2015届高考数学第二轮高效精练14.doc

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第19讲　函数与方程思想
1. 已知函数f(x)＝loga[x2－(2a)2]对任意x∈都有意义，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：x2－(2a)2＞0对x∈恒成立，又由题知，a＞0，a≠1，∴ －(2a)2＞0，∴ 0＜a＜.
2. 在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{a}的前n项和．若S3n＝tTn，则实数t的值为________．
答案：7
3. 已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m、n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．
答案：7
解析：由f(m)＋f(2n)＝3，得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，解得m＝.m＋n＝n＋＝3＋(n－1)＋≥7，当且仅当n＝3时取等号．
4. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案：6
解析：设P(x，y)，F(－1，0)，＝(x，y)，＝(x＋1，y)，·＝x2＋x＋y2.又＋＝1，∴ y2＝3－x2，x∈[－2，2]，则·＝＋2∈[2，6]．
5. 已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)作两圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，满足PA＝PB，则实数a、b满足的等量关系是________．
答案：a＋2b－5＝0
解析：PA＝PB，则PA2＝PB2，PA2＝PO2－1，PB2＝PC2－1，∴ a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，整理得a＋2b－5＝0.
6. 已知a∈R，若关于x的方程x2－2x＋|a＋1|＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．
答案：[－1，0]
解析：方程x2－2x＋|a＋1|＋|a|＝0可化为|a＋1|＋|a|＝－x2＋2x，函数f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，∴ |a＋1|＋|a|≤1，解得－1≤a≤0.(本题也可用判别式来解决)
7. 设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．
答案：－2
解析：y′＝(n＋1)xn，切线斜率为n＋1，切线方程为y＝(n＋1)x－n，xn＝，an＝lg，a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2x3…x99)＝lg(××…×)＝lg＝－2.
8. 已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．
答案：2－3
9. 设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54＝2 014，且存在正整数k，使a1、a54、ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为____________．
答案：126
解析：因为a54＝2 014，所以a1＋53d＝2 104，
所以＋d＝38，d＞0且为正整数，所以a1是53的倍数，
因为a1、a54、ak成等比数列，所以a＝a1ak＝2×2×19×19×53×53.
若a1＝53，则53＋53d＝2 014，d＝37；
若a1＝2×53，则106＋53d＝2 014，d＝36；
若a1＝4×53，则212＋53d＝2 014，d＝34；
若a1＝1 007，则1 007＋53d＝2 014，d＝19；
所以公差d的所有可能取值之和为37＋36＋34＋19＝126.
10. 设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是______________．
答案：(－∞，－1)
解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－－＜0恒成立，显然m≠0.当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m无解．综上所述，实数m的取值范围是m＜－1.
11. 在△ABC中，角A、B、C所对边的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝.
(1) 若△ABC的面积等于，求a、b；
(2) 若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，
又△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2) 由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
联立方程组解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
12. 设数列{an}，a1＝1，an＋1＝＋；数列{bn}，bn＝3n－1an；正数数列{dn}，d＝1＋＋.
(1) 求证：数列{bn}为等差数列；
(2) 设数列{bn}，{dn}的前n项和分别为Bn、Dn，求数列{bnDn＋dnBn－bndn}的前n项和Sn.
(1) 证明：由an＋1＝＋，得3nan＋1＝3n－1an＋1.
又bn＝3n－1an，所以bn＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2) 解：由(1)得bn＝1＋(n－1)×1＝n，Bn＝.
因d＝1＋＋，
故d＝1＋＋＝1＋
＝.
由dn>0，得dn＝1＋＝1＋－.
于是，Dn＝n＋1－.
又当n≥2时，
bnDn＋dnBn－bndn＝(Bn－Bn－1)Dn＋(Dn－Dn－1)Bn－(Bn－Bn－1)(Dn－Dn－1)＝BnDn－Bn－1Dn－1，
所以Sn＝(BnDn－Bn－1Dn－1)＋(Bn－1Dn－1－Bn－2Dn－2)＋…＋(B2D2－B1D1)＋B1D1＝BnDn.
因S1＝b1D1＋d1B1－b1d1＝B1D1也适合上式，故对于任意的n∈N*，都有Sn＝BnDn.
所以Sn＝BnDn＝·
＝(n3＋2n2)．
13. 设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1) 求a、b的值；
(2) 证明：f(x)≤2x－2.
(1) 解：f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即
解得a＝－1，b＝3.
(2) 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则
g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x＞1时，g′(x)＜0，
所以g(x)在(0，1)单调增加，在(1，＋∞)上单调减小．
所以x＝1时，g(x)取极大值即为最大值．
而g(1)＝0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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