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<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>一． 不等式得性质:
二.不等式大小比较得常用方法:
1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差得符号得出结果;
2.作商(常用于分数指数幂得代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化;
6.利用函数得单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。其中比较法(作差、作商)就是最基本得方法。
三.重要不等式
1、(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
2、 (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)
(3)若,则 (当且仅当时取“=”)
3、若,则 (当且仅当时取“=”);
若,则 (当且仅当时取“=”)
若,则 (当且仅当时取“=”)
4、若,则(当且仅当时取“=”)
注:(1)当两个正数得积为定植时,可以求它们得与得最小值,当两个正数得与为定植时,可以求它们得积得最小值,正所谓“积定与最小,与定积最大”.
(2)求最值得条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量得取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛得应用.
≤≤ ≤
应用一:求最值
例1:求下列函数得值域(1)y＝3x 2＋ (2)y＝x＋
解题技巧:
技巧一:凑项 例1:已知,求函数得最大值。
评注:本题需要调整项得符号,又要配凑项得系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数
例1、 当时,求得最大值。
技巧三: 分离 例3、 求得值域。
技巧四:换元
解析二:本题瞧似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x＋1,化简原式在分离求最值。
当,即t=时,(当t=2即x＝1时取“＝”号)。
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到得情况,应结合函数得单调性。例:求函数得值域。
解:令,则
因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。
因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。
所以,所求函数得值域为。
2.已知,求函数得最大值、;3.,求函数得最大值、
条件求最值
1、若实数满足,则得最小值就是 、
分析:“与”到“积”就是一个缩小得过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
解: 都就是正数,≥
当时等号成立,由及得即当时,得最小值就是6.
变式:若,求得最小值、并求x,y得值
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号得条件得一致性,否则就会出错。。
2:已知,且,求得最小值。
应用二:利用基本不等式证明不等式
1.已知为两两不相等得实数,求证:
1)正数a,b,c满足a＋b＋c＝1,求证:(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6:已知a、b、c,且。求证:
分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。
解:a、b、c,。。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
。当且仅当时取等号。
应用三:基本不等式与恒成立问题
例:已知且,求使不等式恒成立得实数得取值范围。
解:令,
。 ,
应用四:均值定理在比较大小中得应用:
例:若,则得大小关系就是 、
分析:∵ ∴(
∴R>Q
四.不等式得解法、
1、一元一次不等式得解法。2、一元二次不等式得解法
3、简单得一元高次不等式得解法:标根法:其步骤就是:(1)分解成若干个一次因式得积,并使每一个因式中最高次项得系数为正;(2)将每一个一次因式得根标在数轴上,从最大根得右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现得符号变化规律,写出不等式得解集。如
(1)解不等式。
(答:或);
(2)不等式得解集就是____
(答:或);
(3)设函数、得定义域都就是R,且得解集为,得解集为,则不等式得解集为______
(答:);
(4)要使满足关于得不等式(解集非空)得每一个得值至少满足不等式中得一个,则实数得取值范围就是______、
(答:)
4.分式不等式得解法:分式不等式得一般解题思路就是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项得系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。如
(1)解不等式
(答:);
(2)关于得不等式得解集为,则关于得不等式得解集为____________
(答:)、
5、指数与对数不等式。
6.绝对值不等式得解法:
(1)含绝对值得不等式|x|＜a与|x|＞a得解集
(2)|ax+b|≤c(c＞0)与|ax+b|≥c(c＞0)型不等式得解法
①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c、
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)与|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式得解法
方法一:利用绝对值不等式得几何意义求解,体现了数形结合得思想;
方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论得思想;
方法三:通过构造函数,利用函数得图象求解,体现了函数与方程得思想。
方法四:两边平方。
例1:解下列不等式:
【解析】:(1)解法一(公式法)
原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x x="">3或x<0或0<x<1
∴原不等式得解集为﹛x︱x<0或0</p><x<1或x>3﹜
解法2(数形结合法)
作出示意图,易观察原不等式得解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
第(1)题图 第(2)题图
【解析】:此题若直接求解分式不等式组,略显复杂,且容易解答错误;若能结合反比例函数图象,则解集为,结果一目了然。
例2:解不等式:
【解析】作出函数f(x)=|x|与函数g(x)=得图象,
易知解集为
例3:。
【解法1】令
令,分别作出函数g(x)与h(x)得图象,知原不等式得解集为
【解法2】原不等式等价于
令
分别作出函数g(x)与h(x)得图象,易求出g(x)与h(x)得图象得交点坐标为
所以不等式得解集为
【解法3】 由得几何意义可设Ｆ1(－１,０),Ｆ２(１,０),Ｍ(x,y),若,可知Ｍ得轨迹就是以Ｆ1、Ｆ2为焦点得双曲线得右支,其中右顶点为(,０),由双曲线得图象与｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥、
7.含参不等式得解法:求解得通法就是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论就是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式得解集就是…”。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集、 如
(1)若,则得取值范围就是__________(答:或);
(2)解不等式
(答:时,;时,或;时,或)
提醒:(1)解不等式就是求不等式得解集,最后务必有集合得形式表示;(2)不等式解集得端点值往往就是不等式对应方程得根或不等式有意义范围得端点值。如关于得不等式 得解集为,则不等式得解集为__________(答:(－1,2))
例2、(1)求函数得最大与最小值;
(2)设,函数、
若,求得最大值
例3、两个施工队分别被安排在公路沿线得两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌得第10km与第20km处、现要在公路沿线建两个施工队得共同临时生活区,每个施工队每天在生活区与施工地点之间往返一次、要使两个施工队每天往返得路程之与最小,生活区应该建于何处？
七.证明不等式得方法:比较法、分析法、综合法与放缩法(比较法得步骤就是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1得大小,然后作出结论。)、
常用得放缩技巧有:
如(1)已知,求证: ;
(2) 已知,求证:;
(3)已知,且,求证:;
(4)若a、b、c就是不全相等得正数,求证:;
(5)已知,求证:;
(6)若,求证:;
(7)已知,求证:;
(8)求证:。
八.不等式得恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题得常规处理方式？(常应用函数方程思想与“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式得结构特征,利用数形结合法)
1)、恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
如(1)设实数满足,当时,得取值范围就是______
(答:);
(2)不等式对一切实数恒成立,求实数得取值范围_____
(答:);
(3)若不等式对满足得所有都成立,则得取值范围_____
(答:(,));
(4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数得取值范围就是_____
(答:);
(5)若不等式对得所有实数都成立,求得取值范围、
⑹若不等式恒成立,则实数a得取值范围就是
此题直接求解无从着手,结合函数
易知,a只需满足条件:
0＜a＜1,且从而解得
2)、 能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上得、如
已知不等式在实数集上得解集不就是空集,求实数得取值范围____
(答:)
3)、 恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式得解集为;
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式得解集为、
例:若不等变恰有一解,求实数a得值
引导分析:此题若解不等式组,就特别麻烦了。结合二次函数得图形就会容易得多。
图解:
由图象易知:a=2或者a=-2
九.线性规划
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