13.2.4--三角形内角和定理的推论--三角形的外角性质.ppt

第第1313章章 三角形中的边角关系、命题与证明三角形中的边角关系、命题与证明13.2 13.2 命题与证明命题与证明第第4 4课时课时 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论三三 角形的外角性质角形的外角性质1课堂讲解u三角形外角的定义三角形外角的定义 u三角形外角的性质三角形外角的性质 u三角形的外角和三角形的外角和2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点三角形外角的定义三角形外角的定义1三角形外角的定义：三角形外角的定义：三角形的一边三角形的一边 与另一边的延长线组成的角如图与另一边的延长线组成的角如图 中的中的ACD的一边是的一边是ABC的边的边 AC，另一边是，另一边是ABC的边的边BC的延长线的延长线2易错警示：易错警示：虽然三角形的外角在三角形外部，但不虽然三角形的外角在三角形外部，但不 应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲导引：导引：图中图中CEF的三边的延长线只有的三边的延长线只有EF的延长的延长 线线FA，CE的延长线的延长线EB，延长线，延长线FA与边与边CF 构成的角为构成的角为AFC；延长线；延长线EB与边与边EF构成构成 的角为的角为BEF.由三角形外角的概念可以判由三角形外角的概念可以判 断断AFC，BEF是是CEF的外角的外角（来自（来自点拨点拨）例例1 如图，如图，CEF的外角为的外角为_AFC，BEF总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）判定一个角是三角形的外角的三判定一个角是三角形的外角的三个条件：一是顶点在三角形的一个顶点个条件：一是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角形的一条边；三是上；二是一边是三角形的一条边；三是一边是三角形的另一条边的延长线一边是三角形的另一条边的延长线1 如图，下列关于如图，下列关于ABC的外角的说法正确的的外角的说法正确的 是是()AHBA是是ABC的外角的外角 BHBG是是ABC的外角的外角 CDCE是是ABC的外角的外角 DGBA是是ABC的外角的外角知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2关于三角形的外角，下列说法中错误的是关于三角形的外角，下列说法中错误的是 ()A一个三角形只有三个外角一个三角形只有三个外角 B三角形的每个内角处都有两个外角三角形的每个内角处都有两个外角 C三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D一个三角形共有六个外角一个三角形共有六个外角知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点三角形外角的性质三角形外角的性质知知2 2导导交流交流在图中，在图中，ABC的外角的外角ACD与它不相邻与它不相邻的内角的内角A，B有怎样的关系？尝试给出有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流证明，并与同学交流.知知2 2讲讲三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质三角形外角的性质)：1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 作用：作用：(1)此性质反映了三角形的外角与不相邻内角此性质反映了三角形的外角与不相邻内角 之间的数量关系，利用它可以求相关的角；之间的数量关系，利用它可以求相关的角；(2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和利用它可以证明一个角等于另两个角的和 或差；或差；(3)利用它作为中间关系证明两个角相等利用它作为中间关系证明两个角相等2.三角形的一个外角大于与它三角形的一个外角大于与它不相邻不相邻的任一内角；的任一内角；作用：用来证明角的不等关系作用：用来证明角的不等关系（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例2 浙江温州浙江温州如图，直线如图，直线AB，CD被被BC所截，若所截，若AB CD，145，235，则，则3_度度导引：导引：根据平行线的性质求出根据平行线的性质求出C，根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出 即可即可 ABCD，145，C145，235，32C354580.（来自（来自点拨点拨）80总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）本题考查了平行线的性质，三本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出关键是求出C的度数和得出的度数和得出32C.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）导引：导引：要求要求CDF，则需求其余角，则需求其余角2的度数的度数2180 1ACB，其中，其中1可利用三角形外角的性质求出，可利用三角形外角的性质求出，ACB为三角板内角已知如图，由三角形外角的性质，为三角板内角已知如图，由三角形外角的性质，知知1EBCE304070，由三角形内角，由三角形内角 和定理知和定理知21801ACB1807045 65，CDFEDF2906525.例例3 山东威海山东威海将一副直角三角板如图摆将一副直角三角板如图摆 放，点放，点C在在EF上，上，AC经过点经过点D.已知已知A EDF90，E30，BCE 40，则，则CDF_.25总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）本题是以三角板为背景考查三角形本题是以三角板为背景考查三角形外角的性质，是考试的一个热点；它主外角的性质，是考试的一个热点；它主要是利用了三角板位置变换过程中其内要是利用了三角板位置变换过程中其内角的度数不变的原理；解题时注意角的度数不变的原理；解题时注意数形数形结合思想结合思想的应用，能从实物中抽象出所的应用，能从实物中抽象出所需的角是解题的关键需的角是解题的关键知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）导引：导引：要判断要判断1与与2的大小关系，而这两个角间没有直接关的大小关系，而这两个角间没有直接关 系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，观系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，观 察题图知察题图知3能担当这种角色；用三角形外角的性质，能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断先判断3与与2的大小关系，再判断的大小关系，再判断1与与3的大小关的大小关 系，然后用不等式的传递性判断系，然后用不等式的传递性判断1与与2的大小关系的大小关系例例4 如图，请确定如图，请确定1与与2的大小关系，并说明为什么的大小关系，并说明为什么 解：解：12.理由如下：理由如下：1是是ABC的一个外角，的一个外角，13.3是是FGC的一个外角，的一个外角，32.12.总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）“三角形的一个外角大于与它不相邻的三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角任何一个内角”是证明有关角的不等关系的一是证明有关角的不等关系的一条重要定理，它常常结合不等式的性质条重要定理，它常常结合不等式的性质(如本如本例中不等式的传递性例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关来解决有关角的不等关系；用它可判断与三角形有关的角的大小问系；用它可判断与三角形有关的角的大小问题本题通过题本题通过3把属于两个三角形的把属于两个三角形的1和和2联系在一起是关键联系在一起是关键知知2 2讲讲 例例5 青海，改编青海，改编下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后 按要求作答：按要求作答：探究探究1：如图：如图，在，在ABC中，中，O是是ABC与与ACB的平分线的平分线BO 和和CO的交点，通过分析发现：的交点，通过分析发现：BOC90 A.(不要求证明不要求证明)探究探究2：如图：如图，O是是ABC与外角与外角ACD的平分线的平分线BO 和和CO的交的交 点，试分析点，试分析BOC与与A有怎样的数量关系？请说明理由有怎样的数量关系？请说明理由 探究探究3：如图：如图，O是外角是外角DBC与外角与外角ECB的平分线的平分线BO和和CO 的交点，则的交点，则BOC与与A有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？图图图图图图知知2 2讲讲导引：导引：探究探究2：如图，根据三角形的一个外角等于与它不相邻：如图，根据三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和，用的两个内角的和，用A与与1表示出表示出2，再利用，再利用 BOC与与1表示出表示出2，然后整理即可得到，然后整理即可得到BOC与与 A的关系；探究的关系；探究3：根据三角形的一个外角等于与它：根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 OBC与与OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式，然后再根据三角形的内角和定理列式 整理即可得解整理即可得解解：解：探究探究2结论：结论：BOC A.理由如下：如图，理由如下：如图，BO和和CO分别是分别是 ABC和和ACD的平分线，的平分线，1 ABC，2 ACD.又又ACD是是ABC的一个外角，的一个外角，知知2 2讲讲ACDAABC.2 (AABC)A1.2是是BOC的一个外角，的一个外角，BOC21 A11 A.探究探究3：OBC (AACB)，OCB (AABC)，BOC180OBCOCB180 (A ACB)(AABC)180 A (A ABCACB)180 A 18090 A.结论：结论：BOC90 A.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）本题中掌握三角形外角的性质是解题的本题中掌握三角形外角的性质是解题的关键，题中的三个结论都与关键，题中的三个结论都与 A有关，可简有关，可简记为记为“内夹角：内夹角：90 A，内外夹角：，内外夹角：A，外夹角：，外夹角：90 A”记住这些结记住这些结论，可为解填空题、选择题带来很多方便论，可为解填空题、选择题带来很多方便1 (中考中考桂林桂林)如图，如图，A50，C70，则外角则外角ABD的度数是的度数是()A110 B120 C130 D1402 (中考中考柳州柳州)图中图中1的大小等于的大小等于()A40 B50 C60 D70知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3 如图，如图，A，1，2的大小关系是的大小关系是()AA12 B21A CA21 D2A1知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4 (中考中考十堰十堰)如图，如图，ABCD，点，点E在线段在线段BC 上，若上，若140，230，则，则3的度的度 数是数是()A70 B60 C55 D50知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3知识点三角形的外角和三角形的外角和知知3 3讲讲 例例6 已知：如图，已知：如图，1，2，3是是 ABC的三个外角的三个外角.求证：求证：1+2+3=360.证明：证明：1=ABC+ACB，2=BAC+ACB，3=BAC+ABC，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）1+2+3=2（ABC+ACB+BAC）.（等式性质）（等式性质）ABC+ACB+BAC=180，（三角形内角和定理），（三角形内角和定理）1+2+3=360.（来自教材）（来自教材）归 纳知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）三角形的三个外角的和等于三角形的三个外角的和等于360.知知3 3讲讲导引：导引：A，B，C，D，E五个角不五个角不 在同一个三角形中，需要利用在同一个三角形中，需要利用“三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和与它不相邻的两个内角的和”转化到一个三角形中转化到一个三角形中 例例7 如图，在五角星如图，在五角星ABCDE中，试说明中，试说明 ABCDE180.解：解：因为因为AGF是是GCE的外角，的外角，所以所以AGFCE.同理同理AFGBD.在在AFG中，中，AAFGAGF180，所以所以ABCDE180.（来自（来自点拨点拨）总 结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)本例的说明过程，充分体现了本例的说明过程，充分体现了化分散为集中化分散为集中的的转转 化思想化思想，即把分散在不同三角形中的五个角运用，即把分散在不同三角形中的五个角运用 三角形外角的性质将其集中到同一个三角形中三角形外角的性质将其集中到同一个三角形中 去，再利用三角形内角和定理说明结论成立去，再利用三角形内角和定理说明结论成立(2)解答本例的关键是找基础三角形；这里的基础三解答本例的关键是找基础三角形；这里的基础三 角形较多，解法也多样，请读者从不同角度去找角形较多，解法也多样，请读者从不同角度去找 基础三角形，说明结论的正确性基础三角形，说明结论的正确性知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）1 下列对三角形的外角和叙述正确的是下列对三角形的外角和叙述正确的是 ()A三角形的外角和等于三角形的外角和等于180 B三角形的外角和就是所有外角的和三角形的外角和就是所有外角的和 C三角形的外角和等于所有外角和的一半三角形的外角和等于所有外角和的一半 D以上都不对以上都不对知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）2 如图是四条互相不平行的直线如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所所 截出的七个角，关于这七个角的度数关系，截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是下列结论中正确的是()A247 B317 C146180 D235360知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）3 如图，如图，1234_度度1.三角形外角的定义三角形外角的定义：在上面证明三角形内角和定理时，曾在上面证明三角形内角和定理时，曾 经如图那样把经如图那样把ABC的一边的一边BC延长至延长至 点点D，得到，得到ACD.像这样由三角形的一边与另一边的延像这样由三角形的一边与另一边的延 长线组成的角，叫做三角形的长线组成的角，叫做三角形的外角外角.2.三角形外角的性质：三角形外角的性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.3.三角形的外角和三角形的外角和.1.必做必做:完成教材完成教材P83 T1-T22.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题