资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣4
2．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。
B．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。
C．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖。
D．打开电视，中央一套正在播放新闻联播。
4．以为顶点的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中是随机事件的个数是（ ）
①投掷一枚硬币，正面朝上；
②五边形的内角和是540°；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品；
④一个图形平移后与原来的图形不全等．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），若抛物线y＝x2﹣ax+a+1与线段AB有两个不同的交点（包含线段AB端点），则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a＜﹣1 B．≤a≤﹣1 C．＜a＜﹣1 D．＜a≤﹣1
8．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
9．若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数，称为“”或，如，，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“”数的槪率为（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．14
11．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．
16．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
17．如图，某景区想在一个长，宽的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为，如果横向小桥的宽为，那么可列出关于的方程为__________．（方程不用整理）
18．如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则＝______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，则他测得的树高应为多少米?
20．（8分）四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
21．（8分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长.
23．（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
24．（10分）综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点Q，请解答下列问题：
（1）求抛物线与x轴的交点A和B的坐标及顶点坐标
（2）求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标．
25．（12分）如图，、交于点，，且平分．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
26．解方程：
(1)x2﹣2x﹣1=0 (2) 2(x﹣3)=3x(x﹣3)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中bx叫一次项，系数是b，可直接得到答案．
【详解】解：一次项是：未知数次数是1的项，故一次项是﹣3x，系数是：﹣3，
故选：B．
【点睛】
此题考查的是求一元一次方程一般式中一次项系数,掌握一元一次方程的一般形式和一次项系数的定义是解决此题的关键．
2、B
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
3、B
【解析】A、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误；
B、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；
C、某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖，故此选项错误；
D、中央一套电视节目有很多，打开电视有可能正在播放中央新闻也有可能播放其它节目，故本选项错误.
故选B．
4、C
【解析】若二次函数的表达式为，则其顶点坐标为(a,b).
【详解】解：当顶点为时，二次函数表达式可写成：，
故选择C.
【点睛】
理解二次函数解析式中顶点式的含义.
5、A
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=，
在Rt△DMH中，DM===，
∵CM∥AD，
∴==，
∴P′M= DM=．
故选A．
【点睛】
本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】①掷一枚硬币正面朝上是随机事件；
②五边形的内角和是540°是必然事件；
③20件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是次品是随机事件；
④一个图形平移后与原来的图形不全等是不可能事件；
则是随机事件的有①③，共2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、A
【分析】根据题意，先将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a的取值范围，然后再求得抛物y＝x2﹣ax+a+1经过A点时的a的值，即可求得a的取值范围．
【详解】解：∵点A（﹣1，﹣1），点B（1，1），
∴直线AB为y＝x，
令x＝x2﹣ax+a+1，
则x2﹣（a+1）x+a+1＝0，
若直线y＝x与抛物线x2﹣ax+a+1有两个不同的交点，
则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0，
解得，a＞3（舍去）或a＜﹣1，
把点A（﹣1，﹣1）代入y＝x2﹣ax+a+1解得a＝﹣，
由上可得﹣≤a＜﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
8、D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9、C
【分析】首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个，即324，423，
故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”数的概率为，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10、B
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
【详解】
解：根据题意列出方程，
解得：x=6，
故选B.
考点：利用频率估计概率．
11、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
12、C
【解析】试题分析：由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．
故选C．
考点：平行四边形的判定
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【解析】试题分析：根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得，即，解得CD=1m．
考点：相似三角形的应用．
14、3
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，
∴OA=OC，BD=2OB=8；
∵S菱形ABCD=24，
∴AC=6；
∵AH⊥BC，OA=OC，
∴OH=AC=3.
故答案为3.
【点睛】
本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.
15、17°
【详解】解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
16、1
【分析】根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.
【详解】解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，
∴；
故答案为1．
【点睛】
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
17、
【分析】横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为，根据荷花的种植面积列出一元二次方程.
【详解】解：设横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为
根据题意，
【点睛】
本题关键是在图中，将小桥平移到长方形最边侧，将荷花池整合在一起计算.
18、
【分析】连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC＝BH，AB＝CH，由垂直平分线的性质可得BE＝CE，CD＝BD，可证CE＝BE＝CD＝DB，通过证明Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE＝DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2＝AE•BE，由勾股定理可得BE2﹣AE2＝AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．
【详解】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，
∵AC是半圆的切线
∴AC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，
∴四边形ACHB是矩形，
∴AC＝BH，AB＝CH，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，CD＝BD，且DE⊥BC，
∴∠BED＝∠CED，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∴CE＝BE＝CD＝DB，
∵AC＝BH，CE＝BD，
∴Rt△ACE≌Rt△HBD（HL）
∴AE＝DH，
∵CE2﹣AE2＝AC2，
∴BE2﹣AE2＝AC2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDH＝90°，且∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BDH，且∠ACD＝∠BHD，
∴△ACD∽△DHB，
∴，
∴AC2＝AE•BE，
∴BE2﹣AE2＝AE•BE，
∴BE＝AE，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考察垂直平分线的性质、矩形的性质和相似三角形，解题关键是连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，证明出四边形ACHB是矩形.
三、解答题（共78分）
19、树高为米．
【分析】延长交BD延长线于点，根据同一时刻，物体与影长成正比可得，根据AB//CD可得△AEB∽△CED，可得，即可得出，可求出DE的长，由BE=BD+DE可求出BE的长，根据求出AB的长即可．
【详解】延长和相交于点，则就是树影长的一部分，
∵某一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，
∵AB//CD，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即树高为米．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．
20、解：（1）P（抽到2）= ．
（2）不公平，修改规则见解析
【详解】解：（1）P（抽到2）= ．
（2）根据题意可列表
2
2
3
6
2
22
22
23
26
2
22
22
23
26
3
32
32
33
36
6
62
62
63
66
从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，
∴P（两位数不超过32）= ．
∴游戏不公平．
调整规则：
法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数不超过32的得5分；能使游戏公平
法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．
21、（1）关系式；（2）x=15，y=1．
【解析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可．
【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式；
（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，又可得；
联立求解可得x=15，y=1．
【点睛】
考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
22、（1），D；（2）是直角三角形，见解析；（3），.
【分析】（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；
（2）分别求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；
（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线的解析式，可得M点坐标，然后易求此时△ACM的周长．
【详解】解：（1）∵点在抛物线上，
∴，
解得：.
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为：；
（2）是直角三角形，
证明：当时，
∴，即，
当时，，
解得：，，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）如图所示：BC与对称轴交于点M，连接，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时的值最小，即周长最小，
设直线解析式为：，则，
解得：，
故直线的解析式为：，
∵抛物线对称轴为
∴当时，，
∴，
最小周长是：.
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合应用、利用轴对称求最短路线以及勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．
23、（1）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）；（2）为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；（3）扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【解析】分析：（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
详解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），
将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．
（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+．
∵该函数图象过点（16，0），
∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+，
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
24、（1）点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（1，0），顶点坐标为（1，）．（2）PQ的最大值=，此时，点P的坐标为（1，3）
【分析】（1）令y=0可求得x的值，可知点A、点B的坐标，运用配方法可求抛物线的顶点坐标；
（2）先求出直线BC的表达式，再设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+1），得QE=－（－m+1）=，求出QE的最大值即可解决问题．
【详解】（1）把y=0代入中得：
解得：x1=－2，x2=1
∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（1，0）．
∵
∴抛物线W的顶点坐标为（1，）．
（2）过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点E．
当x=0时，代入得：y=1，
∴点C的坐标为（0，1），
∵点B的坐标为（1，0）．
∴OC=OB=1，
∴∠OBC=15°．
设QC的表达式为y=kx+b，
把C（0，1），B（1，0）代入解析式得，，
解得，，
∴直线BC的表达式为y=－x+1．
∵QF⊥x轴，PQ⊥BC，
∴∠PQE=15°．
在Rt△PQE中，∠PQE=∠PEQ=15°，
∴当QE最大时，PQ的长也最大．
设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+1）．
∴QE=－（－m+1）=．
∵a=－＜0，
∴QE有最大值为：当m=2时，
QE最大值为2．
∴PQ的最大值=QE·．
此时，点P的坐标为（1，3）
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，正确表示出QE的长度是关键．
25、（1）见解析；（2）
【分析】⑴根据题意依据(AA)公理证明即可．
⑵根据相似三角形性质对应边成比例求解即可．
【详解】证明：（1），
平分，
又
（2）
又，，，
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质．
26、 (1)， (2)或
【分析】(1)利用公式法求解可得；
(2)利用因式分解法求解可得；
【详解】(1)a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
，
∴；
(2)，
移项得：，
因式分解得：=0，
∴或，
解得：或．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法，根据方程的不同形式，选择合适的方法是解题的关键．
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