1、CH 3 复变函数积分 1 1、复变函数积分概念、复变函数积分概念 2 2、柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理 3 3、基本定理推广、基本定理推广 4 4、原函数与不定积分、原函数与不定积分 5 5、柯西积分公式、柯西积分公式 6 6、解析函数高阶导数、解析函数高阶导数 7 7、解析函数与调和函数关系、解析函数与调和函数关系第1页3.1 3.1 复变函数积分概念复变函数积分概念&3.积分存在条件及其计算法积分存在条件及其计算法&4.积分性质积分性质&2.积分定义积分定义&1.有向曲线有向曲线第2页1.有向曲线有向曲线第3页CA(起点起点)B(终点终点)CC第4页 2.积分定义积分定义定义定义D
2、Bxyo第5页A 第6页第7页 3.积分性质积分性质由积分定义得：由积分定义得：第8页4.积分存在条件及其计算法积分存在条件及其计算法定理定理A 第9页证实证实第10页A 第11页由曲线积分计算法得由曲线积分计算法得第12页例例1解解又解又解Aoxy第13页例例2解解oxyrC第14页 =-=-=-+0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp pA 第15页oxy例例3解解第16页解解:例例4第17页分析分析1积分例子积分例子:3.2 3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理第18页由此猜测由此猜测：复积分值与路径无关或沿闭路：复积分值与路径无关或沿闭路积分值积
3、分值0条件可能与被积函数解析性及解条件可能与被积函数解析性及解析区域单连通相关析区域单连通相关.先将条件加强些，作初步探讨先将条件加强些，作初步探讨第19页第20页Cauchy 定理定理第21页Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：A BC也称也称Cauchy定理定理第22页(3)定理中曲线定理中曲线C无须是简单！以下列图无须是简单！以下列图.BBC推论推论 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0,z1B,积分积分c f(z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1曲线，曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关.Cz1z0C1
4、C2C1C2z0z1第23页练习：练习：例例1 第24页复合闭路定理：复合闭路定理：3.3 3.3 基本定理推广基本定理推广复合闭路定理复合闭路定理第25页证实证实DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH第26页说明说明第27页A 此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线积分，数沿闭曲线积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它积分值，只要在变积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过f(z)不解析点不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1第28页例例1解解C1C21xyo第29页练习练习解解C1C21xyo第30页3.4 3.
5、4 原函数与不定积分原函数与不定积分&1.原函数与不定积分概念原函数与不定积分概念&2.积分计算公式积分计算公式第31页 1.原函数与不定积分概念原函数与不定积分概念 由由2基本定理推论知：设基本定理推论知：设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C,积分积分c fdz与路径与路径无关，只与起点和终点相关无关，只与起点和终点相关.当起点固定在当起点固定在z0,终点终点z在在B内变动内变动,c f(z)dz在在B内就定义了一个变上限单值函数，记作内就定义了一个变上限单值函数，记作定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)
6、在在B内解析，且内解析，且第32页定义定义 若函数若函数 (z)在区域在区域B内导数等于内导数等于f(z)，即，即 ,称称 (z)为为f(z)在在B内原函数内原函数.上面定理表明上面定理表明 是是f(z)一个一个原函数原函数.设设H(z)与与G(z)是是f(z)任何两个原函数，任何两个原函数，这表明：这表明：f(z)任何两个原函数相差一个常数任何两个原函数相差一个常数.定义定义 设设F(z)是是f(z)一个原函数，称一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f(z)不定积分，记作不定积分，记作第33页2.积分计算公式积分计算公式定理定理 设设f(z)在单连通区域在单连通区域B内解
7、析，内解析，F(z)是是f(z)一个原函数，则一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中牛顿莱布尼兹公式.A 不过要求函数是不过要求函数是解析解析,比以前比以前连续连续条件要强条件要强第34页例例1 计算以下积分：计算以下积分：解解1)第35页解解2)第36页例例3 计算以下积分：计算以下积分：第37页小结小结 求积分方法求积分方法第38页 利用利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上基本定理在多连通域上推广推广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解导出一个用边界值表示解析函数内部值积分公式析函数内部值积分公式,该公式不但给出了解
8、析该公式不但给出了解析函数一个积分表示式，从而成为研究解析函数函数一个积分表示式，从而成为研究解析函数有力工具，而且提供了计算一些复变函数沿闭有力工具，而且提供了计算一些复变函数沿闭路积分方法路积分方法.内内 容容 简简 介介3.5 Cauchy3.5 Cauchy积分公式积分公式第39页分析分析DCz0C1第40页DCz0C1猜测积分猜测积分第41页定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)证实证实第42页第43页A 第44页A 一个解析函数在圆心处值等于它在一个解析函数在圆心处值等于它在圆周上平均值圆周上平均值.第45页例例1解解第46页例例2解解CC1C21xyo第47页例例3解解 第4
9、8页内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数无穷次可导性，并导出本节研究解析函数无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不研究表明：一个解析函数不但有一阶导数，而且有各阶导数，它值也可用但有一阶导数，而且有各阶导数，它值也可用函数在边界上值经过积分来表示函数在边界上值经过积分来表示.这一点与实变这一点与实变函数有本质区分函数有本质区分.6 6 解析函数高阶导数解析函数高阶导数第49页形式上，形式上，以下将对这些公式正确性加以证实以下将对这些公式正确性加以证实.第50页定理定理证实证实 用数学归纳法和导数定义用数学归纳法和导数定义.第51页令为令为I第52页第
10、53页依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得第54页一个解析函数导数仍为解析函数一个解析函数导数仍为解析函数.第55页例例1解解第56页第57页第58页例例2第59页77解析函数与调和函数关系解析函数与调和函数关系定义定义定理定理第60页证实：证实：设设f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则第61页即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义第62页上面定理说明：上面定理说明：由解析概念得：由解析概念得：现在研究反过来问题：现在研究反过来问题：第63页如如第64页第65页定理定理第66页A 公式不用强记！
11、可以下推出：公式不用强记！可以下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，第67页A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有主要应用问题中都有主要应用.本节介绍了调和函数与解本节介绍了调和函数与解析函数关系析函数关系.第68页例例1解解曲线积分法曲线积分法第69页故故A 第70页又解又解凑凑全全微微分分法法第71页又解又解偏偏积积分分法法第72页又解又解不不定定积积分分法法第73页本章作业本章作业2.；5.（1）；）；7.（3），（），（5），（），（8），（），（9）；）；8.（3），（），（4）；）；9.（1），（），（3）；）；14.；28.；30.（3）；）；31.第74页
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