随机变量序列的极限-PPT.pptx

随机变量序列的极限随机变量序列的极限本章要点本章要点 本章讨论两类重要得极限分布本章讨论两类重要得极限分布、一、大数定律一、大数定律定义定义 设设 是一个随机变量序列是一个随机变量序列,如果存在常如果存在常数数 使得对于任意常数使得对于任意常数总有总有 则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 记作记作 若随机变量序列若随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于 则则定理定理 如果如果且函数且函数 在点在点处连续处连续,则则定理定理 设设 是两两不相关的随机变量序列是两两不相关的随机变量序列,如如果存在常数果存在常数 使得使得 则则 特别地特别地,若若则上式表明则上式表明注意注意 该定理得条件为方差有界该定理得条件为方差有界、定理定理 (独立同分布情形下得大数定律独立同分布情形下得大数定律)设设 就是独立同分布得随机变量序列就是独立同分布得随机变量序列,且且则则 用独立同分布情形下得大数定律可以证明频率得稳用独立同分布情形下得大数定律可以证明频率得稳定性。定性。设进行设进行n次独立重复得试验次独立重复得试验,每次试验只有两个结果每次试验只有两个结果引进随机变量引进随机变量相互独立相互独立,则在则在n次试验中次试验中A发生得发生得频率频率例例1 设设 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列,且且则则 有些情况下有些情况下,可以得到其分布可以得到其分布、例如例如二、中心极限定理二、中心极限定理 在数理统计中经常要用到在数理统计中经常要用到 个独立同分布的随机变量个独立同分布的随机变量进一步地有进一步地有的和的和 的分布的分布,但要给出其精确分布有但要给出其精确分布有时很困难时很困难、则则则则 但很多情况下这样得分布并不能得到但很多情况下这样得分布并不能得到,有时也不一定有时也不一定有这个必要有这个必要、人们在长期实践中发现人们在长期实践中发现,在相当一般得条件下在相当一般得条件下,只要只要 充分大充分大,总认为总认为 近似服从正态分布近似服从正态分布.下面这个例子说明了这个情况下面这个例子说明了这个情况、例例 (高尔顿钉板实验高尔顿钉板实验)高尔顿设计了一个钉板实验高尔顿设计了一个钉板实验,图中每个黑点表示钉在板上得一个钉子图中每个黑点表示钉在板上得一个钉子,它们彼此间得它们彼此间得距离相等距离相等,上一层得每一个钉子得水平位置恰好位于下上一层得每一个钉子得水平位置恰好位于下一层得两个钉子得正中间一层得两个钉子得正中间、从入口处放进一个直径略从入口处放进一个直径略小小于两个钉子之间得距离得小球于两个钉子之间得距离得小球、在小在小球向下降落得过程中球向下降落得过程中,碰到钉子后均碰到钉子后均以以 的概率向左或向右滚下的概率向左或向右滚下,于是于是又碰到下一层钉子又碰到下一层钉子、如此进行下去如此进行下去,直直到滚到底板得一个格子里为止到滚到底板得一个格子里为止、把许把许大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点多同样大小得小球不断从入口处放下多同样大小得小球不断从入口处放下,只要球得数目相只要球得数目相当大当大,它们在底板将堆成近似正态分布它们在底板将堆成近似正态分布 的密的密度函数图形度函数图形、Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8共共共共16161616层小钉层小钉层小钉层小钉小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下高尔顿高尔顿高尔顿高尔顿(Francis(Francis(Francis(Francis Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-1911)1911)1911)1911)英国人类学英国人类学英国人类学英国人类学家与气象学家家与气象学家家与气象学家家与气象学家程序如下程序如下 输出图形输出图形 定理定理 (独立同分布得中心极限定理独立同分布得中心极限定理)则对任意的则对任意的 有有独立同分布得随机变量序列独立同分布得随机变量序列,且且设设 是是其中其中 为标准正态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数.该定理得实际意义就是该定理得实际意义就是,若随机变量序若随机变量序列列满足定理条件满足定理条件,记记则则近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布、即即例例2 某人要测量甲、乙两地得距离某人要测量甲、乙两地得距离,限于测量工具限于测量工具,她她解解 设第设第 段的测量误差为段的测量误差为 所以累计误差为所以累计误差为又又 为独立同分布的随机变量为独立同分布的随机变量,由由得得分成分成1200段进行测量段进行测量,每段测量误差每段测量误差(单位单位:厘米厘米)服从服从区间区间 上的均匀分布上的均匀分布,试求总距离测量误差的试求总距离测量误差的绝对值超过绝对值超过 厘米的概率厘米的概率.由独立同分布得中心极限定理由独立同分布得中心极限定理:作为上面定理得特例作为上面定理得特例,如果如果则则 即随机变量序列即随机变量序列 满足上面定理得条件满足上面定理得条件、从而有下面得定理从而有下面得定理、定理定理 (中心极限定理中心极限定理)则对任意的则对任意的 有有即当即当 充分大时充分大时,近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.布的随机变量序列布的随机变量序列,且且 令令设设 是一个独立同分是一个独立同分 该定理得实际意义就是该定理得实际意义就是:若若则则近似服从标准正态分布、近似服从标准正态分布、即即例例3 设一个车间有设一个车间有400台同类型得机床台同类型得机床,每台机床需用每台机床需用解解 令令 表示在时刻表示在时刻 时正在开动的机器数时正在开动的机器数,则则电电 瓦瓦,由于工艺关系由于工艺关系,每台机器并不连续开动每台机器并不连续开动,开动的开动的时候只占工作总时间的时候只占工作总时间的 问应该供应多少瓦电力能问应该供应多少瓦电力能99%得概率保证该车间得车床能正常工作得概率保证该车间得车床能正常工作、(假定在工作假定在工作期内每台机器就是否处于工作状态就是相互独立期内每台机器就是否处于工作状态就是相互独立得得)、由中心极限定理知由中心极限定理知:由条件所设由条件所设,所求得概率为所求得概率为而而 为标准正态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数,查表得查表得即即:从而从而即即:只要供应只要供应 瓦的电力瓦的电力,就能以就能以99%的把握保证该的把握保证该车间得机器能正常工作车间得机器能正常工作、例例4 一本一本 万字的长篇小说进行排版万字的长篇小说进行排版,假定每个字被假定每个字被排错的概率为排错的概率为 试求这本小说出版后发现有试求这本小说出版后发现有6个字以个字以解解 设错字总数为设错字总数为 则则则有则有上错字得概率上错字得概率,假定各个字就是否被排错就是相互独立假定各个字就是否被排错就是相互独立得得、所求概率为所求概率为:即求概率为即求概率为例例5 为了测定一台机床得质量为了测定一台机床得质量,将其分解成将其分解成75个部件个部件解解 以以 表示第表示第 个部件的称量误差个部件的称量误差 由由从而从而来称量来称量.假定每个部件的称量误差（单位假定每个部件的称量误差（单位:）服从区）服从区间间 上的均匀分布上的均匀分布,且每个部件的称量是独立的且每个部件的称量是独立的,试试求机床的称量总误差的绝对值不超过求机床的称量总误差的绝对值不超过10 的概率的概率.条件所设条件所设,知知 为独立同分布序列为独立同分布序列,且且由独立同分布得中心极限定理由独立同分布得中心极限定理,可以近似认为可以近似认为于就是所求得概率为于就是所求得概率为因此机床质量总误差不超过因此机床质量总误差不超过 的概率近似为的概率近似为 例例6 某单位有某单位有200台分机台分机,每台使用外线通话得概率为每台使用外线通话得概率为15%,若每台分机就是否使用外线就是相互独立得若每台分机就是否使用外线就是相互独立得,问问该单该单位至少需要装多少多少条外线位至少需要装多少多少条外线,才能以才能以95%得概率保证得概率保证每台分机能随时接通外线电话每台分机能随时接通外线电话、解解 以以 表示在时刻表示在时刻 使用的外线数使用的外线数,则则此时有此时有若以若以 表示安装的外表示安装的外线数线数,则分机能使用外线意味着此时有则分机能使用外线意味着此时有 由由 中心极限定理得中心极限定理得:查表得查表得:即即:所以可取所以可取方能以方能以95%得把握保证在该时刻分机可以使用外得把握保证在该时刻分机可以使用外线线、三、部分作业解答三、部分作业解答5.5 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为 的指的指数分布数分布,随机抽取随机抽取 只只,试求这试求这 只晶体管的寿命总和只晶体管的寿命总和超过超过 的概率的概率.解解 以以 表示第表示第 只晶体管的寿命只晶体管的寿命,则则此时此时所求概率为所求概率为又又由中心极限定理得由中心极限定理得所以原概率近似为所以原概率近似为试问试问,最多可以把这台机床分解成多少个部件最多可以把这台机床分解成多少个部件,才能以才能以5、6 为了测定一台机床得质量为了测定一台机床得质量,将其分解成若干个部将其分解成若干个部件件来称量来称量.假定每个部件的称量误差（单位假定每个部件的称量误差（单位:）服从区）服从区间间 上的均匀分布上的均匀分布,且每个部件的称量是独立的且每个部件的称量是独立的,不低于不低于 的概率保证总重量的误差的绝对值不超过的概率保证总重量的误差的绝对值不超过解解 设将机床分解成设将机床分解成 个部件个部件,而而 表示第表示第 个部件的个部件的重量重量,则则所以所以由已知条件由已知条件又又即有即有所以取所以取 5.7 已知生男婴的概率为已知生男婴的概率为 求在求在 个婴儿中个婴儿中男孩个数多于女孩得概率男孩个数多于女孩得概率、解解 设设 个婴儿中男婴的个数为个婴儿中男婴的个数为 由条件知由条件知此时此时由中心极限定理得由中心极限定理得所以所求概率为所以所求概率为 5、8 报童沿街向行人兜售报纸报童沿街向行人兜售报纸,设每位行人买报得概率设每位行人买报得概率是是且她们就是否买报就是相互独立得且她们就是否买报就是相互独立得,试求报童在试求报童在向向 位行人兜售后位行人兜售后,卖掉报纸卖掉报纸 份的概率份的概率.解解 以以 表示出售的报纸份数表示出售的报纸份数,则则所以所以 所求概率为所求概率为