37相似形的应用-(2).doc

相似的应用
一、选择题
1、（第10题）
10．如图，△ABC中，点DE分别是ABC的中点，则下列结论：①BC=2DE；
②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有【 】
（A）3个 （B）2个
（C）1个 （D）0个
答案：A
A
B
O
C
D
（第4题）
2、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O点，∠BAD=35°,
∠BOD=76°，则∠C 的度数是 （ ）
A．31°　　　 B．35° C．41° D．76°
答案：C
3、平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似， 则相应的点P共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
4、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知；
甲的路线为：A®C®B。
乙的路线为：A®D®E®F®B，其中E为AB的中点。
丙的路线为：A®G®H®K®B，其中H在AB上，且AH>HB。
若符号「®」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，
则三人行进路线长度的大小关系为（ ）
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲
A
B
C
A
B
D
A
B
GI
50°
E
F
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
50°
60°
70°
H
K
图(1)
图(2)
图(3)

答案：A

5、（2012广西贵港）小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶
A． B． C． D．
答案：A

二、 填空题
1、(2012四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.
第1题图

此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.
答案： 7
2、[淮南市洞山中学第四次质量检测，12,5分] 将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为 　　　
答案：
3、（杭州市2012年中考数学模拟）已知△ABC与△DEF相似且相似比为3︰5，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
答案：9︰25；
4、（盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝ 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM＝或CM＝；

A
B
C
D
E
O

5、（2012年，瑞安市模考）如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为 ．
答案:

6、(2012年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿（第1题）
做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.

答案15. 7

三、 解答题

1、（海南省2012年中考数学科模拟）（本题满分13分）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
A
B
O
C
-1
1
y
x
第24题图
（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

答案：解：（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3) ………… 2分
y
A
B
O
C
-1
1
x
第24题图
P
D
又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)
∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，
即y=x2-2x-3 ………………………… 4分
（2）依题意，得OA=1,OB=3,
∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB
=1∶3 ………………………………… 8分
（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。… 9分
解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。
∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。………… 11分
设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。
∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2） …………… 13分
解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D
∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。………… 11分
∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即 ∴DP=2 …… 12分
∴点P的坐标为（1， -2）……………………………………………… 13分

2、（盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）（本题满分14分）
如图12，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）求证：∠ABM=∠CAH；
（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________.
M
A
B
C
D
H
（图12）

解：（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，
又∵M是边AC的中点，
∴AM=MC=BC=1，——————————————————（1分）
∴MB=， ————————————————（1分）
又CH⊥BM于H，则∠MHC=，
∴∠MCH=∠MBC，——————————————————（1分）
∴sin∠MCH=.————————————————（1分）
（2）在△MHC中，.———————（1分）
∴AM2=MC2=，即，————————（2分）
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，——————————————————（1分）
∴∠ABM=∠CAH. ——————————————————（1分）
（3）、、.—————————————————（5分）

3．（2012年江苏南通三模）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
（1）如图①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .

第1题图
图①
图②
图③

（2）不改变①中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图③摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n的代数式表示）
答案：27．（1）180cm．
（2）12 cm．
（3）记灯泡为点P，如图
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠P D′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
设灯泡离地面距离为由题意，得 PM=，PN=AD= ，A′D′= ，
∴

4、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
（第1题图1）
1
C
O
E
D
B
A
（备用图）
1
C
O
E
D
B
A
R
P
Q
C
O
E
D
B
A
（第1题图2）

答案：（1）菱形（证明略）---------------3分
H
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
K

（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，
又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，
∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED
（第28题1）
P
Q
C
H
R
O
E
D
B
A
＝×BE×ED＝×8×6＝24. ---------------6分
（第28题2）
P
Q
C

R
O
E
D
B
A
1
3
2
G

②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3， 过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，
∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，
∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.
∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.---------------10分

5. （2012荆门东宝区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．
A
A1
A
C
C
C
A1
A1
A
D
B1
B
B
B
B1
B1
E
P
图1
图2
图3

（第2题图）

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．
求证：S1∶S2＝1∶3；
(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

答案：（1）易求得, , 因此得证.
(2)易证得∽,且相似比为，得证.
（3）120°， （当E,C,P三点在一条直线上时，即可求解）

6、（2012山东省德州一模）一天晚上，身高1.6米的张雅婷发现：当她离路灯底脚（B）12米时，自己的影长（CD）刚好为3米，当她继续背离路灯的方向再前进2米（到达点F）时，她说自己的影长是(FH)5米。你认为张雅婷说的对吗？若她说的对，请你说明理由；若她说的不对，请你帮她求出她的影长(FH).

第21题图

答案： 解：张雅婷说的不对…………1’
如图，∵AB⊥BD,GC⊥BD
∴GC∥AB∴△DGC∽△DAB
∴……5’
解之得：AB=8………………………7’
同理可证： …………9’
解之得：HF=3.5……………………………………………11’
即张雅婷再继续沿背离灯光的方向前进2米，她的影长应为3.5米……………12’

8