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2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习试卷含答案.doc

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2024年人教版中学七7年级下册数学期末解答题综合复习试卷含答案 一、解答题 1.动手试一试,如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图2的虚线将它剪开后,重新拼成一个大正方形. (1)基础巩固:拼成的大正方形的面积为______,边长为______; (2)知识运用:如图3所示,将图2水平放置在数轴上,使得顶点B与数轴上的重合.以点B为圆心,边为半径画圆弧,交数轴于点E,则点E表示的数是______; (3)变式拓展: ①如图4,给定的方格纸(每个小正方形边长为1),你能从中剪出一个面积为13的正方形吗?若能,请在图中画出示意图; ②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数. 2.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件. (1)求正方形工料的边长; (2)若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要?(参考数据:,) 3.学校要建一个面积是81平方米的草坪,草坪周围用铁栅栏围绕,现有两种方案:有人建议建成正方形,也有人建议建成圆形,如果从节省铁栅栏费用的角度考虑(栅栏周长越小,费用越少),你选择哪种方案?请说明理由.(π取3) 4.工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件. (1)求正方形工料的边长; (2)若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2,问这块正方形工料是否合格?(参考数据:=1.414,=1.732,=2.236) 5.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.他不知能否裁得出来,正在发愁.李明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗?张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗? 二、解答题 6.已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD. (1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC; (2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系; (3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值. 7.如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF. (1)求证:∠ABF+∠DCF=∠BFC; (2)连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证:CE平分∠BCD; (3)在(2)的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC=∠BCF,∠FBG=2∠ECF,∠CBG=70°,求∠FBE的度数. 8.已知,如图1,射线PE分别与直线AB,CD相交于E、F两点,∠PFD的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设∠PFM=α°,∠EMF=β°,且(40﹣2α)2+|β﹣20|=0 (1)α=  ,β=  ;直线AB与CD的位置关系是   ; (2)如图2,若点G、H分别在射线MA和线段MF上,且∠MGH=∠PNF,试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系,并证明你的结论; (3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3),分别与AB、CD相交于点M1和点N1时,作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中的值是否改变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由. 9.如图,,直线与、分别交于点、,点在直线上,过点作,垂足为点. (1)如图1,求证:; (2)若点在线段上(不与、、重合),连接,和的平分线交于点请在图2中补全图形,猜想并证明与的数量关系;         10.如图,已知直线射线CD,.P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作,交直线AB于点F,CG平分. (1)若点P,F,G都在点E的右侧,求的度数; (2)若点P,F,G都在点E的右侧,,求的度数; (3)在点P的运动过程中,是否存在这样的情形,使?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由. 三、解答题 11.已知,将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置,,,,. (1)若三角板如图1摆放时,则______,______. (2)现固定的位置不变,将沿方向平移至点E正好落在上,如图2所示,与交于点G,作和的角平分线交于点H,求的度数; (3)现固定,将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中,当线段与的一条边平行时,请直接写出的度数. 12.已知AB∥CD,点M在直线AB上,点N、Q在直线CD上,点P在直线AB、CD之间,∠AMP=∠PQN=α,PQ平分∠MPN. (1)如图①,求∠MPQ的度数(用含α的式子表示); (2)如图②,过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E,过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F.请你判断EF与PQ的位置关系,并说明理由; (3)如图③,在(2)的条件下,连接EN,若NE平分∠PNQ,请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系,并说明理由. 13.长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况,如图,灯A射线自顺时针旋转至便立即回转,灯B射线自顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视,若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即,且 (1)求a、b的值; (2)若灯B射线先转动45秒,灯A射线才开始转动,当灯B射线第一次到达时运动停止,问A灯转动几秒,两灯的光束互相平行? (3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达之前.若射出的光束交于点C,过C作交于点D,则在转动过程中,与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围. 14.如图,直线,一副三角板(,,)按如图①放置,其中点在直线上,点均在直线上,且平分. (1)求的度数. (2)如图②,若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转(的对应点分别为).设旋转时间为秒. ①在旋转过程中,若边,求的值; ②若在三角形绕点旋转的同时,三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转(的对应点分别为).请直接写出当边时的值. 15.(感知)如图①,,求的度数.小明想到了以下方法: 解:如图①,过点作, (两直线平行,内错角相等) (已知), (平行于同一条直线的两直线平行), (两直线平行,同旁内角互补). (已知), (等式的性质). (等式的性质). 即(等量代换). (探究)如图②,,,求的度数. (应用)如图③所示,在(探究)的条件下,的平分线和的平分线交于点,则的度数是_______________. 四、解答题 16.(1)如图1,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=50°,∠ABC=40°,求∠AEC的度数; (2)如图2,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=α°,∠ABC=β°,求∠AEC的度数; (3)如图3,PQ⊥MN于点O,点A是平面内一点,AB、AC交MN于B、C两点,AD平分∠BAC交PQ于点D,请问的值是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由. 17.操作示例:如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1=S2. 解决问题:在图2中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△BDE的面积为2,则四边形ADEC的面积为 . 拓展延伸: (1)如图3,在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1与S2之间的数量关系为 . (2)如图4,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接BE、CD交于点O,且BO=2EO,CO=DO,若△BOC的面积为3,则四边形ADOE的面积为 . 18.如图,平分,平分, 请判断与的位置关系并说明理由; 如图,当且与的位置关系保持不变,移动直角顶点,使,当直角顶点点移动时,问与否存在确定的数量关系?并说明理由. 如图,为线段上一定点,点为直线上一动点且与的位置关系保持不变,①当点在射线上运动时(点除外),与有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点在射线的反向延长线上运动时(点除外),与有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由. 19.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 20.已知,,点为射线上一点. (1)如图1,写出、、之间的数量关系并证明; (2)如图2,当点在延长线上时,求证:; (3)如图3,平分,交于点,交于点,且:,,,求的度数. 【参考答案】 一、解答题 1.(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析 【分析】 (1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长; (2)根据大正方形的边长结合实 解析:(1)10,;(2);(3)见解析;(4)见解析 【分析】 (1)易得10个小正方形的面积的和,那么就得到了大正方形的面积,求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长; (2)根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果; (3)以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形; (4)得到①中正方形的边长,再利用实数与数轴的关系可画出图形. 【详解】 解:(1)∵图1中有10个小正方形, ∴面积为10,边长AD为; (2)∵BC=,点B表示的数为-1, ∴BE=, ∴点E表示的数为; (3)①如图所示: ②∵正方形面积为13, ∴边长为, 如图,点E表示面积为13的正方形边长. 【点睛】 本题考查了图形的剪拼,正方形的面积,算术平方根,实数与数轴,巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键. 2.(1)6分米;(2)满足. 【分析】 (1)由正方形面积可知,求出的值即可; (2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可. 【详解】 解:( 解析:(1)6分米;(2)满足. 【分析】 (1)由正方形面积可知,求出的值即可; (2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可. 【详解】 解:(1)正方形工料的边长为分米; (2)设长方形的长为4a分米,则宽为3a分米. 则, 解得:, 长为,宽为 ∴满足要求. 【点睛】 本题主要考查了算术平方根及实数大小比较,用了转化思想,即把实际问题转化成数学问题. 3.选择建成圆形草坪的方案,理由详见解析 【分析】 根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长,求出正方形的周长,根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径,求出圆的周长,比较大小得到答 解析:选择建成圆形草坪的方案,理由详见解析 【分析】 根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长,求出正方形的周长,根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径,求出圆的周长,比较大小得到答案. 【详解】 解:选择建成圆形草坪的方案,理由如下: 设建成正方形时的边长为x米, 由题意得:x2=81, 解得:x=±9, ∵x>0, ∴x=9, ∴正方形的周长为4×9=36, 设建成圆形时圆的半径为r米, 由题意得:πr2=81. 解得:, ∵r>0. ∴, ∴圆的周长=, ∵, ∴, ∴建成圆形草坪时所花的费用较少, 故选择建成圆形草坪的方案. 【点睛】 本题考查的是算术平方根的应用,掌握算术平方根概念是解题的关键. 4.(1)正方形工料的边长是 5 分米; (2)这块正方形工料不合格,理由见解析. 【详解】 试题分析:(1)根据正方形的面积公式求出的值即可; (2)设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米,得出方程3 解析:(1)正方形工料的边长是 5 分米; (2)这块正方形工料不合格,理由见解析. 【详解】 试题分析:(1)根据正方形的面积公式求出的值即可; (2)设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米,得出方程3x•2x=18,求出x=,再求出长方形的长和宽和5比较即可得出答案. 试题解析:(1)∵正方形的面积是 25 平方分米, ∴正方形工料的边长是 5 分米; (2)设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米, 则 3x•2x=18, x2=3, x1= ,x2=(舍去), 3x=3>5,2x=2<5 , 即这块正方形工料不合格. 5.不同意,理由见解析. 【详解】 试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于 解析:不同意,理由见解析. 【详解】 试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于>20,所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片,沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2. 试题解析:解:不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x (x>0)cm,则宽为2x cm,依题意得:3x•2x=300,6x2=300,x2=50,∵x>0,∴x==,∴长方形纸片的长为 cm,∵50>49,∴>7,∴>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为20cm,∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长. 答:李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 点睛:本题考查了算术平方根的定义:一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根;0的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小. 二、解答题 6.(1)证明见解析;(2);(3). 【分析】 (1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,由此即可得证; (2)过点作,同(1)的方法,先根据平行线的性质 解析:(1)证明见解析;(2);(3). 【分析】 (1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,由此即可得证; (2)过点作,同(1)的方法,先根据平行线的性质得出,,从而可得,再根据垂直的定义可得,由此即可得出结论; (3)过点作,延长至点,先根据平行线的性质可得,,从而可得,再根据角平分线的定义、结合(2)的结论可得,然后根据角的和差、对顶角相等可得,由此即可得出答案. 【详解】 证明:(1)如图,过点作, , , , ,即, , ; (2)如图,过点作, , , , ,即, , , , , ; (3)如图,过点作,延长至点, , , , , 平分,平分, , 由(2)可知,, , 又, . 【点睛】 本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点,熟练掌握平行线的性质是解题关键. 7.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°. 【分析】 (1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可; (2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可; 解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠FBE=35°. 【分析】 (1)根据平行线的性质得出∠ABF=∠BFE,∠DCF=∠EFC,进而解答即可; (2)由(1)的结论和垂直的定义解答即可; (3)由(1)的结论和三角形的角的关系解答即可. 【详解】 证明:(1)∵AB∥CD,EF∥CD, ∴AB∥EF, ∴∠ABF=∠BFE, ∵EF∥CD, ∴∠DCF=∠EFC, ∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=∠ABF+∠DCF; (2)∵BE⊥EC, ∴∠BEC=90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°, 由(1)可得:∠BFC=∠ABE+∠ECD=90°, ∴∠ABE+∠ECD=∠EBC+∠BCE, ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC, ∴∠ECD=∠BCE, ∴CE平分∠BCD; (3)设∠BCE=β,∠ECF=γ, ∵CE平分∠BCD, ∴∠DCE=∠BCE=β, ∴∠DCF=∠DCE﹣∠ECF=β﹣γ, ∴∠EFC=β﹣γ, ∵∠BFC=∠BCF, ∴∠BFC=∠BCE+∠ECF=γ+β, ∴∠ABF=∠BFE=2γ, ∵∠FBG=2∠ECF, ∴∠FBG=2γ, ∴∠ABE+∠DCE=∠BEC=90°, ∴∠ABE=90°﹣β, ∴∠GBE=∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG=90°﹣β﹣2γ﹣2γ, ∵BE平分∠ABC, ∴∠CBE=∠ABE=90°﹣β, ∴∠CBG=∠CBE+∠GBE, ∴70°=90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ, 整理得:2γ+β=55°, ∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ=90°﹣(2γ+β)=35°. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质,解决本题的关键是根据平行线的性质解答. 8.(1)20,20,;(2);(3)的值不变, 【分析】 (1)根据,即可计算和的值,再根据内错角相等可证; (2)先根据内错角相等证,再根据同旁内角互补和等量代换得出; (3)作的平分线交的延长线于 解析:(1)20,20,;(2);(3)的值不变, 【分析】 (1)根据,即可计算和的值,再根据内错角相等可证; (2)先根据内错角相等证,再根据同旁内角互补和等量代换得出; (3)作的平分线交的延长线于,先根据同位角相等证,得,设,,得出,即可得. 【详解】 解:(1), ,, , ,, , ; 故答案为:20、20,; (2); 理由:由(1)得, , , , , , , ; (3)的值不变,; 理由:如图3中,作的平分线交的延长线于, , , ,, , , , 设,, 则有:, 可得, , . 【点睛】 本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键. 9.(1)证明见解析;(2)补图见解析;当点在上时,;当点在上时,. 【分析】 (1)过点作,根据平行线的性质即可求解; (2)分两种情况:当点在上,当点在上,再过点作即可求解. 【详解】 (1)证明: 解析:(1)证明见解析;(2)补图见解析;当点在上时,;当点在上时,. 【分析】 (1)过点作,根据平行线的性质即可求解; (2)分两种情况:当点在上,当点在上,再过点作即可求解. 【详解】 (1)证明:如图,过点作, ∴, ∵, ∴. ∴. ∵, ∴, ∴. (2)补全图形如图2、图3, 猜想:或. 证明:过点作.     ∴. ∵, ∴ ∴, ∴. ∵平分, ∴. 如图3,当点在上时, ∵平分, ∴, ∵, ∴, 即. 如图2,当点在上时, ∵平分, ∴. ∴. 即. 【点睛】 本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算,解题的关键是准确作出平行线,找出角与角之间的数量关系. 10.(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20° 【分析】 (1)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数; (2)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠G 解析:(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20° 【分析】 (1)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数; (2)依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=25°,再根据PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=65°; (3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=4x-3x=x,分两种情况讨论:①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可. 【详解】 解:(1)∵∠CEB=100°,AB∥CD, ∴∠ECQ=80°, ∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF, ∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°; (2)∵AB∥CD ∴∠QCG=∠EGC,∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°, ∴∠EGC+∠ECG=80°, 又∵∠EGC-∠ECG=30°, ∴∠EGC=55°,∠ECG=25°, ∴∠ECG=∠GCF=25°,∠PCF=∠PCQ=(80°-50°)=15°, ∵PQ∥CE, ∴∠CPQ=∠ECP=65°; (3)设∠EGC=4x,∠EFC=3x,则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x, ①当点G、F在点E的右侧时, 则∠ECG=x,∠PCF=∠PCD=x, ∵∠ECD=80°, ∴x+x+x+x=80°, 解得x=16°, ∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°; ②当点G、F在点E的左侧时, 则∠ECG=∠GCF=x, ∵∠CGF=180°-4x,∠GCQ=80°+x, ∴180°-4x=80°+x, 解得x=20°, ∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°, ∴∠PCQ=∠FCQ=60°, ∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等. 三、解答题 11.(1)15°;150°;(2)67.5°;(3)30°或90°或120° 【分析】 (1)根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可; (2)根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可; (3)分当B 解析:(1)15°;150°;(2)67.5°;(3)30°或90°或120° 【分析】 (1)根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可; (2)根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可; (3)分当BC∥DE时,当BC∥EF时,当BC∥DF时,三种情况进行解答即可. 【详解】 解:(1)作EI∥PQ,如图, ∵PQ∥MN, 则PQ∥EI∥MN, ∴∠α=∠DEI,∠IEA=∠BAC, ∴∠DEA=∠α+∠BAC, ∴α= DEA -∠BAC=60°-45°=15°, ∵E、C、A三点共线, ∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°; 故答案为:15°;150°; (2)∵PQ∥MN, ∴∠GEF=∠CAB=45°, ∴∠FGQ=45°+30°=75°, ∵GH,FH分别平分∠FGQ和∠GFA, ∴∠FGH=37.5°,∠GFH=75°, ∴∠FHG=180°-37.5°-75°=67.5°; (3)当BC∥DE时,如图1, ∵∠D=∠C=90, ∴AC∥DF, ∴∠CAE=∠DFE=30°, ∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE, ∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°; 当BC∥EF时,如图2, 此时∠BAE=∠ABC=45°, ∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°; 当BC∥DF时,如图3, 此时,AC∥DE,∠CAN=∠DEG=15°, ∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°. 综上所述,∠BAM的度数为30°或90°或120°. 【点睛】 本题考查了角平分线的定义,平行线性质和判定:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用,理清各角度之间的关系是解题的关键,也是本题的难点. 12.(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF= 解析:(1)2α;(2)EF⊥PQ,见解析;(3)∠NEF=∠AMP,见解析 【分析】 1)如图①,过点P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,进而可得结论; (2)根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF=180°,进而可得EF与PQ的位置关系; (3)结合(2)和已知条件可得∠QNE=∠QEN,根据三角形内角和定理可得∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),可得∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,进而可得结论. 【详解】 解:(1)如图①,过点P作PR∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PR, ∴∠AMP=∠MPR=α,∠PQN=∠RPQ=α, ∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α; (2)如图②,EF⊥PQ,理由如下: ∵PQ平分∠MPN. ∴∠MPQ=∠NPQ=2α, ∵QE∥PN, ∴∠EQP=∠NPQ=2α, ∴∠EPQ=∠EQP=2α, ∵EF平分∠PEQ, ∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF, ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°, ∴2∠EPQ+2∠PEF=180°, ∴∠EPQ+∠PEF=90°, ∴∠PFE=180°﹣90°=90°, ∴EF⊥PQ; (3)如图③,∠NEF=∠AMP,理由如下: 由(2)可知:∠EQP=2α,∠EFQ=90°, ∴∠QEF=90°﹣2α, ∵∠PQN=α, ∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α, ∵NE平分∠PNQ, ∴∠PNE=∠QNE, ∵QE∥PN, ∴∠QEN=∠PNE, ∴∠QNE=∠QEN, ∵∠NQE=3α, ∴∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α), ∴∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE =180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣(180°﹣3α) =180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α =α =∠AMP. ∴∠NEF=∠AMP. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,熟悉相关性质是解题的关键. 13.(1),;(2)15秒或63秒;(3)不发生变化, 【分析】 (1)利用非负数的性质解决问题即可. (2)分三种情形,利用平行线的性质构建方程即可解决问题. (3)由参数表示,即可判断. 【详解】 解析:(1),;(2)15秒或63秒;(3)不发生变化, 【分析】 (1)利用非负数的性质解决问题即可. (2)分三种情形,利用平行线的性质构建方程即可解决问题. (3)由参数表示,即可判断. 【详解】 解:(1)∵, ∴, ,; (2)设灯转动秒,两灯的光束互相平行, ①当时, , 解得; ②当时, , 解得; ③当时, , 解得,(不合题意) 综上所述,当t=15秒或63秒时,两灯的光束互相平行; (3)设灯转动时间为秒, , , 又, , 而, , , 即. 【点睛】 本题考查平行线的性质和判定,非负数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型. 14.(1)60°;(2)①6s;②s或s 【分析】 (1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题. (2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°,由此构建方程即可解决问题. ②分两种情形:如图③中,当 解析:(1)60°;(2)①6s;②s或s 【分析】 (1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题. (2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°,由此构建方程即可解决问题. ②分两种情形:如图③中,当BG∥HK时,延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题.如图③-1中,当BG∥HK时,延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题. 【详解】 解:(1)如图①中, ∵∠ACB=30°, ∴∠ACN=180°-∠ACB=150°, ∵CE平分∠ACN, ∴∠ECN=∠ACN=75°, ∵PQ∥MN, ∴∠QEC+∠ECN=180°, ∴∠QEC=180°-75°=105°, ∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°. (2)①如图②中, ∵BG∥CD, ∴∠GBC=∠DCN, ∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°, ∴∠GBC=30°, ∴5t=30, ∴t=6s. ∴在旋转过程中,若边BG∥CD,t的值为6s. ②如图③中,当BG∥HK时,延长KH交MN于R. ∵BG∥KR, ∴∠GBN=∠KRN, ∵∠QEK=60°+4t,∠K=∠QEK+∠KRN, ∴∠KRN=90°-(60°+4t)=30°-4t, ∴5t=30°-4t, ∴t=s. 如图③-1中,当BG∥HK时,延长HK交MN于R. ∵BG∥KR, ∴∠GBN+∠KRM=180°, ∵∠QEK=60°+4t,∠EKR=∠PEK+∠KRM, ∴∠KRM=90°-(180°-60°-4t)=4t-30°, ∴5t+4t-30°=180°, ∴t=s. 综上所述,满足条件的t的值为s或s. 【点睛】 本题考查几何变换综合题,考查了平行线的性质,旋转变换,角平分线的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 15.[探究] 70°;[应用] 35 【分析】 [探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数. [应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线 解析:[探究] 70°;[应用] 35 【分析】 [探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数. [应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数. 【详解】 解:[探究]如图②,过点P作PM∥AB, ∴∠MPE=∠AEP=50°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知), ∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠PFC=∠MPF=120°(两直线平行,内错角相等). ∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°(等式的性质). 答:∠EPF的度数为70°; [应用]如图③所示, ∵EG是∠PEA的平分线,PG是∠PFC的平分线, ∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GCF=∠PFC=60°, 过点G作GM∥AB, ∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知), ∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行), ∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等). ∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°. 答:∠G的度数是35°. 故答案为:35. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质. 四、解答题 16.(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠ 解析:(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,则可得∠E= (∠D+∠B),继而求得答案; (2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质,可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D,又由角平分线的性质,即可求得答案. (3)由三角形内角和定理,可得,利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案. 【详解】 解:(1)∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E, ∴∠E=(∠D+∠B), ∵∠ADC=50°,∠ABC=40°, ∴∠AEC= ×(50°+40°)=45°; (2)延长BC交AD于点F, ∵∠BFD=∠B+∠BAD, ∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D, ∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, ∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD =∠B+∠BAE-(∠B+∠BAD+∠D) = (∠B-∠D), ∠ADC=α°,∠ABC=β°, 即∠AEC= (3)的值不发生变化, 理由如下: 如图,记与交于,与交于, ①, ②, ①-②得: AD平分∠BAC, 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度较大,注意掌握整体思想与数形结合思想的应用. 17.解决问题:6; 拓展延伸:(1)S1=2S2 (2)10.5 【解析】 试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论; 拓展延伸:(1) 解析:解决问题:6; 拓展延伸:(1)S1=2S2 (2)10.5 【解析】 试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论; 拓展延伸:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积,由此即可得到结论; (2)连接AO.则可得到△BOD的面积=△BOC的面积,△AOC的面积=△AOD的面积,△EOC的面积=△BOC的面积的一半, △AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,求出a、b的值,即可得到结论. 试题解析:解:解决问题 连接AE.∵点D、E分别是边AB、BC的中点,∴S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC.∵S△BDE =2,∴S△ADE =2,∴S△ABE=S△AEC=4,∴四边形ADEC的面积=2+4=6. 拓展延伸: 解:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2,∴S1=2S2. (2)连接AO.∵CO=DO,∴△BOD的面积=△B
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