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常用混凝土受压应力—应变曲线的比较及应用

摘要：为了对受弯截面进行弹塑性分析及其他研究，在对各种混凝土受压应力应变曲线研究的基础上，总结出了四种常用曲线，这些曲线已经被广泛应用。对四种常用曲线进行简介，并指出了它们的适用范围及优缺点。在进行受弯截面弹塑性分析时，介绍了运用四种常用曲线对其受力性能进行分析的计算模式，并且运用实际案例进行受弯截面弹塑性分析，方便工程师们参考和借鉴。
关键词：混凝土；受压应力应变曲线；本构关系；受弯截面
0 引言
混凝土受压应力—应变曲线是其最基本的本构关系，又是多轴本构模型的基础，在钢筋混凝土结构的非线件分析中，例如构件的截面刚度、截面极限应力分布、承载力和延性、超静定结构的内力和全过程分析等过程中，它是不可或缺的物理方程，对计算结果的准确性起决定性作用。
近年来，国内外学者对其进行了大量的研究及改进，已有数十条曲线表达式，其中部分具有代表性的表达式已经被各国规范采纳。常用的表达式包括我国《混凝土结构设计规范》(GB50010-2010)、CEB-FIP Model Code(1990)、清华过镇海以及美国学者Hognestad建议的混凝土受压应力应变关系，在已有研究的基础上，本文将对各个表达式在实际运用中的情况进行比较，并且通过实际算例运用这些表达式进行受弯截面弹塑性分析，从而为工程师们在实际应用时提供参考和借鉴。
1 常用混凝土受压应力—应变曲线比较
至今已有不少学者提出了多种混凝土受压应力应变曲线，常用的表达式采用两类，一类是采用上升段与下降段采用统一曲线的方程，一类是采用上升段与下降段不一样的方程。
1.1 中国规范
我国《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）采用的模式为德国人Rüsch1960年提出的二次抛物线加水平直线，如图1-1所示。上升阶段的应力应变关系式为：
（1-1）
A点为二次抛物线的顶点，应力为，是压应力的最大值，A点的压应变为。
下降阶段的关系式为：
（1-2）
B点为第二阶段末，其压应变为εu。过了B点，认为混凝土已破坏，不能再工作，故取εu为混凝土受压时的极限应变。

1.2 欧洲规范
欧洲规范CEB-FIP Model Code(1990)建议的应力应变关系为Sargin1971年提出的有理分式来表示，如图1-2所示，应力应变关系为：
（1-3） （1-4）

式中:εc1为相应于压应力峰值σ0的压应变εc1=-0.0022，εc1为从原点到压应力峰值点的割线模量, =/0.0022，为混凝土初始弹性模量；εu为混凝土极限压应变, 其大小与、及εc1有关。
1.3 清华过镇海曲线
清华大学的过镇海教授在1982年结合自己多年的研究成果提出了自己的混凝土受压应力-应变曲线表达式，如图1-3所示。第I阶段中，OA仍为二次抛物线，与德国人Rüsch提出的抛物线模式相同如下：
（1-1）
第II阶段中，下降段AB用有理分式表示如下：
（1-5）

其中，，见下表：
表1-1
材料
强度等级
水泥标号

／10-3
普通混凝土
C20～C30
325
425
0.4
0.8
1.40
1.60
C40
425
2.0
1.80
陶粒混凝土
CL25
425
4.0
2.00
水泥砂浆
M30～M40
325,425
4.0
2.50

1.4 美国Hognestad曲线
美国人E.Hognestad在1951年提出的应力-应变全曲线方程分为上升段和下降段，上升段与德国人Rüsch所提出模型的上升段相同，但是下降段采用一条斜率为负的直线来模拟，如图1-4所示，上升段表达式如下：
（1-1）
下降段表达式为：
（1-6）
其中：α=0.015；εu=0.038经过化简以后，表达式变为如下：
(1-7)

对于以上四种常见的混凝土单轴受压应力—应变曲线先将其优缺点进行总结，如下表：
表1-2

优点
缺点
中国规范
（1）OA段表达式比较简单，又能反映应力—应变曲线上升段的特点；AB段则更为简单。
（2）该模型能在许多情况下得到符合实际情况的结果，即适应范围广，计算结果与实际接近程度好。
AB段不能反映应力应变曲线下降段的特点。
欧洲规范
上升、下降段用同一个式子表达，便于程序处理。
比较复杂、难记。
清华过镇海曲线
（1）该模式的下降段不是直线而是一条曲线，与实测资料比较相符。
（2）上升、下降变化处连续。
上升、下降段用两个分段函数表达，且下降段式子较复杂。
美国Hognestad曲线
该曲线在一定程度上能反映下降段的特点，公式简单。
曲线用两个不同的公式表示，且顶点是尖点，导数不存在。
2 计算原理
混凝土受压应力-应变曲线最常见的用途就是进行受弯截面弹塑性分析，即在外加荷载作用下分析混凝土的最大弯矩，最大刚度等问题。在进行计算之前应假定混凝土受弯构件满足平截面假定，不考虑混凝土的抗拉强度，以及材料应力应变物理关系。
2.1 基本方程
（1）平衡条件
（2-1）
（2）变形条件
（2-2）
（3）物理条件
①混凝土受压应力应变曲线。根据实际情况从常用曲线中选取。
②钢筋受拉（压）曲线 ，如图2
(2-3)
(2-4)

2.2 计算方法
将变形（相容）条件代入物理条件得：
压区混凝土：
在应力到达峰值应力之前即，四种常用曲线均采用同一个表达式即：
（1-1）
在应力超过峰值应力之后即，四种常用曲线的表达式发生了区别分别是：
中国规范 （1-2）
欧洲规范 （1-3）
清华过镇海曲线 （1-5）
美国Hognestad （1-7）
拉区钢筋：
将σs=εsEs和σs=σy代入式(2-1)即可求解受压区高度x（其中），最后将受压区高度x代入式（2-2）即可求得截面破坏时的弯矩以及截面破坏后卸载时的弯矩。
3 应用举例
已知某钢筋混凝土受弯构件，截面尺寸如右图所示。已知：As=942mm2，Es=2×105MPa，σot= 2.2MPa，σy=364MPa。 其中：σ0=22MPa，ε0=0.002,
εu =0.0038, σy=364MPa, εy=0.00182。现对该构件使用四种曲线
分别进行对比分析。
当ε=ε0时，不管使用哪一种曲线最大弯矩均相同，经过计算为
M0为146.92KN·m。当ε=εu时，应用我国《混凝土结构设计规范》(GB50010-2010)由于σ=σuMu仍为146.92KN·m；应用美国Hognestad提出的曲线模式计算可得Mu为146.32KN·m，由此可见两者相差不大。欧洲规范和清华过镇海中所提出的混凝土受压应力应变曲线虽然更接近于实际情况，但是公式复杂不宜在工程中列出，这里就不再赘述。
4 结语
（1）四种常用的混凝土受压应力应变曲线各有其特点及适用范围，通过对四种混凝土受压应力应变曲线的对比分析方便了在实际工程当中更好的应用。
（2）在进行混凝土受弯构件弹塑性分析时，需要用到混凝土受压应力应变曲线，这里对其计算方法做了简介并且通过实际举例进一步阐明了在实际工程中如何应用。

参考文献：
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[7]李义强，王新敏，陈士通.混凝土单轴受压应力-应变曲线比较[J].公路交通科技，2005,22（10）. 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)