抛物线知识点归纳总结与经典习题.pdf

.抛物抛物线经线经典典结论结论和例和例题题抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫FlF做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。l=点 M 到直线 的距离MFMl范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于轴对称x关于轴对称y(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p焦点焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率=1e2px2px 2py2py 准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离pxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF.焦半径焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx 12pAFy12pAFy 焦焦 点弦点弦 长长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp以以为为直径的直径的圆圆必与准必与准线线 相切相切ABl若若的的倾倾斜角斜角为为，则则AB22sinpAB若若的的倾倾斜角斜角为为，则则AB22cospAB 2124px x 212y yp 焦点弦的几AB条性质11(,)A x y22(,)B xy112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()y yp xx00()y yp xx 00()x xp yy00()x xp yy 1.直直线线与抛物与抛物线线的位置关系的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；lo ox22,B xyF Fy y11,A x y.（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l =0，直线 与抛物线相切，一个切点；l 0，直线 与抛物线相离，无公共点。l3若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直关于直线线与抛物与抛物线线的位置关系的位置关系问题问题常用常用处处理方法理方法直线：抛物线，lbkxy)0(fp1联联立方程法：立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出),(11yxA),(22yxB0f2121,xxxx，bxxkbkxbkxyy2)(212121 2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦相交弦 AB 的弦的弦长长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21或 2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点中点,，),(00yxM2210 xxx2210yyy2点差法：点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得),(11yxA),(22yxB 将两式相减，可得1212pxy2222pxy.所以)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率在涉及斜率问题时问题时，212yypkABb.在涉及中点在涉及中点轨轨迹迹问题时问题时，设线段的中点为，AB),(00yxM，即，00212121222ypypyypxxyy0ypkAB同理，对于抛物线，若直线 与抛物线相交于两点，点)0(22ppyxlBA、是弦的中点，则有),(00yxMABpxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物一、抛物线线的定的定义义及其及其应应用用例例 1、设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例例 2、设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一 点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是()A(0,2)B0,2 C(2，)D2，)二、抛物二、抛物线线的的标标准方程和几何性准方程和几何性质质例例 3、抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，经过 F 的直线与抛物线交于A、B 两点，交准线于 C 点，点 A 在 x 轴上方，AKl，垂足为 K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF 的面积是 ()A4 B3 C4 D833例例 4、过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为 ()Ay2 xBy29x Cy2 x Dy23x3292.三、抛物三、抛物线线的的综综合合问题问题例例 5、已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，2B(x2，y2)(x10)上，M 点到抛物线 C 的焦点 F 的距离为 2，直线 l：y xb 与抛物线 C 交于 A，B 两点12(1)求抛物线 C 的方程；(2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程练习题练习题1已知抛物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线 y2x22 的上焦点，则 a 等于(）A1B4 C8 D162抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是()A B C.D.1716151671615163(2011辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2x 的焦点，A，B 是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ().A.B1 C.D.3454744已知抛物线 y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定5已知 F 为抛物线 y28x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，则|FA|FB|的值等于 ()A4 B8C 8 D16226在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是 ()A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)7设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为，那么|PF|()3A4 B8 C8 D16338抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，抛物线的方程（）Ay28x By28x Cy24x Dy24x9 以抛物线 x216y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，抛物线上一点 Q(3，m)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为_11已知抛物线 y24x 与直线 2xy40 相交于 A、B 两点，抛物线的焦点为F，那么|_.FAu uu u u u r rFBu uu uu u r r12过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)过点 P(2，4).14已知点 A(1,0)，B(1，1)，抛物线 C：y24x，O 为坐标原点，过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M，P 两点，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量与OMu uu uu u u u r r的夹角为，求POM 的面积OPu uu uu u r r4解析解析一、抛物一、抛物线线的定的定义义及其及其应应用用例例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1.由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到F(1,0)的距离之和最小显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求的最小值为|AF|，即为.5(2)如图，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.例例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 p4，根据已 知只要|FM|4 即可根据抛物线定|FM|y02 由 y024，解得 y02，故 y0 的取值范围是(2，)二、抛物二、抛物线线的的标标准方程和几何性准方程和几何性质质例例 3、设点 A(x1，y1)，其中 y10.由点 B 作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1.|BB1|BC|123即直线 AB 与 x 轴的夹角为.又|AF|AK|x1 4，因此 y14sin 2，因此3p233AKF 的面积等于|AK|y1 424.121233.例例 4分别过点 A、B 作 AA1、BB1垂直于 l，且垂足分别为 A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F 为线段 AC 的中点故点 F 到准线的距离为 p|AA1|，故抛物线的方程为 y23x.1232三、抛物三、抛物线线的的综综合合问题问题例例 5、(1)直线 AB 的方程是 y2(x)，与 y22px 联立，从而有2p24x25pxp20，所以：x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以5p4p4，从而抛物线方程是 y28x.(2)由 p4,4x25pxp20 可简化为 x25x40，从而 x11，x24，y12，y24，从而 A(1，2)，B(4,4)；2222设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)OCu uu uu u r r2222又 y 8x3，即2(21)28(41)2 32即(21)241.解得 0，或 2.例例 6、(1)设动点 P 的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得x12y2y22x2|x|.当 x0 时，y24x；当 x0 时，y0.所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x(x0)和 y0(x0)的准线为 x，由抛物线定义和已知条件可知p2.|MF|1()1 2，解得 p2,故所求抛物线 C 的方程为 y24x.p2p2(2)联立Error!消去 x 并化简整理得 y28y8b0.依题意应有 6432b0，解得 b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b，设圆心 Q(x0，y0)，则应用 x0，y04.x1x22y1y22因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，所以圆的半径为 r|y0|4.又|AB|x1x22y1y2214y1y225y1y224y1y256432b所以|AB|2r8，解得 b.56432b85所以 x1x22b2y12b2y24b16，485则圆心 Q 的坐标为(，4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.245245练习题练习题：1解析解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题a4意则有 2 解得 a8.a42解析解析：抛物线方程可化为 x2，其准线方程为 y.设 M(x0，y0)，则由抛物y4116线的定义，可知y01y0.11615163解析解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为：(|AF|BF|).12143214544解析解析：设抛物线焦点弦为 AB，中点为 M，准线 l，A1、B1分别为 A、B 在直线 l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是 M 到 l 的距离 d(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)|AB|半径，故相切12125解析解析：依题意 F(2,0)，所以直线方程为 yx2 由Error!，消去 y 得x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.(x1x2)24x1x21441626解析解析：如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线，F 为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D.答案：B.7解析解析：设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为，那么|PF|()3A4 B83C8 D1638解析解析：由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在 x 轴正，半轴上的标准方程，同时得 p4，所以标准方程为 y22px8x9解析解析：抛物线的焦点为 F(0,4)，准线为 y4，则圆心为(0,4)，半径 r8.所以，圆的方程为 x2(y4)264.10解析解析：设抛物线方程为 x2ay(a0)，则准线为 y.Q(3，m)在抛物线上，a49am.而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离，|m()|5.将 ma4代入，得|5，解得，a2，或 a18，所求抛物线的方程为 x22y，或9a9aa4x218y.11解析解析：由Error!，消去 y，得 x25x40(*)，方程(*)的两根为 A、B 两点的横坐标，故 x1x25，因为抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，所以|FAu uu u u u r rFBu uu uu u r r(x11)(x21)712解析解析：因线段 AB 过焦点 F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.13解析解析：双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题设抛物线方程为x29y216y22px(p0)，则 3，p6，抛物线方程为 y212x.p2(2)由于 P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx 或 x2ny，代入 P 点坐标求得 m8，n1，所求抛物线方程为 y28x 或 x2y.14解解：设点 M(，y1)，P(，y2)，P，M，A 三点共线，y2 14y2 24kAMkPM，即，即，y1y24.y1y2 141y1y2y2 14y2 24y1y2 141y1y2 y1y25.向量 与 的夹角为，|OMu uu uu u u u r rOPu uu uu u r ry2 14y2 24OMu uu uu u u u r rOPu uu uu u r r4|cos 5.SPOM|sin .OMu uu uu u u u r rOPu uu uu u r r412OMu uu uu u u u r rOPu uu uu u r r452