八年级上册压轴题强化数学质量检测试卷解析(一).doc

八年级上册压轴题强化数学质量检测试卷解析（一）
1．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边OAB，A(x，0)，其中x是方程的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边ACD，连DB并延长交y轴于点E，求的度数；
（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．

2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，为轴上点右侧的动点，以为腰作等腰，使，，直线交轴于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点运动时，点在轴上的位置是否发生变化，为什么？

3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

4．△ABC、△DPC都是等边三角形．

(1)如图1，求证：AP＝BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
5．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；

(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；

(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．

6．若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的关联点为（-5，-11）．
(1)若，试求出A的关联点坐标；
(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与的乘积，若整式C的关联点为（6，15），求整式B的表达式．
(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（-32，0），请直接写出整式E的表达式．
7．[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
[问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案）
8．已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，连接，．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图1，求证：．
(3)如图2，设交于点，交于点与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并直接写出答案（不需要证明）．
【参考答案】
2．（1）；（2）；（3）的值是定值，9．
【分析】（1）先求出方程的解为，即可求解；
（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；
（3）
解析：（1）；（2）；（3）的值是定值，9．
【分析】（1）先求出方程的解为，即可求解；
（2）由“SAS”可证△CAO≌△DAB，可得∠DBA＝∠COA＝90°，由四边形内角和定理可求解；
（3）由“SAS”可证△ABG≌△OBF可得OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，可求∠OAH＝60°，可得AH＝6，即可求解．
【详解】解：（1）∵是方程的解．
解得：，
检验当时，，，
∴是原方程的解，
∴点；
（2）∵△ACD，△ABO是等边三角形，
∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，
∴∠CAO＝∠BAD，且AO＝AB，AD＝AC，
∴△CAO≌△DAB（SAS）
∴∠DBA＝∠COA＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵∠AOE＋∠ABE＋∠OAB＋∠BEO＝360°，
∴∠BEO＝120°；
（3）GH−AF的值是定值，
理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，
∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，
∴∠OBF＝∠ABG，且OB＝AB，BF＝BG，
∴△ABG≌△OBF（SAS），
∴OF＝AG，∠BAG＝∠BOF＝60°，
∴AG＝OF＝OA＋AF＝3＋AF，
∵∠OAH＝180°−∠OAB−∠BAG，
∴∠OAH＝60°，且∠AOH＝90°，OA＝3，
∴AH＝6，
∴GH−AF＝AH＋AG−AF＝6＋3＋AF−AF＝9．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
3．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析
【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据，得出，再由定理即可得出；
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，理由见解析
【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据，得出，再由定理即可得出；
（3）设，由全等三角形的性质可得出，故为定值，再由，可知的长度不变，故可得出结论．
【详解】解：（1）证明：，
，解得，
，，
作于点，
，，
，，
在与中，
，
，
；
（2）证明：，
，即，
在与中，
，
；
（3）点在轴上的位置不发生改变．
理由：设，
由（2）知，，
，
，为定值，，
长度不变，
点在轴上的位置不发生改变．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
4．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点
解析：（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,
即可得解.
【详解】解：（1）由已知条件得：
            AC=12，OB=6
       ∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，
∴OM+ON=3
【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.
5．(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接C
解析：(1)证明过程见解析；
(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．
【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；
（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；
②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．
（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；
（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．
6．(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
解析：(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出．由等腰三角形的性质可得出结论．
(1)
解：如图1，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
．
，
，．
，，
，，
，
；
(2)
解：整式的值不会变化．
理由如下：
如图2，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当点沿轴负半轴向下运动时，
，
整式的值不变，为；
(3)
．
证明：如图3，在上截取，连接，

是等边三角形，
，，

为等腰直角三角形，
，，
，
,
，
，，
，
，
．
，
，，
，
，

，
，
，
，
即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
7．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关
解析：(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于 ， 的等式，解出、的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于，的等式，解出、的值即可．
(1)
解：（1），
，，，，
，，
的关联点坐标为：，
故笞案为：；
(2)
整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，
是二次多项式，且的次数不能超过次，
中的次数为次，
设 ，
，
，，，，
整式的关联点为，
，，
解得：，，
；
(3)
根据题意：设，

，
，，，，
整式 的关联点为，
，，
，，
，
把代入得： ，
解得： ，
或，
或．
【点睛】本题主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解决问题的关键．
8．(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△
解析：(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．
(1)
AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，

∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；
(2)
猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，
∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+BD．
(3)
作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示：

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD=，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB=，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG=，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC=CG=FG=，
∵AE≤AF+FG+EG，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．(1)∠BAC=50°；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根据构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH=AD，连接BH，想办法证
解析：(1)∠BAC=50°；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根据构建方程即可解决问题；
（2）延长AD至H，使DH=AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；
（3）先证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD=∠FAG，再证明∠BCF=150°即可．
(1)
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=65°，
∴∠EAB=50°，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC=75°，
∴∠CAF=30°，
∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°，
∴50°+2∠BAC+30°=180°，
∴∠BAC=50°．
(2)
证明：延长AD至H，使DH=AD，连接BH，
∵EF=2AD，
∴AH=EF，
在△BDH和△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC=180°，
∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ABH，
在△ABH和△EAF中，
，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠AEF=∠ABH，EF=AH=2AD，

(3)
结论：∠GAF-∠CAF=60°．
由（1）得，AD=EF，又点G为EF中点，
∴EG=AD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBM=60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD=∠FAG，
∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，
∴60°+2∠BCF=360°，
∴∠BCF=150°，
∴∠BCA+∠ACF=150°，
∴∠GAF+（180°-∠CAF）=150°，
∴∠GAF-∠CAF=60°．
.
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．