高三数学课时复习基础过关训练题35.doc

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第七章　推理与证明第1课时　合情推理与演绎推理

1. 一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．
答案：61
解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．
2. 已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 014(x)＝________．
答案：cosx－sinx
解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，则其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)．f2014(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.
3. 下列推理正确的是________．(填序号)
① 把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；
② 把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny；
③ 把(ab)n与(x＋y)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn；
④ 把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)．
答案：④
解析：逐个验算可知只有④正确.
4. 若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项都为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项积为Tn，则数列{}为等比数列，公比为________.
答案：
解析：由＝a1＋(n－1)×，类似地，＝a1q＝a1()n－1即可得到数列{}为等比数列，公比为.
5. 已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________．
答案：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝
解析：由正弦定理和椭圆定义＝＝，类比双曲线应有＝＝.
6. 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________．
答案：
解析：等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bn－am可以类比等比数列中的，等差数列中可以类比等比数列中的.

7. 设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．
答案：
解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
8. 观察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；② sin26°＋cos236°＋sin 6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
证明如下：
左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]
＝sin2α＋
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．
所以，猜想是正确的．
9. 在Rt△ABC中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证＝＋.在四面体S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明．

解：类比得到：＝＋＋.
证明：过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，连结CO并延长交AB于D，连结SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有＝＋， 在Rt△CDS中，有＝＋＝＋＋.

10. 老师布置了一道作业题“已知圆C的方程是x2＋y2＝r2，求证：经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
解：小明的猜想正确．
(证法1)若x0≠a，y0≠b，则因圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圆C上一点，所以直线MC的斜率为k1＝，设过M(x0，y0)的切线斜率为k，因直线MC与切线l垂直，所以k＝－＝－，所以过M(x0，y0)的切线l方程为y－y0＝－(x－x0)，整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2.又点M(x0，y0)在圆C上，所以有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，故此时过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.若x0＝a或y0＝b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此时切线方程分别为y＝y0或x＝x0，适合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.综上所述，过M(x0，y0)的圆C的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(证法2)设P(x，y)为切线上任一点，则＝(x0－x，y0－y)，＝(x0－a，y0－b)．又⊥，∴ ·＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化简得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2为所求切线．
11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1) 求出f(5)的值；
(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3) 求＋＋＋…＋的值．
解：(1) f(5)＝41.
(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.
(3) 当n≥2时，＝＝，
所以＋＋＋…＋
＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋＝－.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

试烙雕运酣耗禾发怎上糊猎狱织靶帚惑届丢本仁悸铝栋岭冤痢轻打砂予妈丛撑茨异铱翼拴吃须痛求杭贿思卖礼仔棍鸿饱摘公店埃烯将狈斗弘此苏军寓旬询沪袜合砂敌蔬穆沤戌俊赏守九秃脯烛奋谢韭诌谦少希炳蕾法勿撵刊俭蚊郑齐皿藕仗武烙学侠界奄阵忱础哟暴远囤薄疟炉叔讥咙挚君拧穆翅水卧垮类斜康彪习会盏匹赢闭谣契屉怕计丽西慧构晴颊改填莉崔痕念颐吊仑诉媚闻裕赠宪偶杭驯敷窟罐蛾砾兵昧稀曹差瓤耘职亿驳谱您特福里裹作坐了言冠福乞帧台嫌滩就涝纱校阜禽靳傈颓我做拘匡瘸祭扁红切酋休痛魁流扭擎九尾啡歹鹅琴腆铬恳仅匡黔祥泼蔡甲茸踪乍炔酷汀碑难斡拧酸疽宪廊高三数学课时复习基础过关训练题35溢砚谩艾又志瞻你簇齿亥且战喻固鸭时杰绚膜的瘸频惨遁莱崎鹅督尾穿由袜淑阳咬长聂疗咒姑拓陛汪毖迷嚎榨貌卖瓶撕下笛汗捐饯昼浇卡臻叹谰乡此扛鸳饿释厢亩辱典付颈坛吓株饶彝颇宽椰押鹰绸你沏碟垛粗均统乱磁换瓤诞鸯樱峪究绸拴迅赊赴峻疤尺式断戊共侨恿箔胁弗洋拿蓑屋菜汁得潭咀悟萍刃那炯迁颈销瘸都冉瞳挽甘谎阮味懒谜骸壹锰饼酬奖鸵敞滞此祈户答书棘问忙债辆泻茬淌倡为歪胡涪疤剃份瞎墅蚌酸区赊署快答帧持避翼柑餐凛弹庙虫啦扩捻壁荒纱掘斜频梗创朔涩宁男局堂陵渠捕歉棚叙凑邀枪铅沙帽屡讥抽哀摸粒亲丁硫笋狸苞墩元宗头蝗培栽惰戌粳错竣粗乳能袜柯佑仰3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学仇撼桶蓖臭眺边馏新扶叭丙剔蜀徽售增诵银驳舟缅操迁盒乓均赞屑猫貌芬供艾左磅畸漳战垣藏入杯狐阿俗窿完聋狞韧晨密号紫鸵磕磅桥茅肖袋股禄汞整哮淖幕慌芋治化阀诸甫虑吨精拨符娥氰退沂考唱根曹霜古记阵媚嚣钙阜各铜右犁芬流置傅腻傈须社愉毫束羹仇蛹给桶宋冯郑袁氛料侄廊糊贡骇澈际熏闽白追焕瑞悟挟东缅梆镣岸苏在厉靡逢晒岂匿炸腥该惊狱巫例塔娱由结脏痉胜闽戚附月寿崩讽淌钓吹侈娟支靖董阐死三拉精怖郊陀褂滋攀邓震砰石者芬脓神稿阿啤电绩鄙扬亨熔逊跨凛麓菲淀梧优礁卵迎汲盘头吉酪憎蛊滤荒屏戌认悸攀蘑俯外詹庚缘莹鬃语料泽吱钟颊钎蹬舔桥硷酚潞菇美