大学数学A第一章极限与连续.ppt

大学数学 银杏酒店管理学院第一章 极限与连续 大学数学 银杏酒店管理学院第一节第一节 映射与函数映射与函数教学内容及要求主要内容：基本初等函数 复合函数 初等函数及其性质教学要求：理解初等函数、复合函数的概念、会分解复合函数；了解有界函数的概念。大学数学 银杏酒店管理学院一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集第一节第一节 映射与函数映射与函数 大学数学 银杏酒店管理学院数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.大学数学 银杏酒店管理学院2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,大学数学 银杏酒店管理学院称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.大学数学 银杏酒店管理学院4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示变量等表示变量.常量常量,变量变量.注：注：大学数学 银杏酒店管理学院 函数的记号是可以任意选取的,除了用f 外,还可用“g”、“F”、“”等,此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等.但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.设数集DR,则称映射f:D R为定义在D上的函数,通常简记为 yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.1、定义 二、函数 大学数学 银杏酒店管理学院说明：记号f和f(x)的区别:前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.为了叙述方便,常用记号“f(x),xD”或“yf(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.大学数学 银杏酒店管理学院自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.大学数学 银杏酒店管理学院定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数 大学数学 银杏酒店管理学院 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例：几个特殊的函数举例：1-1xyo 大学数学 银杏酒店管理学院(2)取整函数：取整函数：y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线 大学数学 银杏酒店管理学院有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数 大学数学 银杏酒店管理学院在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.大学数学 银杏酒店管理学院例例1 1 已知函数图形如下图所示，写出函数表达式。已知函数图形如下图所示，写出函数表达式。解：解：大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院解解例例2 2 已知已知 的定义域是的定义域是，求，求 的定义域；的定义域；大学数学 银杏酒店管理学院 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,数集数集X D.如果存在数如果存在数K1,使对任一使对任一x X,有有f(x)K1,则称函数则称函数f(x)在在X上有上界上有上界.(1)有界性：如果存在数如果存在数K2,使对任一使对任一x X,有有f(x)K2,则称函数则称函数f(x)在在X上有下界上有下界.如果存在正数如果存在正数M,使对任一使对任一x X,有有|f(x)|M,则称函数则称函数f(x)在在X上有界上有界;如果这样的如果这样的M不存在不存在,则称则称函数函数f(x)在在X上无界上无界.2、函数的几种特性 大学数学 银杏酒店管理学院（2）函数的单调性）函数的单调性:xyo 大学数学 银杏酒店管理学院xyo 大学数学 银杏酒店管理学院（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x 大学数学 银杏酒店管理学院奇函数奇函数yxox-x 大学数学 银杏酒店管理学院（4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.大学数学 银杏酒店管理学院 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 的反函数.按习惯,yf(x),xD的反函数记成yf 1(x),xf(D).若 f 是定义在D上的单调函数,则 f:Df(D)是单射,于是 f 的反函数f 1必定存在,而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数.反函数3、反函数与复合函数 大学数学 银杏酒店管理学院 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.大学数学 银杏酒店管理学院 设函数yf(u)的定义域为D1,函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1,则 yfg(x),xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.复合函数 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g,即 (f o g)(x)fg(x).说明:g与f 构成的复合函数f o g的条件是:是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内,即g(D)Df.否则,不能构成复合函数.大学数学 银杏酒店管理学院 幂函数:yx (R是常数);指数函数:ya x(a0且a1);对数函数:yloga x(a0且a1),特别当ae时,记为yln x;三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;5.初等函数 反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.基本初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.都是初等函数.例如,函数初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院应用上常遇到的双曲函数是:双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:双曲函数 大学数学 银杏酒店管理学院五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数与复合函数反函数与复合函数初等函数初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院 作业：作业：P9:1 、2、3 高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院 第二节 数列极限教学要求：理解数列极限和函数的极限 利用左右极限判断极限的存在性教学内容：数列极限和函数的极限 函数的左右极限3333编辑编辑pptppt 大学数学 银杏酒店管理学院“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入 大学数学 银杏酒店管理学院正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形形的面积的面积 大学数学 银杏酒店管理学院2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”大学数学 银杏酒店管理学院二、数列的定义二、数列的定义例如例如 大学数学 银杏酒店管理学院注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数 大学数学 银杏酒店管理学院三、数列的极限三、数列的极限 大学数学 银杏酒店管理学院问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:大学数学 银杏酒店管理学院四、数列极限的性质四、数列极限的性质1、有界性、有界性 大学数学 银杏酒店管理学院2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.大学数学 银杏酒店管理学院一、自变量趋向无穷大时函数的极限 大学数学 银杏酒店管理学院3.单侧极限单侧极限:例如例如,大学数学 银杏酒店管理学院左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例5证证 大学数学 银杏酒店管理学院三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性 大学数学 银杏酒店管理学院作业:P16 4（110）、5高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第三节第三节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小教学要求：理解无穷大和无穷小的概念 掌握无穷小的性质 了解无穷小与函数极限的关系教学内容：无穷大与无穷小定义 无穷小的 应用4848编辑编辑pptppt 大学数学 银杏酒店管理学院一、无穷小1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.大学数学 银杏酒店管理学院例如例如,注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.大学数学 银杏酒店管理学院2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性 大学数学 银杏酒店管理学院意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.大学数学 银杏酒店管理学院注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.大学数学 银杏酒店管理学院推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小 大学数学 银杏酒店管理学院二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.大学数学 银杏酒店管理学院特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.大学数学 银杏酒店管理学院不是无穷大不是无穷大无界，无界，大学数学 银杏酒店管理学院证证 大学数学 银杏酒店管理学院三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.大学数学 银杏酒店管理学院三、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限 大学数学 银杏酒店管理学院定义定义:大学数学 银杏酒店管理学院例如，例如，大学数学 银杏酒店管理学院例例1 1解解 大学数学 银杏酒店管理学院证证必要性必要性充分性充分性 大学数学 银杏酒店管理学院用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小:意义：意义：大学数学 银杏酒店管理学院例例解解 大学数学 银杏酒店管理学院二、等价无穷小代换定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证 大学数学 银杏酒店管理学院例例解解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限 大学数学 银杏酒店管理学院不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意注意例例解解 大学数学 银杏酒店管理学院例例解解解解错错 大学数学 银杏酒店管理学院例例6 6解解 大学数学 银杏酒店管理学院四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.大学数学 银杏酒店管理学院无穷小的比较无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.等价无穷小的代换等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.大学数学 银杏酒店管理学院作业:P19 3、4高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第四节第四节 极限的运算法则极限的运算法则教学要求：掌握函数极限的四则运算法则 会用等价无穷小求函数的极限教学内容：等价无穷小、函数极限的四则运算 应用无穷小的性质7575编辑编辑pptppt 大学数学 银杏酒店管理学院一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，大学数学 银杏酒店管理学院二、求极限方法举例例例1 1解解 大学数学 银杏酒店管理学院小结小结:大学数学 银杏酒店管理学院解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2 大学数学 银杏酒店管理学院解解(消去零因子法消去零因子法)例例3:3:=大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)大学数学 银杏酒店管理学院小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.大学数学 银杏酒店管理学院解解例例5 5原式原式=2 大学数学 银杏酒店管理学院解解例例6 6 求求 大学数学 银杏酒店管理学院例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,大学数学 银杏酒店管理学院意义：意义：大学数学 银杏酒店管理学院例例8 8解解:原式原式 大学数学 银杏酒店管理学院三、小结三、小结:1 1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2 2、极限求法、极限求法;a.a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3 3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则 大学数学 银杏酒店管理学院作业P26 3 大学数学 银杏酒店管理学院第五节第五节 两个重要极限两个重要极限教学要求：掌握 两个重要极限 利用重要极限解决问题教学内容：两个重要极限的性质 两个重要极限及其应用 大学数学 银杏酒店管理学院两个重要极限(1)大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3解解 大学数学 银杏酒店管理学院(2)大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4解解例例5 5解解 大学数学 银杏酒店管理学院三、小结三、小结:两个重要极限两个重要极限 大学数学 银杏酒店管理学院作业26 3（17）、7（13）高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点教学要求：理解函数连续的定义 掌握分段函数连续的判定方法 利用连续的性质求极限教学内容：函数连续的定义及判断方法 连续函数的性质及应用101101编辑编辑pptppt 大学数学 银杏酒店管理学院一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量 大学数学 银杏酒店管理学院2.连续的定义连续的定义 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院研究函数研究函数例例1 1在点在点x=1,x=2x=1,x=2处的连续性处的连续性;解解:大学数学 银杏酒店管理学院 是连续点是连续点 是跳跃间断点是跳跃间断点 大学数学 银杏酒店管理学院3.单侧连续单侧连续定理定理 大学数学 银杏酒店管理学院例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,大学数学 银杏酒店管理学院4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3证证 大学数学 银杏酒店管理学院二、函数的间断点二、函数的间断点 大学数学 银杏酒店管理学院三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点第二类间断点间断点 大学数学 银杏酒店管理学院作业 P34 4、5高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点教学要求：理解函数连续的定义 掌握分段函数连续的判定方法 利用连续的性质求极限教学内容：连续性的判定、间断点的判定 连续性的应用114114编辑编辑pptppt 大学数学 银杏酒店管理学院一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量 大学数学 银杏酒店管理学院2.连续的定义连续的定义 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院研究函数研究函数例例1 1在点在点x=1,x=2x=1,x=2处的连续性处的连续性;解解:大学数学 银杏酒店管理学院 是连续点是连续点 是跳跃间断点是跳跃间断点 大学数学 银杏酒店管理学院3.单侧连续单侧连续定理定理 大学数学 银杏酒店管理学院例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,大学数学 银杏酒店管理学院4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3证证 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院二、函数的间断点二、函数的间断点 大学数学 银杏酒店管理学院三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点间断点间断点 大学数学 银杏酒店管理学院作业 P34 4、5