2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习试卷含答案.doc

2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习试卷含答案
一、解答题
1．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形．

（1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______；
（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；
（3）变式拓展：
①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图；
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数．

2．工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件．
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：，）
3．学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由．（π取3）
4．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2，问这块正方形工料是否合格？（参考数据：=1.414，=1.732，=2.236）
5．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
二、解答题
6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

7．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．

8．已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0

（1）α＝　　，β＝　　；直线AB与CD的位置关系是　 　；
（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
9．如图，，直线与、分别交于点、，点在直线上，过点作，垂足为点．
（1）如图1，求证：；
（2）若点在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系；

10．如图，已知直线射线CD，．P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作，交直线AB于点F，CG平分．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求的度数；
（2）若点P，F，G都在点E的右侧，，求的度数；
（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
三、解答题
11．已知，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，．

（1）若三角板如图1摆放时，则______，______．
（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
（3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．
12．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．

13．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且

（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯B射线第一次到达时运动停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
14．如图，直线，一副三角板（，，）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．

（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为秒．
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值．
15．（感知）如图①，，求的度数．小明想到了以下方法：

解：如图①，过点作，
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等式的性质）．
（等式的性质）．
即（等量代换）．
（探究）如图②，，，求的度数．
（应用）如图③所示，在（探究）的条件下，的平分线和的平分线交于点，则的度数是_______________．
四、解答题
16．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；

（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
17．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．

解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为 ．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
18．如图，平分，平分，
请判断与的位置关系并说明理由；
如图，当且与的位置关系保持不变，移动直角顶点，使，当直角顶点点移动时，问与否存在确定的数量关系？并说明理由．
如图，为线段上一定点，点为直线上一动点且与的位置关系保持不变，①当点在射线上运动时（点除外），与有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点在射线的反向延长线上运动时（点除外），与有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．

19．如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．
（1）= ；
（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．

20．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．

【参考答案】
一、解答题
1．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实
解析：（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；
（3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；
（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形．
【详解】
解：（1）∵图1中有10个小正方形，
∴面积为10，边长AD为；
（2）∵BC=，点B表示的数为-1，
∴BE=，
∴点E表示的数为；
（3）①如图所示：

②∵正方形面积为13，
∴边长为，
如图，点E表示面积为13的正方形边长．

【点睛】
本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
2．（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（
解析：（1）6分米；（2）满足．
【分析】
（1）由正方形面积可知，求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米，根据面积得出方程，求出，求出长方形的长和宽和6比较即可．
【详解】
解：（1）正方形工料的边长为分米；
（2）设长方形的长为4a分米，则宽为3a分米．
则，
解得：，
长为，宽为
∴满足要求．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较，用了转化思想，即把实际问题转化成数学问题．
3．选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答
解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案．
【详解】
解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：
设建成正方形时的边长为x米，
由题意得：x2=81，
解得：x=±9，
∵x>0，
∴x=9，
∴正方形的周长为4×9=36，
设建成圆形时圆的半径为r米，
由题意得：πr2=81．
解得：，
∵r>0．
∴，
∴圆的周长=，
∵，
∴，
∴建成圆形草坪时所花的费用较少，
故选择建成圆形草坪的方案．
【点睛】
本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键．
4．（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3
解析：（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x•2x=18，求出x=，再求出长方形的长和宽和5比较即可得出答案．
试题解析：（1）∵正方形的面积是 25 平方分米，
∴正方形工料的边长是 5 分米；
（2）设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米，
则 3x•2x=18，
x2=3，
x1= ，x2=（舍去），
3x=3＞5，2x=2<5 ，
即这块正方形工料不合格．
5．不同意，理由见解析．
【详解】
试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x=300，x2=50，解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于
解析：不同意，理由见解析．
【详解】
试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x=300，x2=50，解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于＞20，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．
试题解析：解：不同意李明的说法．设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得：3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∵x＞0，∴x==，∴长方形纸片的长为 cm，∵50＞49，∴＞7，∴＞21，即长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
二、解答题
6．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质
解析：（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出，，从而可得，再根据垂直的定义可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，延长至点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得，然后根据角的和差、对顶角相等可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
；
（2）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，延长至点，

，
，
，
，
平分，平分，
，
由（2）可知，，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
8．（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，
【分析】
（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；
（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；
（3）作的平分线交的延长线于
解析：（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，
【分析】
（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；
（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；
（3）作的平分线交的延长线于，先根据同位角相等证，得，设，，得出，即可得．
【详解】
解：（1），
，，
，
，，
，
；
故答案为：20、20，；
（2）；
理由：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）的值不变，；
理由：如图3中，作的平分线交的延长线于，
，
，
，，
，
，

，
设，，
则有：，
可得，
，
．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．
【详解】
（1）证明：
解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，过点作，

∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）补全图形如图2、图3，
猜想：或．
证明：过点作．

∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵平分，
∴．
如图3，当点在上时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，

即．
如图2，当点在上时，
∵平分，
∴．
∴．
即．
【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
10．（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°
【分析】
（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠G
解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°
【分析】
（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；
（2）∵AB∥CD
∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，
∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=（80°-50°）=15°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，
①当点G、F在点E的右侧时，

则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=x，
∵∠ECD=80°，
∴x+x+x+x=80°，
解得x=16°，
∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；
②当点G、F在点E的左侧时，

则∠ECG=∠GCF=x，
∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，
∴180°-4x=80°+x，
解得x=20°，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，
∴∠PCQ＝∠FCQ＝60°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
三、解答题
11．（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°
【分析】
（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当B
解析：（1）15°；150°；（2）67.5°；（3）30°或90°或120°
【分析】
（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【详解】
解：（1）作EI∥PQ，如图，

∵PQ∥MN，
则PQ∥EI∥MN，
∴∠α=∠DEI，∠IEA=∠BAC，
∴∠DEA=∠α+∠BAC，
∴α= DEA -∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=45°+30°=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°；
（3）当BC∥DE时，如图1，

∵∠D=∠C=90，
∴AC∥DF，
∴∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF时，如图2，

此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，

此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
12．（1）2α；（2）EF⊥PQ，见解析；（3）∠NEF＝∠AMP，见解析
【分析】
1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝
解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ，见解析；（3）∠NEF＝∠AMP，见解析
【分析】
1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，进而可得结论．
【详解】
解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：

∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：

由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α
＝α
＝∠AMP．
∴∠NEF＝∠AMP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
13．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数表示，即可判断．
【详解】
解析：（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数表示，即可判断．
【详解】
解：（1）∵,
∴,
，；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
③当时，
，
解得，（不合题意）
综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯转动时间为秒，
，
，
又，
，
而，
，
，
即．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）60°；（2）①6s；②s或s
【分析】
（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当
解析：（1）60°；（2）①6s；②s或s
【分析】
（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题．如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图①中，

∵∠ACB=30°，
∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=∠ACN=75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN=180°，
∴∠QEC=180°-75°=105°，
∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°．
（2）①如图②中，

∵BG∥CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，
∴∠GBC=30°，
∴5t=30，
∴t=6s．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为6s．
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．

∵BG∥KR，
∴∠GBN=∠KRN，
∵∠QEK=60°+4t，∠K=∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN=90°-（60°+4t）=30°-4t，
∴5t=30°-4t，
∴t=s．
如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．

∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM=180°，
∵∠QEK=60°+4t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM=90°-（180°-60°-4t）=4t-30°，
∴5t+4t-30°=180°，
∴t=s．
综上所述，满足条件的t的值为s或s．
【点睛】
本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线
解析：[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．
【详解】
解：[探究]如图②，过点P作PM∥AB，

∴∠MPE=∠AEP=50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC=∠MPF=120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°（等式的性质）．
答：∠EPF的度数为70°；
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，PG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=∠AEP=25°，∠GCF=∠PFC=60°，

过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°．
答：∠G的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
四、解答题
16．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，则可得∠E= （∠D+∠B），继而求得答案；
（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC= ×（50°+40°）=45°；

（2）延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD
=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）
= （∠B－∠D），
∠ADC=α°，∠ABC=β°，
即∠AEC=

（3）的值不发生变化，
理由如下：
如图，记与交于，与交于，

①，
②，
①－②得：

AD平分∠BAC，

【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
17．解决问题：6； 拓展延伸：（1）S1=2S2 （2）10.5
【解析】
试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；
拓展延伸：（1）
解析：解决问题：6； 拓展延伸：（1）S1=2S2 （2）10.5
【解析】
试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；
拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；
（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半， △AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．
试题解析：解：解决问题
连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE =2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．

拓展延伸：
解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．

（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△B