3-4保守力与非保守力.pdf

一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为mm 和的质点，其中质点m 固定不动。取m 的位置为坐标原点，A、B两点对m 的距离分别为mrrBA,和经任一路径由点A运动到点B，万有引力作的功为 )11(ABrrmmGW （3-10）上式表明，当质点的质量mm 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m距质点m的距离为r，其位矢为r，这时质点m受到质点m的万有引力为r2eFrmmGre为沿位矢r的单位矢量，当m沿路径移动位移元rd时，万有引力作的功为rerFdddr2rmmGW从图可以看出rdcosdcosd drrrrere于是，上式为rrmmGWdd2所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的功为B ArrBArrmmGWW 2d1d 即 2 重力作功如右图所示，一个质量为m的质点，在重力作用下从点A沿ACB路径至点B，点A和点B距地面的高度分别为21 yy 和，计算重力作功为12mgymgyW （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。扩充内容：计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径ACB分成许多位移元，在位移元rd中，重力P所作的功为rP ddW若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O，有jiryxddd且jPmg。于是，前式为ymgyxmgWd)dd(djij质点由点A移至点B的过程中，重力作的总功为)(d12 21yymgymgWyy 即 )(12mgymgyW3 弹性力作功下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点O（即位于0 x处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置O为坐标原点，向右为Ox轴正向。弹簧伸长量由1x变到2x时，计算弹性力对物体的作的功为)2121(2122kxkxW （3-12）式中k为弹簧的劲度系数。从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（1x和2x）决定，而与弹性形变的过程无关。扩充内容：计算弹性力对物体所作的功若物体受到沿Ox轴正向的外力F作用，弹簧将沿Ox轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F与弹簧的伸长量x之间的关系为iFkx式中k称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为xd时的弹性力F可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为xd时，弹性力作的元功为iiiixFxkxxkxWdddd有 xkxWdd这样，弹簧的伸长量由21 xx 变到时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得21 ddxxxxkWW二、保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力（参阅第 6-1 节和第 7-5 节）。保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即0drFW （3-13）式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。三、势能1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号PE表示。于是，三种势能分别为重力势能 mgyE P 引力势能 rmmGEP （3-14）弹性势能 2P21kxE式（3-10）、式（3-11）、和式（3-12）可统一写成PP1P2)(EEEW （3-15）上式表明，保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。2 对势能概念的进一步讨论讨论：1 重力势能（通常把质点在地球表面附近的引力势能叫做重力势能）设地球半径为ER，质量为Em。质点m处在地球表面h处，与处在地球表面处的引力势能之差为 )11()()(EEEEPEPRhRGmmREhRE )(EEEhRRhGmm由于质点m放在地球表面附近，故2EEE)(RhRR，上式可近似写成hRmmGREhRE2EEEPEP)()(由于地球表面附近重力加速度的值2EE/RGmg，且取地球表面作为重力势能零点，即0)(EPRE，那么从上式可得质点在地球表面h处的引力势能即重力势能为mghhRE)(EP 可见，改变引力势能零点，引力势能的表述式也改变了。2 势能的进一步讨论(1)势能是状态的函数。在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，即),(PPzyxEE。前面还说过，动能亦是状态的函数，),(zyxkkvvvEE。(2)势能的相对性。势能的值与势能零点的选取有关。一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。所以，通常说势能具有相对意义。但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。(3)势能是属于系统的。势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。应当注意，在平常叙述时，常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的，这只是为了叙述上的简便，其实它是属于地球和物体系统的。至于物体的引力势能和弹性势能，也都是这样。四、思考题1.保守力作的功总是负的，对吗？举例说明。2、把物体抛向空中，有哪些力对它作功，这些力是否都是保守力？