资源描述
数列的求和
课时作业
1．数列{an}的通项公式为an＝，假设{an}的前n项和为24，那么n＝( )
A．25 B．576
C．624 D．625
答案 C
解析 an＝－，所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令Sn＝24得n＝624.应选C.
2．数列{(－1)n(2n－1)}的前2022项和S2022等于( )
A．－2022 B．2022
C．－2022 D．2022
答案 B
解析 S2022＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2022－1)＋(2×2022－1)＝＝2022.应选B.
3．数列{an}中的前n项和Sn＝n(n－9)，第k项满足7<ak<10，那么k等于( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 C
解析 当k≥2时，ak＝Sk－Sk－1＝k2－9k－(k－1)2＋9(k－1)＝2k－10，k＝1时也适合．由7＜ak＜10，得7＜2k－10＜10，所以＜k＜10，所以k＝9.应选C.
4．(2022·铜川模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋10a1，a5＝9，那么a1＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 由题知公比q≠1，那么S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，那么a1＝，应选C.
5．数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，那么S2022＝( )
A．0 B．－1010
C．504 D．1008
答案 B
解析 由an＝ncos，得a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…，由此可知a1＋a2＋a3＋a4＝a5＋a6＋a7＋a8＝…＝2.因为2022＝4×504＋3，所以S2022＝2×504＋a2022＋a2022＋a2022＝1008＋0－2022＋0＝－1010.应选B.
6．在数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，那么a＋a＋a＋…＋a等于( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
C．9n－1 D.(3n－1)
答案 B
解析 因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．那么n≥2时，an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．那么数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列，应选B.
7．假设数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，那么{bn}的前10项和为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.
8．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 D
解析 an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2，∴S9＝1013<1020，S10＝2036>1020，∴Sn>1020，n的最小值是10.
9．(2022·长郡中学模拟)数列{an}是公差不为0的等差数列，且满足a＋a＝a＋a，那么该数列的前10项和S10＝( )
A．－10 B．－5
C．0 D．5
答案 C
解析 设等差数列的公差为d(d≠0)，因为a＋a＝a＋a，所以(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，所以－2d·a5＝2d·a6，于是a5＋a6＝0，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝0.应选C.
10．(2022·揭阳模拟)数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，那么S1·S2·S3·…·S10＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2，n∈N*)，∴2nan＝1(n≥2，n∈N*)，当n＝1时也满足，故an＝，故＝＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，∴S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，应选C.
11．(2022·福建宁德联考)数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，那么＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，所以令m＝1，得an＋1－an＝1＋n，所以an＝(an－an－1)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝2，所以＋＋…＋＝2×＝2×＝.应选A.
12．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，那么S2022的值为( )
A．1009 B．1010
C．2022 D．2022
答案 B
解析 因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2022＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2022＋a2022)＝1010.应选B.
13．数列{an}满足an＝，那么数列的前n项和为________．
答案
解析 an＝＝，
＝＝4，
所求的前n项和为4＝4＝.
14．(2022·海口模拟)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.S3＝，S6＝，那么a8＝________.
答案 32
解析 设等比数列{an}的公比为q，那么由S6≠2S3，得q≠1，那么S3＝＝，S6＝＝，解得q＝2，a1＝，那么a8＝a1q7＝×27＝32.
15．(2022·保定模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，那么S2n＋3＝________.
答案
解析 依题意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋＋＋…＋＝＝.
16．(2022·西安模拟)数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，那么T4＝________，T30＝________.
答案 24 650
解析 当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11(n∈N*)，所以当n≤5时，an>0，bn＝an，当n>5时，an<0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.
17．(2022·吉林二模)各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n.
解 (1)各项均为整数的等差数列{an}，设公差为d，那么d为整数，
由a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，
得a＝a2(1＋S4)，
即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，
解得d＝2，
所以an＝2n－3.
(2)由(1)，得
T2n＝－a1＋a2－a3＋a4＋…－a2n－1＋a2n
＝(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(5－4n＋4n－3)
＝2＋2＋…＋2＝2n.
18．(2022·山东莱阳模拟)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*，有2Sn＝a＋an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<1.
解 (1)当n＝1时，2a1＝a＋a1，得a1＝1或0(舍去)．
当n≥2时，因为2Sn＝a＋an，①
所以2Sn－1＝a＋an－1，②
由①②两式相减得an－an－1＝1(n≥2)，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n，n∈N*.
(2)证明：由(1)得，
bn＝＝
＝
＝
＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－<1.
19．(2022·广东二模)数列{an}满足a1·a2·a3·…·an－1·an＝n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)假设bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)数列{an}满足a1·a2·a3·…·an－1·an＝n＋1， ①
那么当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝n， ②
由，得an＝，
当n＝1时，a1＝2，满足上式．
所以an＝.
(2)由于an＝，
所以bn＝an＋＝＋＝1＋＋1－＝2＋－，
那么Sn＝2＋＋2＋＋…＋2＋＝2n＋＝2n＋1－.
20．(2022·天津局部区联考)数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2(n∈N*)，a3＋a4＝12.数列{bn}为等比数列，且b1＝a2，b2＝S3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝(－1)nan·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)由，得an＋1－an＝2，∴数列{an}是以2为公差的等差数列．∵a3＋a4＝12，
∴2a1＋10＝12，∴a1＝1，∴an＝2n－1.
设等比数列{bn}的公比为q，
∵b1＝a2＝3，b2＝S3，∴b2＝3q＝S3＝9，
∴q＝3，∴bn＝3n.
(2)由题意，得
cn＝(－1)nan·bn＝(－1)n(2n－1)·3n＝(2n－1)·(－3)n，
∴Tn＝1×(－3)＋3×(－3)2＋5×(－3)3＋…＋(2n－1)×(－3)n，
∴－3Tn＝1×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋(2n－3)×(－3)n＋(2n－1)×(－3)n＋1.
上述两式相减，得
4Tn＝－3＋2×[(－3)2＋(－3)3＋…＋(－3)n]－(2n－1)×(－3)n＋1＝－3＋－(2n－1)×(－3)n＋1＝－×(－3)n＋1，
∴Tn＝－×(－3)n＋1.
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