人教版八年级下册数学期末试卷专题练习(word版.doc

人教版八年级下册数学期末试卷专题练习（word版
一、选择题
1．若能使二次根式有意义，则这个二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，6 D．6，8，10
3．下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
4．甲、乙两人一周中每天制作工艺品的数量如图所示，则对甲、乙两人每天制作工艺品数量描述正确的是（ ）

A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲与乙一样稳定 D．无法确定
5．如图，在四边形ABCD中，AC＝16，BD＝12，且AC⊥BD，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法错误的是（ ）

A．四边形EFGH是矩形 B．四边形ABCD的面积是92
C．四边形EFGH的面积是48 D．四边形EFGH的周长是28
6．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，作，，；以A为圆心，以AC长为半径画弧，交斜边AB与点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC与点E．若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是( )

A． B．10
C． D．12
二、填空题
9．当代数式有意义时，x应满足的条件_____．
10．如图，菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD=1∶2，则AO∶BO=____，菱形ABCD的面积S=____．

11．长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是________cm2.
12．若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为 _______．
13．如图，直线l的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），若0＜kx+b＜1.5，则自变量x的取值范围为_________．

14．如图， 在矩形ABCD中， 对角线AC， BD交于点O， 已知∠AOD=120°， AB=1，则BC的长为______

15．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线y=kx上，∠B1OA1=30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1＝1，则点B6的纵坐标是_________．

16．已知，如图点，，点为轴上一点，当最大时，点的坐标为________．

三、解答题
17．计算
（1）
（2）
18．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）

19．如图1，图2，图3，图4一个每个小正方形的边长为1正方形网格，借用网格就能计算出一些三角形的面积的面积．

（1）请你利用正方形网格，计算出如图1所示的△ABC的面积为　 　．
（2）请你利用正方形网格，在图2中比较1与的大小．
（3）已知x是正数，请利用正方形网格，在图3中求出的最小值．
（4）若△ABC三边的长分别为，，（其中m＞0，n＞0且m≠n），请利用正方形网格，在图4中求出这个三角形的面积．
20．如图，平行四边形的对角线、相较于点O，且，，．求证：四边形是矩形．

21．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，有时会碰上如，这样的式子其实我们还可以进一步化简．例如：，这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请参照上述方法化简：
（2）猜想：　　　　　（用含n的式子表示）
（3）化简：
22．某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：
（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？

23．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为秒．

（1）直接写出的面积（用含的代数式表示）．
（2）当点M落在BC边上时，求的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
24．如图1，直线y=kx+b经过第一象限内的定点P(3，4)．
（1）若b=7，则k=_______；
（2）如图2，直线y=kx+b与y轴交于点C，已知点A(6，t)，过点A作AB//y轴交第一象限内的直线y=kx+b于点B，连接OB，若BP平分∠OBA．①证明是等腰三角形；②求k的值；
（3）如图3，点M是x轴正半轴上的一个动点，连接PM，把线段PM绕点M顺时针旋转90°至线段NM（∠PMN=90°且PM=MN），连接OP，ON，PN，当周长最小时，求点N的坐标；

25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接，且
①求证：与互相平分；
②求证：；
（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当，，时，求之长.

26．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．

（1）如图1，连接BE，求证：AD＝BE．
（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，
①求证：FD＝FB；
②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当，求OF2+BF2的最小值．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项分析即可
【详解】
A. 要使有意义，则，解得，该项不符合题意；
B. 要使有意义，则，解得，该项不符合题意；
C.要使有意义，则，解得，能使二次根式有意义，该项符合题意；
D. 要使有意义，则，解得，该项不符合题意；
故选C
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为，所以不能构成直角三角形，不合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，不合题意；
C、因为，所以不能构成直角三角形，不合题意；
D、因为，所以能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的内容．如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法逐一判断即可答案．
【详解】
A.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意，
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项正确，符合题意，
C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项错误，不符合题意，
D.一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形，故该选项错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理，熟练掌握菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法是解题关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据折线统计图得出甲、乙每天制作的个数，从而得出两组数据之间的关系，继而得出方差关系．
【详解】
解：由折线统计图知，甲5天制作的个数分别为15、20、15、25、20，
乙5天制作的个数分别为10、15、10、20、15，
∴甲从周一至周五每天制作的个数分别比乙每天制作的个数多5个，
∴甲、乙制作的个数稳定性一样，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了利用方差进行决策，准确分析判断是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由AC=8，BD=6，且AC⊥BD，可求出四边形EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项CD是否正确；题目给出的数据求出四边形EFGH的周长，所以选项B不符合题意．
【详解】
解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，GH=AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形，故选项A正确，不符合题意；
∵AC=16，BD=12，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=AC•BD=96，故选项B错误，符合题意；
∵四边形EFGH是矩形，且HG=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的面积6×8=48，故选项C正确，不符合题意；
∵EF=AC=8，HE=BD=6，
∴四边形EFGH的周长=2（6+8）=28，所以选项D正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
∴∠1＝20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，再根据圆的定义可求得AD=AC，BE=BD即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴AC=3，
在中，，由勾股定理得：
，
由题意，AD=AC=3，BE=BD=AB－AD=－3，
∴CE=BC－BE=6－（－3）=9－，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的定义、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．
【详解】
解：如图，点C(1，0)关于y轴的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，

∵直线AB的解析式为y=-x+7，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由
解得，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），
∵K是CC″中点，C(1，0)，
设C″坐标为（m，n），
∴，解得：
∴C″（7，6）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″=
故答案为10．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，将三角形的周长转化为线段的长．
二、填空题
9．x4且x≠±1
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴4﹣x≥0，x2﹣1≠0，
解得，x≤4且x≠±1，
故答案为：x≤4且x≠±1．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
10．A
解析： 1：2 4
【解析】
【分析】
根据菱形性质得出AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，即可求出AO：BO，根据勾股定理得出方程，求出x的值，求出AC、BD，根据菱形面积公式求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，
∵AC：BD=1：2，
∴AO：BO=AC：（BD）=AC：BD=1：2；
设AO=x，则BO=2x，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（2x）2=（）2，
解得：x=1（负数舍去），
即AO=1，BO=2，
∴AC=2，BD=4，
∴菱形ABCD的面积是S=×AC×BD=×2×4=4，
故答案为：1：2，4．
【点睛】
本题考查了菱形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半．
11．48
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出长方形的另一条边，然后根据面积公式计算即可.
【详解】
解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，
由勾股定理可知：长方形的另一条边=cm
∴长方形的面积为：6×8=48 cm2.
故答案为：48.
【点睛】
此题考查的是勾股定理和长方形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
12．5
【分析】
先根据勾股定理计算出斜边，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】
解：因为直角三角形的两条直角边分别5和12，
由勾股定理可得：斜边=，
因为斜边上的中线等于斜边的一半，
所以斜边中线=13÷2=6.5，
故答案为：6.5.
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
13．﹣2＜x＜1
【分析】
把（1，1.5），（﹣2，0）代入y＝kx+b解不等式即可得到结论．
【详解】
解：把（1，1.5），（﹣2，0）代入y＝kx+b
得
解得：
∴直线l的解析式为y＝x+1，
∵0＜kx+b＜1.5，
∴0＜x+1＜1.5，
解得：﹣2＜x＜1，
∴自变量x的取值范围为﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于能够准确求出一次函数的解析式.
14．A
解析：
【分析】
根据矩形的性质可得∠ACB的度数，从而利用勾股定理可求出BC的长度．
【详解】
解：由题意得：∠ACB=30°，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，
AC=2AB=2，
由勾股定理得，BC=，
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，比较简单，解答本题的关键是求出∠ACB的度数．
15．【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，从而得出AnBn=
解析：
【分析】
设△BnAnAn+1的边长为an，根据勾股定理求出点M坐标，求出直线的解析式，得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，从而得出AnBn=OAn，列出部分an的值，发现规律an+1=2an，依此规律结合等边三角形的性质即可得出结论.
【详解】
设△BnAn An+1的边长为an，点B1，B2，B3，…是直线y= 上的第一象限内的点，
过A1作A1M⊥x轴交直线OB1于M点，

∵OA1＝1，
∴点M的横坐标为1，
∵∠MOA1=30°，
∴OM=2A1M
在Rt△OMA1中，由勾股定理（2A1M）2=A1M2+1
解得A1M=
∴点M的坐标为(1，)
点M在y= 上，
∴=
∵∠A1OB1 = 30°，
又△BnAnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1 = 60°，
∴∠OBnAn = ∠BnAnAn+1 -∠BnOAn=30°，
∴AnBn = OAn，
∵OA1=1，
∴a1 =1，
a2=1+1=2= 2a1，
a3= 1+a1 +a2=4= 2a2，
a4 = 1+a1 +a2十a3 =8= 2a3，
an+1 = 2an，
a5 =2a4= 16， a6 = 2a5 = 32，a7= 2a6= 64，
∵△A6B6A7为等边三角形，
∴点B6的坐标为(a7-a6，(a7- a6))，
∴点B6的坐标为(48，16)
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，勾股定理，解题的关键是找出规律:an+1=2an本题属于灵活题，难度较大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键.
16．【分析】
作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】
作A关于x轴对称点C，连接BC并
解析：
【分析】
作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】
作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，

∵A（1，1），
∴C的坐标为（1，-1），
连接BC，
设直线BC的解析式为：，
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
当y=0时，，
∴点P的坐标为：，
∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：
|PA-PB|=|PC-PB|＜BC，
∴此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的四则运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式，对式子进行求解．
【详解】
解：（1）

（2）
【点睛】
此题考查了二次根式的四
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的四则运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式，对式子进行求解．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
此题考查了二次根式的四则运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的性质以及运算法则．
18．55尺
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：
解析：55尺
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．（1）；（2）+1＞；（3）；（4）mn．
【解析】
【分析】
（1）利用分割法求出三角形面积即可．
（2）构造三角形三边为，1，即可判断．
（3）如图，欲求的最小值，相当于在x轴上取一点P（x，0
解析：（1）；（2）+1＞；（3）；（4）mn．
【解析】
【分析】
（1）利用分割法求出三角形面积即可．
（2）构造三角形三边为，1，即可判断．
（3）如图，欲求的最小值，相当于在x轴上取一点P（x，0），到M（0，3），N（5，1）的距离和最小．
（4）建立如图网格图，小长方形的从为m，宽为n，则QW=，TW=，QT=，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，S△ABC=3×4-×1×2-×1×4-×3×3=，
故答案为：．
（2）如图2中，观察图象可知，DE=，EF=1，DF=．

∵DF+EF＞DE，
∴+1＞．
（3）如图，欲求的最小值，相当于在x轴上取一点P（x，0）到M（0，3），N（5，1）的距离和最小．

作点M关于x轴的对称点M′，连接NM′，交x轴于P，此时PM+PN的值最小，最小值=．
（4）建立如图网格图，小长方形的长为m，宽为n，则QW=，TW=，QT=，

∴S△QWT=4m×3n-×2m×n-×3m×3n-×4m×2n=mn．
故答案为：mn．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会；利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
20．见解析
【分析】
先根据四边形是平行四边形且得到平行四边形是菱形，即可得到，再根据，，证明四边形是平行四边形，即可得到平行四边形是矩形．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形且
∴平行四边形是菱形
解析：见解析
【分析】
先根据四边形是平行四边形且得到平行四边形是菱形，即可得到，再根据，，证明四边形是平行四边形，即可得到平行四边形是矩形．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形且
∴平行四边形是菱形
∴，即
又∵，．
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据材料运用方法进行分母有理化即可；
（2）根据题意总结规律即可；
（3）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
【详解】
解：（1）
=
=；
解析：（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据材料运用方法进行分母有理化即可；
（2）根据题意总结规律即可；
（3）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
故答案为：；
（3）
=
=
=
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．
22．（1）；（2）4.5千克．
【分析】
（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】
解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
解析：（1）；（2）4.5千克．
【分析】
（1）当x≥2时函数为一次函数，用待定系数法求函数解析式；
（2）把y＝20代入（1）中解析式求解即可.
【详解】
解：（1）当时，设与之间的的函数关系式为，
将点，带入解析式得
解得
∴．
（2）将时，带入中解得千克．
答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
23．（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，．
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是
解析：（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，．
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得是的中位线，从而可得，然后与（1）所求的建立等式求解即可得；
（3）分①当点H是AB的中点时，；②当点Q与点E重合时，；③当时，三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：，
点Q为AP的中点，
，
四边形ABCD是矩形，
，
是的角平分线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
则的面积为；
（2）如图1，四边形PQHM是平行四边形，
，
点M在BC边上，
，
点Q为AP的中点，
是的中位线，
，
由（1）知，，
则，
解得；

（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H是AB的中点时，则，
四边形PQHM是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
由（2）可知，此时；

②如图3，当点Q与点E重合时，
在和中，，
，
，
则，
解得；

③如图4，当时，
四边形ABCD是矩形，四边形PQHM是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
则由得：，
解得；

综上，如图2，当时，；如图3，当时，；如图4，当时，．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．
24．（1）-1；（2）①证明见详解；②；（3）(，)
【解析】
【分析】
（1）把P(3,4),b=7代入y=kx+b中，可得k=-1
（2）①根据平行的性质：内错角相等，证明∠OCB=∠OBC，由等角
解析：（1）-1；（2）①证明见详解；②；（3）(，)
【解析】
【分析】
（1）把P(3,4),b=7代入y=kx+b中，可得k=-1
（2）①根据平行的性质：内错角相等，证明∠OCB=∠OBC，由等角对等边得到是等腰三角形
②根据坐标证明P是BC的中点，由等腰三角形三线合一性质得OP⊥BC，求出OP函数关系式中k的值，根据两个一次函数图像互相垂直时k的关系，求解出直线BC的表达式中的k=
（3）根据动点M的运动情况分析出N的轨迹函数，然后证明△OHG是等腰直角三角形，根据中点坐标公式求得直线O’P的表达式，联立方程求出N点坐标
【详解】
（1）把P(3,4)，b=7代入y=kx+b中，
可得4=3k+7
解得k=-1
故答案为-1
（2）①∵AB∥y轴
∴∠ABC＝∠OCB
∵BP平分∠OBA
∴∠OBC=∠ABC
∴∠OCB=∠OBC
∴是等腰三角形
②如图4所示，连接OP

∵AB//y轴，A(6，t)
∴B点横坐标是6
∵P横坐标是3
∴P是BC的中点
∴OP⊥BC
设直线OP的表达式为y=kx
将P（3,4）代入得4=3k
解得k= ，
则设直线BC的表达式中的k=.
故答案为.
（3）①如图5-1，当点M与O重合时，作PE⊥y轴于点E，作NF⊥y轴于点F

∵PM⊥NM
∴∠PMN=90°
∴∠PME+∠NMF=90°
∵∠FMN+∠FNM=90°
∴∠PME=∠MNF
在△PEM△MFN中

∴△PEO≌△OFN（AAS）
∴MF=PE=3,FN=ME=4
则N点的坐标为（4，-3）
②如图5-2所示,，当PM⊥x轴时，N点在x轴上，

则MN=PM=3,ON=OM+MN=7，
∴N的坐标为（7，0）
综上所述得点N在直线y=x-7的直线上运动
设直线y=x-7与坐标轴分别交于点G、H，作O关于直线HG的对称点O`，连接O`P交直线HG于点N，此时ON+PN有最小值，最小值为线段O`P的长度.如图5-3所示.

当直线y=x-7可得H(0,-7),G(7,0),OG=OH，△OHG是等腰直角三角形，
当OQ⊥HG时，
Q是HG的中点，
由中点坐标公式可得Q(,-)，
∵O`与O对称
∴Q是OO`的中点
由中点坐标公式可得O’(7,-7)，
∴可得直线O’P的表达式为
联立方程，
解得
∴N点坐标为（，）
∴当△OPN周长最小时，点N的坐标为（，）
故答案为（，）
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、角平分线的性质，平行的性质等，熟练掌握数形结合的解题方法是解决此题目的关键，综合性强，难度较大．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形
解析：（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．
在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP＝BE，
∵BP+2PD＝4 ，
∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，
∵AB＝4，
∴（2）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2，
∴BE＝2，
∴PD＝2﹣2．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.
26．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，首
解析：（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，首先证明△ACT≌△BCG及△DCH≌△ECT，得到CT＝BG，CT＝DH，通过等量代换得出DH＝BG，再证明△DHF≌△BGF，则可证明结论；
②首先利用等腰三角形的性质和ASA证明△AOM≌△COF，则有OM＝OF，然后利用等腰直角三角形的性质得出FK＝BF，然后利用三角形的面积得出OF×BF＝10，最后利用平方的非负性和完全平方公式求解即可．
【详解】
证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；

（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，

∵CF⊥AE，
∴∠ATC=∠ATF=90°，
∴∠ACT+∠CAT＝90°，
又∵∠ACT+∠BCG＝90°，
∴∠CAT＝∠BCG，
在△ACT和△CBG中，
，
∴△ACT≌△CBG（AAS），
∴CT＝BG，
同理可证△DCH≌△ECT，
∴CT＝DH，
∴DH＝BG，
在△DHF和△BGF中，
，
∴△DHF≌△BGF（AAS），
∴DF＝BF；
②如图3，过点F作FK⊥BC于K，
∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，点O是AB的中点，
∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∵AT⊥CF，
∴∠ATF=90°，
∴∠OFC+∠FAT＝90°，
∴∠FAT＝∠OCF，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴OM＝OF，
又∵CO⊥AO，
∴∠OFM＝∠OMF＝45°，，
∴∠OFM＝∠ABC，MF＝OF，
∴MFBC，
∴∠MFK=∠BKF=90°，
∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，
∴∠ABC＝∠BFK＝45°，
∴FK＝BK，
∵，
∴FK＝BF，
∵S△FMN＝5，
∴×MF×FK＝5，
∴OF×BF＝10，
∴OF×BF＝10，
∵（BF﹣OF）2≥0，
∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，

∴BF2+OF2≥2×10＝20，
∴BF2+OF2的最小值为20．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形面积，完全平方公式等等，掌握等腰直角三角形的性质与判定和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．