高三理科数学培养讲义：第2部分-专题2-第4讲-数列求和与综合问题.doc

第4讲数列求和与综合问题高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：数列中的an与Sn的关系2018全国卷T14；2016全国卷T17；2015全国卷T16分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：1.数列求和常以an与Sn的关系为载体，重点考查分组转化求和、裂项相消求和、错位相减求和，难度中等.2.与函数、不等式综合考查，突出数学思想的应用.题型2：求数列an的前n项和2017全国卷T15；2016全国卷T17; 2015全国卷T17题型3：数列中的创新与交汇问题2017全国卷T12；2014全国卷T17题型1数列中的an与Sn的关系核心知识储备1数列an中，an与Sn的关系an2求数列an通项的方法(1)叠加法形如anan1f(n)(n2)的数列应用叠加法求通项公式，ana1(a2a1)(anan1)a1f(2)f(n)(和可求)(2)叠乘法形如f(n)(n2)的数列应用叠乘法求通项公式，ana1a1f(2)f(3)f(n)(积可求)(3)待定系数法形如anan1(n2，1，0)的数列应用待定系数法求通项公式，an.高考考法示例【例1】(1)(2018巴蜀适应性月考)数列an中，a11，an1Sn3n(nN*，n1)，则数列Sn的通项公式为_(2)(2018锦州市模拟)已知数列an的前n项和为Sn，an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)求a2的值并证明：an2an2；求数列an的通项公式(1)Sn3n2nan1Sn3nSn1Sn，Sn12Sn3n，1，又11，数列是首项为，公比为的等比数列，1，Sn3n2n.(2)解令n1得2a1a24a13，又a11，a2.由2anan14Sn3，得2an1an24Sn13.即2an1(an2an)4an1.an0，an2an2.由可知：数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，a2k112(k1)2k1，即n为奇数时，ann.数列a2，a4，a6，a2k，为等差数列，公差为2，首项为，a2k2(k1)2k，即n为偶数时，ann.综上所述，an方法归纳由Sn与an的递推关系求an的思路1利用a1S1，求出a1.2利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通项公式时，务必验证n1时的情形看其是否可以与n2的表达式合并对点即时训练1数列an中，a11，对任意nN*，有an11nan，令bi(iN*)，则b1b2b2 018( )ABCDDan1n1an，an1an1n，anan1n，ana1(a2a1)(anan1)12n，bn2，b1b2b2 01821，故选D2数列an满足，a1a2a3an2n1，则数列an的通项公式为_an因为a1a2a3an2n1，所以a1a2a3an12(n1)1，两式相减得an2，即an2n1，n2.又a13，所以a16，因此an题型2求数列an的前n项和核心知识储备1分组求和法：将数列通项公式写成cnanbn的形式，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分六步：Sn；qSn；差式；和式；整理；结论高考考法示例角度一分组求和法【例21】(2018昆明市教学质量检查)已知数列an中，a13，an的前n项和Sn满足：Sn1ann2.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足：bn(1)n2an，求bn的前n项和Tn.解(1)由Sn1ann2得Sn11an1(n1)2则得an2n1.当a13时满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)得bn(1)n22n1，所以Tnb1b2bn(232522n1)(4n1)【教师备选】(2018石家庄三模)已知等差数列an的首项a12，前n项和为Sn，等比数列bn的首项b11，且a2b3，S36b2，nN*.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)数列cn满足cnbn(1)nan，记数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.a12，b11，且a2b3，S36b2，解得an2(n1)22n，bn2n1.(2)由题意：cnbn(1)nan2n1(1)n2n.Tn(1242n1)2468(1)n2n，若n为偶数：Tn(24)(68)2(n1)2n2n122nn1.若n为奇数：Tn(24)(68)2(n2)2(n1)2n2n122n2nn2.Tn角度二裂项相消法求和【例22】(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.两式相减可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.【教师备选】(2018郑州第三次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解(1)由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，两式相减，并化简，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)证明：由bnlog3(an1)log33nn，得，Tn11.角度三错位相减法求和【例23】(2018合肥教学质量检测)已知等比数列an的前n项和Sn满足4S53S4S6，且a39.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项的和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q.由4S53S4S6，得S6S53S53S4，即a63a5，q3，an93n33n1.(2)由(1)得bn(2n1)an(2n1)3n1，Tn130331532(2n1)3n1，3Tn131332(2n3)3n1(2n1)3n，得2Tn12(31323n1)(2n1)3n12(2n1)3n22(n1)3n，Tn(n1)3n1.【教师备选】(2018石家庄教学质量检测)已知数列an满足：a11，an1an .(1)设bn，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由an1an 可得.又bn，bn1bn，由a11，得b11，累加可得：(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，化简并代入b11得：bn2.(2)由(1)可知an2n，设数列的前n项和为Tn，则TnTn得Tn2，Tn4.又数列2n的前n项和为n(n1)，Snn(n1)4.方法归纳数列求和的注意事项1分组求和法求和时，当数列的各项是正负交替时，一般需要对项数n进行讨论2裂项相消法的关键在于准确裂项，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等，把握相消后所剩式子的结构前面剩几项，后面剩几项3错位相减法中，两式做减法后所得式子的项数及对应项之间的关系，求和时注意数列是否为等比数列或是从第几项开始为等比数列对点即时训练已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1anan1，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5，可得a1a2a3a5，即3a2a5，故3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)(2n1)(1)n1(4n21)T2n(4121)(4221)(4321)(4421)(1)2n14(2n)21412223242(2n1)2(2n)24(12342n12n)48n24n.题型3数列中的创新与交汇问题近几年新课标高考对该知识的命题主要体现在以下两方面：一是新信息情境下的数列问题，此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景，主要考查学生的归纳推理解决新问题的能力；二是创新命题角度考迁移能力，题目常与函数、向量、三角、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用高考考法示例角度一新信息情境下的数列问题【例31】(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440B330C220D110思路点拨A设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意知，N100，令100n14且nN*，即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1，前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，此时k5，则N5440.故选A角度二交汇类创新问题【例32】(2018长沙联考)已知正项数列an，bn满足：对于任意的nN*，都有点(n，)在直线y(x2)上，且bn，an1，bn1成等比数列，a13.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设Sn，如果对任意的nN*，不等式2aSn2恒成立求实数a的取值范围思路点拨(1)；(2)解(1)点(n，)在直线y(x2)上，(n2)，即bn.又bn，an1，bn1成等比数列，abnbn1，an1，n2时，an，a13适合上式，an.(2)由(1)知，2，Sn22.故2aSn2可化为：22，即a恒成立，故a.综上知，实数a的取值范围是.方法归纳1对于新信息情境下的数列问题，在读懂题意的前提下，要弄清所考查的问题与哪个知识点有关，在此基础上，借助相关知识寻找求解线索2以数列为背景的不等式恒成立问题，多为不等式恒成立与证明和形式的不等式，在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧，同时也要注意数列或数列对应函数的单调性的应用对点即时训练1若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.2n2因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16，猜想(an)*)*n2.2(2014全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.高考真题1.(2016全国卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C2.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632.所以S61248163263.法二：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.3.(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 _.设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由得Snn11，2.22.4.(2016全国卷)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.最新模拟5(2018昆明教学质量检查)数列an满足an1an(1)nn，则数列an的前20项的和为()A100B100C110D110A由an1an(1)nn，得a2a11，a3a43，a5a65，a19a2019，an的前20项的和为a1a2a19a20131910100，故选A6(2018安阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)x2BxC1(B，CR)的图象上，且a1C(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bnan(a1)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，则Snna1dn2n，又Snn2BnC1，两式对照得所以数列an的通项公式为an2n1.(2)bn(2n1)(22n111)(2n1)2n，则Tn12322(2n1)2n，2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1，两式相减得Tn(2n1)2n12(222n)2(2n1)2n122(2n3)2n16. 17 / 17