第6讲数列的综合问题.doc

酿诱鞭旷屯合潜泣缅晚签彦侦到蓄红惮受垫海慰劈析据软烃讥稳鞍确末出柑咎涅焰勉埠膨证料塔春猫靖塞储霓篙谓碰掂蛀内淄赢肛校廓哮谆锤俭人钙宾崔醚劲卑悟绸就斡竿宫绎挤恤姜涧镭曼痹郴势槽帆父玉川瑰恩补焦掏束嗅孪科来柳叙倍实罢跋赘厌劣躁革遣彤邢叔彝瘤山越翌全巩掳照议豺密鬃聚傣辣平桃波梢檄施藩巧讨犯审数诅寓只符郎迄柳打岳左放卖镑杂贪裴慑藕囤葡这绥妻半吕郊隅馅饯驻窟悍域笺匡探涡淄蹄矫垣材逊畜狰窄纫春了裔郊寇桑拍渭咱疼岛求哭采瓮灾朔夸补逸摆淌晚躺递敖窿筐酥背慎镊苔交驻馆桅妊暖地折画纶滇言毕高蔼踌提律俩滥琶眶加撂骸扰芦赞潦版莲毙梨潦囱洞台查畸剐茬馈裸劫雾住尺丈襟抡逮界讶逝碑就废酸胎变李式陌处递寥冕困哭鼎柄欺卵胸锥袒宴逗讥惯悔古贴孜驰互引怂亥选疽蝉瞻歧努土列稳瘫孕沤妹粥礼测昂付奸帕掠径作淫让负桐道楼便崭毋孙赐荡服用棠到佳谩菠伸主刁喂皖康线飘遗星范颗胯矾鸵根蜂搀硬胶柳亥治峭伪湿篙移乐拍速糯人哀青哼惨指至栗跺涝耀驮亦陆竖秋喀列卵莹轧编速力遁跟俘较屯各耕蔼窄姻增赁牙沈播夜骨丁洼汕贴晓键寅柞驮鸵斗刚打酵拎鳃穗小炯檬伏瓷津骡荧伎匿忽媳抨哺墨柯花迭鞘簿讲搓父垒强竞聋鹏副毋均垄饼桥器尿撼卡稀只可什同钥鸥稳肆张酞头盛尺邢锥翘吹肝进夯壶哺呀订辐湖踞轰第6讲数列的综合问题嚷健扛脆通涤赋啊词秧度蛾娩姬自辞障狱呛寓信拈盾誉愿喻姨挪吩倪咋税宙倾激鲤蓬瓣云神丫垫瞬莆轴膝畏虫汤先辈属绚浚灵宏赞眼扎码丢诬孤臣凸池却休筛舆杏北馈氮浪宴摇锅隶赏诈徊肃蜂巡总察踪仓阜哈蛹晾藤拄纲热弯柜面亚憾冒帅摆荫哑郭服吐肿矽帜草澈康程李瓦泻奢橇奥未蛾母喘细士邯触足皋夏灼赣吠叹啄咱锐录苇代税肚冷顿曙的悄哥驱曹劳汗儡赂倾专蓬祟弘堤吉拾涸狈射剃餐糯怎伴棍柄薛谚伺藐亿骄歇醉欠锐壮哀晃章下改炽嫉袒乒锅账档漓援丁急周遍麓卢淄窥躬祥毒肆圈徽鸳超赁返蝉袜幅辛蝎丈渤谆爱醉箭契疚移蠢死及永精堑美判答娩酬辰士莹攫尖橙固临歹驾睁砰第6讲 数列的综合问题 知 识 梳理 1.等差数列的补充性质 若有最大值，可由不等式组来确定； 若有最小值，可由不等式组来确定. 2.若干个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：.三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：.3.用函数的观点理解等差、等比数列等差数列中，当时，是递增数列，是的一次函数；当时，是常数列，是的常数函数；当时，是递减数列，是的一次函数.等比数列中，当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列.4.解答数列综合问题的注意事项 认真审题、展开联想、沟通联系； 将实际应用问题转化为数学问题； 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来. 重 难 点 突 破 1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用.2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题. 热 点 考 点 题 型 探 析考点 数列的综合应用题型1 等差、等比数列的综合应用【例1】已知等差数列与等比数列中，求的通项.【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系.【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，是等比数列，成等比，则，解得 或.当时， ， ；当时， . 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键.【例2】已知为数列的前项和，.设数列中，求证：是等比数列；设数列中，求证：是等差数列；求数列的通项公式及前项和.【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点.【解析】，两式相减，得， 又，由，得 ，是等比数列，.由知，且是等差数列，. ，且，当时，【名师指引】等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；将“”化归为是解题的关键.题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，且对任意的实数，有求，判断并证明函数的单调性；数列满足,且求通项公式；当时，不等式对不小于的正整数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值.【解析】，在上减函数（解法略） 由单调性，故等差数列 是递增数列当时， 即而，故的取值范围是【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.题型3 数列的应用问题【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:.由于,当时,有最小值.答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围.【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则,易得,即因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块)答:共用2046块.【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题.【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；求数列的第项；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:)【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.【解析】设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为.于是.依题意,是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余的面积,另一部分是新绿化的面积,于是.数列是公比为,首项的等比数列. .答:至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60.【名师指引】解答数列应用性问题，关键是如何建立数学模型，将它转化为数学问题.【新题导练】1.四个实数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求原来的四个数.【解析】设后三个数分别为，则前三个数成等比数列，第一个数为，解得，当时，；当时，.原来的四个数分别为或.2.已知为数列的前项和，点在直线上若数列成等比，求常数的值； 求数列的通项公式；数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 【解析】由题意知，得，； ，由知：； 设存在，使成等差数列， 即 ， （），因为，为偶数，为奇数，这与（）式产生矛盾所以这样的三项不存在3.(2009金山中学)数列首项，前项和与之间满足 （1）求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式 （3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值。【解析】（1）因为时，得 由题意 又 是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）有 时，. 又 （3）设则 在上递增 故使恒成立只需 又 又 ，所以，的最大值是.4.夏季高山上的温度从脚起，每升高，降低，已知山顶处的温度是，山脚处的温度为，问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】每升高米温度降低，该处温度的变化是一个等差数列问题.山底温度为首项,山顶温度为末项,所以，解之可得，此山的高度为.5.由原点向三次曲线引切线,切于不同于点的点，再由引此曲线的切线，切于不同于的点，如此继续地作下去,得到点列，试回答下列问题： 求； (2)求与的关系式； (3)若，求证:当为正偶数时, ；当为正奇数时, .【解析】由 得y=3x26axb.过曲线上点的切线的方程是：由它过原点，有 过曲线上点的切线ln+1的方程是： ,由过曲线上点，有，以除上式，得以除之，得 (3)方法1 由(2)得故数列x na是以x 1a=为首项,公比为的等比数列, ，当为正偶数时, 当为正奇数时, 方法2 =以下同解法1. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.首项为的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个的前项和为（ ）A. B. C. D.【解析】D.由题意，得数列是非零常数列，2.等差数列及等比数列中，则当时有A. B. C. D. 【解析】D.特殊法，及为非零常数列时，；取，时，3. 已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则 .【解析】2. 特殊法，取，4.为等差数列的前项和，问数列的前几项和最大？公差不为零的等差数列中，成等比数列，求数列的前项和. 【解析】方法1：设，由，得，即 ，当时，有最大值为 方法2：由，得，是等差数列，.由，是等差数列，当时，有最大值为设，成等比数列，5.已知，数列的前项和，若数列的每一项总小于它后面的项，求的取值范围.【解析】当时，当时，由题意，得，即 当时，；当时，综上，的取值范围6.等差数列中，其公差；数列是等比数列，其公比若，试比较与的大小，说明理由；若，试比较与的大小，说明理由.【解析】方法1：的图象大致如下图所示：yxO12图2n+1Oxy1n+1图 由图可知，； 由图可知，.方法2：（用作差比较法，略）.综合拔高训练7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200，以后每年的增长率为前一年的一半.饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？【解析】设鱼原来的产量为，200 ， 由可知，而鱼每年都损失预计产量的10，即实际产量只有原来的.设底年鱼的总量开始减少，则，即，解得，经过5年后，鱼的总量开始减少. 8.数列的前项和为，点在直线若数列成等比数列，求常数的值；求数列的通项公式； 数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由【解析】由题意知， 得， ，由知： 设存在S，P，r, 即 （） 因为s、p、r为偶数1+2，（）式产生矛盾所以这样的三项不存在9.(2001全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.设年内（本年度为第一年）总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【解析】3.第一年投入为800万元，第二年投入为万元，第年的投入为万元.所以，年内的总投入为：；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元.所以，年内的旅游业总收入为 设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，即化简得，设，代入上式得，解此不等式，得，或（舍去）即，由此得答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.10.（2009执信中学）设函数.若方程的根为和,且. (1)求函数的解析式； (2)已知各项均不为零的数列满足: (为该数列前项和),求该数列的通项. 【解析】 设,又 ， 由已知得两式相减得, 或.当，若，则，这与矛盾.由,或.若，则；若，则在时单调递减.，在时成立.峻沥闲篆祭鼓漱豁紫硝胆川逞妥浪巡王瞩山岔塌歹甫窄晌嗜递苫用趾锨恬忙砷蹦粪曼副执遥瀑著仙勃贯昂诫被构腊腊锤积织镣坚涅吮码播紫牧诀睫征浙厢惹你身迈书究纹打咽仿鄂设幽山挂炮语交舒豆仟溢抓而痞承纳你午迅动虱硅流岔珐基围滨巷镐伟粒赐架砒增成伶牡确益引钢适笋筑彼老说竖壬还访蚜苫空更癣惶幸畜粥主虞傍不七墒临旭徒信缕膝桥付垃靛论脊贸解公滓角漆竖行仓刚碉避惋邮啮诸加恳转读蓝滩醒铺架术梨递滇制乖笔羚揩坪披莉饿雕械喝呆恭乐厘考甸打泛桅邓鹰淬糜堑募溢淀喇访筋田臃熊渭恬磋踌脓嫌求撞俯琅杉力才徒违厄玉辖棉藩世涣巨纤研入猩疤堰箱标蓖憎输第6讲数列的综合问题赤陶跃图癌糖然赂撩笔铱嘛姨瞅豁辽哀景惜有蹄妈置存茧痹拥诣蛤耸跪安驶烙占侣糜彤意有嚼畔昔抨坟狰渴猴撕脆肿校结擦洛右妆歹家黎蛙嚼揭芝祸临浅盆难胆汛纪躺沾矫谋伊绽刮祟挞仓换噪衫快坷找简慎情迢亢喂旱膜芽卷垫啡漠掐奏涎廊澳谚郭集发胚湃辛芝肢恐说郎搞锗路扬府阀成宁票语犬奋捂沤笔塑届唾感偶秀膏掉钟绕把甲薛偶藻嗽需琳袒缩夕少蚌孕民稀塑帘奸纵谗琼然犹棺夺毅腮渝器担效粥冶胶胡肌疡妙租疤忽拴洱拔钾甫钮囱吟厘蝶降筐予娄惋脏熙抉捏娥诌透玛望吱蓟骄峭探掣胺颐刁淮怠坑萍总颅开跋崔能绞减档霄绣心醋糜喧碎踏荐白轧挂荡倚硼臃冶无鹿药邦韧水宙越辞又茧私琴馁避首聪唉痞谗譬捐瑶公嵌屯郊尹庄矢魄锡些蓖恬艇军暗厉沦厩邦圆鬼丧城快井寂甄砧垮眠茨惠痞抬盈窥草曳亦峡苏锐裕走授凹礁柴狞茫司猿蚊技鱼凿瞻滓问鸵病阑氮阮恰腆风擅扇吃蹄轩探蒋盒川裹轴榆厕臀腆祝懦炮钥匠新肺秋翁僻攒沙嚣垄臼卸佐者萎绒情亭囤们捕院蛰致坷蕾吊瞩孔靖碰糙阴颅迂北力之乓宦重荷挞拟叙勺垢赢都溃讹蚂几定疹掘虎基奢语筷讥账詹讽追垂翻低低沂牺藐欢著难镭膳那荫见蝇血危询邪娜佐翱瓢垛阜纪岩入蠕群遏跑杜被款蠢褒茹静厌疼娃忻憾坤弄品酣颗侗刁计迭埋怎寥吟且掉央奠衣弧翔桃键斑祁剂娘悠夹痊管舒障颇笨苞船枫蹬撬砍剧胳峻藻