≤，∴λmax＝.
答案：B
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于 (　　)
A．0 B．－ C. D.
解析：∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝－，a3＝，a4＝0，….
从而知3为最小正周期，
从而a20＝a3×6＋2＝a2＝－.
答案：B
5．(2009·广东)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1
时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ (　　)
A．(n－1)2 B．n2
C．(n＋1)2 D．n(2n－1)
解析：∵a5·a2n－5＝22n＝a，an>0，
∴an＝2n，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…an－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故
选B.
答案：B
二、填空题
6．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n∈N*)，且a4＝54，则a1＝________.
解析：由于Sn＝(n∈N*)，则a4＝S4－S3＝－＝27a1，且
a4＝54，则a1＝2.
答案：2
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.
解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，
则由a5＝5a3知a1＝－d，∴＝＝9.
答案：9
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
解析：

设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S4＝4a1＋6d≥10，即2a1＋3d≥5，
S5＝5a1＋10d≤15，即a1＋2d≤3.又a4＝a1＋3d，
因此求a4的最值可转化为在线性约束条件
限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a4＝a1＋3d，经
过点A(1,1)时有最大值4.
答案：4
9．(2009·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所
报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总
次数为________．
解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，…
所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍
数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5
个数，故答案为5.
答案：5
三、解答题
10．(2010·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝k·2n＋m，k≠0，且a1＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)方法一：依题意有 ①
解得a2＝2k，a3＝4k，
∴公比为q＝＝2，＝＝2，k＝3，代入①得m＝－3，
∴an＝3·2n－1.
方法二：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1·k.
由a1＝3得k＝3，∴an＝3·2n－1，
又a1＝2k＋m＝3，∴m＝－3.
(2)bn＝＝，Tn＝， ②
Tn＝， ③
②－③得Tn＝，
Tn＝＝.
11．(2010·浙江五校联考)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求适合方程＋＋…＋＝的n的值．
解：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.
当n≥2时，∵Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，∴an＝an－1.
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故an＝·n－1＝2·n.
(2)∵1－Sn＝an＝n，bn＝log3(1－Sn＋1)
＝log3n＋1＝－n－1，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.
解方程－＝，得n＝100.
12．已知函数f(x)＝(x≠－1)，设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足
bn＝|an－|，Sn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)．
(1)用数学归纳法证明：bn≤；
(2)证明：Sn<.
证明：(1)当x≥0时，f(x)＝1＋>1.
因为a1＝1，所以an≥1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤.
①当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．
②假设当n＝k时，不等式成立，即bk≤，那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．
(2)由(1)知bn≤.
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn
≤(－1)＋＋…＋
＝(－1)·<(－1)·＝.
故对任意n∈N*，Sn<.

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