资源描述
2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习试卷含答案
一、解答题
1.动手试一试,如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图2的虚线将它剪开后,重新拼成一个大正方形.
(1)基础巩固:拼成的大正方形的面积为______,边长为______;
(2)知识运用:如图3所示,将图2水平放置在数轴上,使得顶点B与数轴上的重合.以点B为圆心,边为半径画圆弧,交数轴于点E,则点E表示的数是______;
(3)变式拓展:
①如图4,给定的方格纸(每个小正方形边长为1),你能从中剪出一个面积为13的正方形吗?若能,请在图中画出示意图;
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.
2.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件.
(1)求正方形工料的边长;
(2)若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要?(参考数据:,)
3.学校要建一个面积是81平方米的草坪,草坪周围用铁栅栏围绕,现有两种方案:有人建议建成正方形,也有人建议建成圆形,如果从节省铁栅栏费用的角度考虑(栅栏周长越小,费用越少),你选择哪种方案?请说明理由.(π取3)
4.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件.
(1)求正方形工料的边长;
(2)若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格?(参考数据:=1.414,=1.732,=2.236)
5.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.他不知能否裁得出来,正在发愁.李明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗?张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?
二、解答题
6.已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD.
(1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC;
(2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系;
(3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.
7.如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF.
(1)求证:∠ABF+∠DCF=∠BFC;
(2)连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证:CE平分∠BCD;
(3)在(2)的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC=∠BCF,∠FBG=2∠ECF,∠CBG=70°,求∠FBE的度数.
8.已知,如图1,射线PE分别与直线AB,CD相交于E、F两点,∠PFD的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设∠PFM=α°,∠EMF=β°,且(40﹣2α)2+|β﹣20|=0
(1)α= ,β= ;直线AB与CD的位置关系是 ;
(2)如图2,若点G、H分别在射线MA和线段MF上,且∠MGH=∠PNF,试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系,并证明你的结论;
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3),分别与AB、CD相交于点M1和点N1时,作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中的值是否改变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
9.如图,,直线与、分别交于点、,点在直线上,过点作,垂足为点.
(1)如图1,求证:;
(2)若点在线段上(不与、、重合),连接,和的平分线交于点请在图2中补全图形,猜想并证明与的数量关系;
10.如图,已知直线射线CD,.P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作,交直线AB于点F,CG平分.
(1)若点P,F,G都在点E的右侧,求的度数;
(2)若点P,F,G都在点E的右侧,,求的度数;
(3)在点P的运动过程中,是否存在这样的情形,使?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由.
三、解答题
11.已知,将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置,,,,.
(1)若三角板如图1摆放时,则______,______.
(2)现固定的位置不变,将沿方向平移至点E正好落在上,如图2所示,与交于点G,作和的角平分线交于点H,求的度数;
(3)现固定,将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中,当线段与的一条边平行时,请直接写出的度数.
12.已知AB∥CD,点M在直线AB上,点N、Q在直线CD上,点P在直线AB、CD之间,∠AMP=∠PQN=α,PQ平分∠MPN.
(1)如图①,求∠MPQ的度数(用含α的式子表示);
(2)如图②,过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F.请你判断EF与PQ的位置关系,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,连接EN,若NE平分∠PNQ,请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系,并说明理由.
13.长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况,如图,灯A射线自顺时针旋转至便立即回转,灯B射线自顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视,若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即,且
(1)求a、b的值;
(2)若灯B射线先转动45秒,灯A射线才开始转动,当灯B射线第一次到达时运动停止,问A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达之前.若射出的光束交于点C,过C作交于点D,则在转动过程中,与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.
14.如图,直线,一副三角板(,,)按如图①放置,其中点在直线上,点均在直线上,且平分.
(1)求的度数.
(2)如图②,若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转(的对应点分别为).设旋转时间为秒.
①在旋转过程中,若边,求的值;
②若在三角形绕点旋转的同时,三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转(的对应点分别为).请直接写出当边时的值.
15.(感知)如图①,,求的度数.小明想到了以下方法:
解:如图①,过点作,
(两直线平行,内错角相等)
(已知),
(平行于同一条直线的两直线平行),
(两直线平行,同旁内角互补).
(已知),
(等式的性质).
(等式的性质).
即(等量代换).
(探究)如图②,,,求的度数.
(应用)如图③所示,在(探究)的条件下,的平分线和的平分线交于点,则的度数是_______________.
四、解答题
16.(1)如图1,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=50°,∠ABC=40°,求∠AEC的度数;
(2)如图2,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=α°,∠ABC=β°,求∠AEC的度数;
(3)如图3,PQ⊥MN于点O,点A是平面内一点,AB、AC交MN于B、C两点,AD平分∠BAC交PQ于点D,请问的值是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由.
17.操作示例:如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1=S2.
解决问题:在图2中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△BDE的面积为2,则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸:
(1)如图3,在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1与S2之间的数量关系为 .
(2)如图4,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接BE、CD交于点O,且BO=2EO,CO=DO,若△BOC的面积为3,则四边形ADOE的面积为 .
18.如图,平分,平分,
请判断与的位置关系并说明理由;
如图,当且与的位置关系保持不变,移动直角顶点,使,当直角顶点点移动时,问与否存在确定的数量关系?并说明理由.
如图,为线段上一定点,点为直线上一动点且与的位置关系保持不变,①当点在射线上运动时(点除外),与有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点在射线的反向延长线上运动时(点除外),与有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由.
19.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,.
(1)= ;
(2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值.
20.已知,,点为射线上一点.
(1)如图1,写出、、之间的数量关系并证明;
(2)如图2,当点在延长线上时,求证:;
(3)如图3,平分,交于点,交于点,且:,,,求的度数.
【参考答案】
一、解答题
1.(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析
【分析】
(1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长;
(2)根据大正方形的边长结合实
解析:(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析
【分析】
(1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长;
(2)根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果;
(3)以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形;
(4)得到①中正方形的边长,再利用实数与数轴的关系可画出图形.
【详解】
解:(1)∵图1中有10个小正方形,
∴面积为10,边长AD为;
(2)∵BC=,点B表示的数为-1,
∴BE=,
∴点E表示的数为;
(3)①如图所示:
②∵正方形面积为13,
∴边长为,
如图,点E表示面积为13的正方形边长.
【点睛】
本题考查了图形的剪拼,正方形的面积,算术平方根,实数与数轴,巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
2.(1)6分米;(2)满足.
【分析】
(1)由正方形面积可知,求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.
【详解】
解:(
解析:(1)6分米;(2)满足.
【分析】
(1)由正方形面积可知,求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.
【详解】
解:(1)正方形工料的边长为分米;
(2)设长方形的长为4a分米,则宽为3a分米.
则,
解得:,
长为,宽为
∴满足要求.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较,用了转化思想,即把实际问题转化成数学问题.
3.选择建成圆形草坪的方案,理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长,求出正方形的周长,根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径,求出圆的周长,比较大小得到答
解析:选择建成圆形草坪的方案,理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长,求出正方形的周长,根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径,求出圆的周长,比较大小得到答案.
【详解】
解:选择建成圆形草坪的方案,理由如下:
设建成正方形时的边长为x米,
由题意得:x2=81,
解得:x=±9,
∵x>0,
∴x=9,
∴正方形的周长为4×9=36,
设建成圆形时圆的半径为r米,
由题意得:πr2=81.
解得:,
∵r>0.
∴,
∴圆的周长=,
∵,
∴,
∴建成圆形草坪时所花的费用较少,
故选择建成圆形草坪的方案.
【点睛】
本题考查的是算术平方根的应用,掌握算术平方根概念是解题的关键.
4.(1)正方形工料的边长是 5 分米;
(2)这块正方形工料不合格,理由见解析.
【详解】
试题分析:(1)根据正方形的面积公式求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米,得出方程3
解析:(1)正方形工料的边长是 5 分米;
(2)这块正方形工料不合格,理由见解析.
【详解】
试题分析:(1)根据正方形的面积公式求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米,得出方程3x•2x=18,求出x=,再求出长方形的长和宽和5比较即可得出答案.
试题解析:(1)∵正方形的面积是 25 平方分米,
∴正方形工料的边长是 5 分米;
(2)设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米,
则 3x•2x=18,
x2=3,
x1= ,x2=(舍去),
3x=3>5,2x=2<5 ,
即这块正方形工料不合格.
5.不同意,理由见解析.
【详解】
试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于
解析:不同意,理由见解析.
【详解】
试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于>20,所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片,沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.
试题解析:解:不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x (x>0)cm,则宽为2x cm,依题意得:3x•2x=300,6x2=300,x2=50,∵x>0,∴x==,∴长方形纸片的长为 cm,∵50>49,∴>7,∴>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为20cm,∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.
答:李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
点睛:本题考查了算术平方根的定义:一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根;0的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.
二、解答题
6.(1)证明见解析;(2);(3).
【分析】
(1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,由此即可得证;
(2)过点作,同(1)的方法,先根据平行线的性质
解析:(1)证明见解析;(2);(3).
【分析】
(1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,由此即可得证;
(2)过点作,同(1)的方法,先根据平行线的性质得出,,从而可得,再根据垂直的定义可得,由此即可得出结论;
(3)过点作,延长至点,先根据平行线的性质可得,,从而可得,再根据角平分线的定义、结合(2)的结论可得,然后根据角的和差、对顶角相等可得,由此即可得出答案.
【详解】
证明:(1)如图,过点作,
,
,
,
,即,
,
;
(2)如图,过点作,
,
,
,
,即,
,
,
,
,
;
(3)如图,过点作,延长至点,
,
,
,
,
平分,平分,
,
由(2)可知,,
,
又,
.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点,熟练掌握平行线的性质是解题关键.
7.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°.
【分析】
(1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可;
(2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可;
解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°.
【分析】
(1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可;
(2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可;
(3)由(1)的结论和三角形的角的关系解答即可.
【详解】
证明:(1)∵AB∥CD,EF∥CD,
∴AB∥EF,
∴∠ABF=∠BFE,
∵EF∥CD,
∴∠DCF=∠EFC,
∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=∠ABF+∠DCF;
(2)∵BE⊥EC,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°,
由(1)可得:∠BFC=∠ABE+∠ECD=90°,
∴∠ABE+∠ECD=∠EBC+∠BCE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ECD=∠BCE,
∴CE平分∠BCD;
(3)设∠BCE=β,∠ECF=γ,
∵CE平分∠BCD,
∴∠DCE=∠BCE=β,
∴∠DCF=∠DCE﹣∠ECF=β﹣γ,
∴∠EFC=β﹣γ,
∵∠BFC=∠BCF,
∴∠BFC=∠BCE+∠ECF=γ+β,
∴∠ABF=∠BFE=2γ,
∵∠FBG=2∠ECF,
∴∠FBG=2γ,
∴∠ABE+∠DCE=∠BEC=90°,
∴∠ABE=90°﹣β,
∴∠GBE=∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG=90°﹣β﹣2γ﹣2γ,
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABE=90°﹣β,
∴∠CBG=∠CBE+∠GBE,
∴70°=90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ,
整理得:2γ+β=55°,
∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ=90°﹣(2γ+β)=35°.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答.
8.(1)20,20,;(2);(3)的值不变,
【分析】
(1)根据,即可计算和的值,再根据内错角相等可证;
(2)先根据内错角相等证,再根据同旁内角互补和等量代换得出;
(3)作的平分线交的延长线于
解析:(1)20,20,;(2);(3)的值不变,
【分析】
(1)根据,即可计算和的值,再根据内错角相等可证;
(2)先根据内错角相等证,再根据同旁内角互补和等量代换得出;
(3)作的平分线交的延长线于,先根据同位角相等证,得,设,,得出,即可得.
【详解】
解:(1),
,,
,
,,
,
;
故答案为:20、20,;
(2);
理由:由(1)得,
,
,
,
,
,
,
;
(3)的值不变,;
理由:如图3中,作的平分线交的延长线于,
,
,
,,
,
,
,
设,,
则有:,
可得,
,
.
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键.
9.(1)证明见解析;(2)补图见解析;当点在上时,;当点在上时,.
【分析】
(1)过点作,根据平行线的性质即可求解;
(2)分两种情况:当点在上,当点在上,再过点作即可求解.
【详解】
(1)证明:
解析:(1)证明见解析;(2)补图见解析;当点在上时,;当点在上时,.
【分析】
(1)过点作,根据平行线的性质即可求解;
(2)分两种情况:当点在上,当点在上,再过点作即可求解.
【详解】
(1)证明:如图,过点作,
∴,
∵,
∴.
∴.
∵,
∴,
∴.
(2)补全图形如图2、图3,
猜想:或.
证明:过点作.
∴.
∵,
∴
∴,
∴.
∵平分,
∴.
如图3,当点在上时,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
即.
如图2,当点在上时,
∵平分,
∴.
∴.
即.
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算,解题的关键是准确作出平行线,找出角与角之间的数量关系.
10.(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20°
【分析】
(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠G
解析:(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20°
【分析】
(1)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;
(2)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=25°,再根据PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=65°;
(3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=4x-3x=x,分两种情况讨论:①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可.
【详解】
解:(1)∵∠CEB=100°,AB∥CD,
∴∠ECQ=80°,
∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°;
(2)∵AB∥CD
∴∠QCG=∠EGC,∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°,
∴∠EGC+∠ECG=80°,
又∵∠EGC-∠ECG=30°,
∴∠EGC=55°,∠ECG=25°,
∴∠ECG=∠GCF=25°,∠PCF=∠PCQ=(80°-50°)=15°,
∵PQ∥CE,
∴∠CPQ=∠ECP=65°;
(3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x,
①当点G、F在点E的右侧时,
则∠ECG=x,∠PCF=∠PCD=x,
∵∠ECD=80°,
∴x+x+x+x=80°,
解得x=16°,
∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°;
②当点G、F在点E的左侧时,
则∠ECG=∠GCF=x,
∵∠CGF=180°-4x,∠GCQ=80°+x,
∴180°-4x=80°+x,
解得x=20°,
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°,
∴∠PCQ=∠FCQ=60°,
∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
三、解答题
11.(1)15°;150°;(2)67.5°;(3)30°或90°或120°
【分析】
(1)根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可;
(2)根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可;
(3)分当B
解析:(1)15°;150°;(2)67.5°;(3)30°或90°或120°
【分析】
(1)根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可;
(2)根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可;
(3)分当BC∥DE时,当BC∥EF时,当BC∥DF时,三种情况进行解答即可.
【详解】
解:(1)作EI∥PQ,如图,
∵PQ∥MN,
则PQ∥EI∥MN,
∴∠α=∠DEI,∠IEA=∠BAC,
∴∠DEA=∠α+∠BAC,
∴α= DEA -∠BAC=60°-45°=15°,
∵E、C、A三点共线,
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°;
故答案为:15°;150°;
(2)∵PQ∥MN,
∴∠GEF=∠CAB=45°,
∴∠FGQ=45°+30°=75°,
∵GH,FH分别平分∠FGQ和∠GFA,
∴∠FGH=37.5°,∠GFH=75°,
∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°;
(3)当BC∥DE时,如图1,
∵∠D=∠C=90,
∴AC∥DF,
∴∠CAE=∠DFE=30°,
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE,
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°;
当BC∥EF时,如图2,
此时∠BAE=∠ABC=45°,
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°;
当BC∥DF时,如图3,
此时,AC∥DE,∠CAN=∠DEG=15°,
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°.
综上所述,∠BAM的度数为30°或90°或120°.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义,平行线性质和判定:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,理清各角度之间的关系是解题的关键,也是本题的难点.
12.(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析
【分析】
1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论;
(2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF=
解析:(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析
【分析】
1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论;
(2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系;
(3)结合(2)和已知条件可得∠QNE=∠QEN,根据三角形内角和定理可得∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),可得∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,进而可得结论.
【详解】
解:(1)如图①,过点P作PR∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥PR,
∴∠AMP=∠MPR=α,∠PQN=∠RPQ=α,
∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α;
(2)如图②,EF⊥PQ,理由如下:
∵PQ平分∠MPN.
∴∠MPQ=∠NPQ=2α,
∵QE∥PN,
∴∠EQP=∠NPQ=2α,
∴∠EPQ=∠EQP=2α,
∵EF平分∠PEQ,
∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF,
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°,
∴2∠EPQ+2∠PEF=180°,
∴∠EPQ+∠PEF=90°,
∴∠PFE=180°﹣90°=90°,
∴EF⊥PQ;
(3)如图③,∠NEF=∠AMP,理由如下:
由(2)可知:∠EQP=2α,∠EFQ=90°,
∴∠QEF=90°﹣2α,
∵∠PQN=α,
∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α,
∵NE平分∠PNQ,
∴∠PNE=∠QNE,
∵QE∥PN,
∴∠QEN=∠PNE,
∴∠QNE=∠QEN,
∵∠NQE=3α,
∴∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),
∴∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
=180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣(180°﹣3α)
=180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α
=α
=∠AMP.
∴∠NEF=∠AMP.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,熟悉相关性质是解题的关键.
13.(1),;(2)15秒或63秒;(3)不发生变化,
【分析】
(1)利用非负数的性质解决问题即可.
(2)分三种情形,利用平行线的性质构建方程即可解决问题.
(3)由参数表示,即可判断.
【详解】
解析:(1),;(2)15秒或63秒;(3)不发生变化,
【分析】
(1)利用非负数的性质解决问题即可.
(2)分三种情形,利用平行线的性质构建方程即可解决问题.
(3)由参数表示,即可判断.
【详解】
解:(1)∵,
∴,
,;
(2)设灯转动秒,两灯的光束互相平行,
①当时,
,
解得;
②当时,
,
解得;
③当时,
,
解得,(不合题意)
综上所述,当t=15秒或63秒时,两灯的光束互相平行;
(3)设灯转动时间为秒,
,
,
又,
,
而,
,
,
即.
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定,非负数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
14.(1)60°;(2)①6s;②s或s
【分析】
(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.
(2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°,由此构建方程即可解决问题.
②分两种情形:如图③中,当
解析:(1)60°;(2)①6s;②s或s
【分析】
(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题.
(2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°,由此构建方程即可解决问题.
②分两种情形:如图③中,当BG∥HK时,延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题.如图③-1中,当BG∥HK时,延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题.
【详解】
解:(1)如图①中,
∵∠ACB=30°,
∴∠ACN=180°-∠ACB=150°,
∵CE平分∠ACN,
∴∠ECN=∠ACN=75°,
∵PQ∥MN,
∴∠QEC+∠ECN=180°,
∴∠QEC=180°-75°=105°,
∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°.
(2)①如图②中,
∵BG∥CD,
∴∠GBC=∠DCN,
∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°,
∴∠GBC=30°,
∴5t=30,
∴t=6s.
∴在旋转过程中,若边BG∥CD,t的值为6s.
②如图③中,当BG∥HK时,延长KH交MN于R.
∵BG∥KR,
∴∠GBN=∠KRN,
∵∠QEK=60°+4t,∠K=∠QEK+∠KRN,
∴∠KRN=90°-(60°+4t)=30°-4t,
∴5t=30°-4t,
∴t=s.
如图③-1中,当BG∥HK时,延长HK交MN于R.
∵BG∥KR,
∴∠GBN+∠KRM=180°,
∵∠QEK=60°+4t,∠EKR=∠PEK+∠KRM,
∴∠KRM=90°-(180°-60°-4t)=4t-30°,
∴5t+4t-30°=180°,
∴t=s.
综上所述,满足条件的t的值为s或s.
【点睛】
本题考查几何变换综合题,考查了平行线的性质,旋转变换,角平分线的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
15.[探究] 70°;[应用] 35
【分析】
[探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数.
[应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线
解析:[探究] 70°;[应用] 35
【分析】
[探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数.
[应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数.
【详解】
解:[探究]如图②,过点P作PM∥AB,
∴∠MPE=∠AEP=50°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD(已知),
∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),
∴∠PFC=∠MPF=120°(两直线平行,内错角相等).
∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°(等式的性质).
答:∠EPF的度数为70°;
[应用]如图③所示,
∵EG是∠PEA的平分线,PG是∠PFC的平分线,
∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GCF=∠PFC=60°,
过点G作GM∥AB,
∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD(已知),
∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),
∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等).
∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°.
答:∠G的度数是35°.
故答案为:35.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.
四、解答题
16.(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化,
【分析】
(1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠
解析:(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化,
【分析】
(1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,则可得∠E= (∠D+∠B),继而求得答案;
(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质,可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D,又由角平分线的性质,即可求得答案.
(3)由三角形内角和定理,可得,利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案.
【详解】
解:(1)∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E,
∴∠E=(∠D+∠B),
∵∠ADC=50°,∠ABC=40°,
∴∠AEC= ×(50°+40°)=45°;
(2)延长BC交AD于点F,
∵∠BFD=∠B+∠BAD,
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D,
∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD
=∠B+∠BAE-(∠B+∠BAD+∠D)
= (∠B-∠D),
∠ADC=α°,∠ABC=β°,
即∠AEC=
(3)的值不发生变化,
理由如下:
如图,记与交于,与交于,
①,
②,
①-②得:
AD平分∠BAC,
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度较大,注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.
17.解决问题:6; 拓展延伸:(1)S1=2S2 (2)10.5
【解析】
试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论;
拓展延伸:(1)
解析:解决问题:6; 拓展延伸:(1)S1=2S2 (2)10.5
【解析】
试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论;
拓展延伸:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积,由此即可得到结论;
(2)连接AO.则可得到△BOD的面积=△BOC的面积,△AOC的面积=△AOD的面积,△EOC的面积=△BOC的面积的一半, △AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,求出a、b的值,即可得到结论.
试题解析:解:解决问题
连接AE.∵点D、E分别是边AB、BC的中点,∴S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC.∵S△BDE =2,∴S△ADE =2,∴S△ABE=S△AEC=4,∴四边形ADEC的面积=2+4=6.
拓展延伸:
解:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2,∴S1=2S2.
(2)连接AO.∵CO=DO,∴△BOD的面积=△B
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