抛物线知识点归纳总结与经典习题.pdf

.抛物线经典结论和例题抛物线经典结论和例题抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl=点 M 到直线 的距离MFMl范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于轴对称x关于轴对称y(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p焦点焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率=1e2px2px 2py2py 准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx 12pAFy12pAFy xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF.焦焦 点弦点弦 长长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp以以为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线 相切相切ABl若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB22sinpAB若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB22cospAB 2124px x 212y yp 焦点弦的几AB条性质11(,)A x y22(,)B xy112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()y yp xx00()y yp xx 00()x xp yy00()x xp yy 1.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；l =0，直线 与抛物线相切，一个切点；l 0，直线 与抛物线相离，无公共点。l（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）o ox22,B xyF Fy y11,A x y.2.2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，lbkxy)0(p11联立方程法：联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求),(11yxA),(22yxB02121,xxxx 出，bxxkbkxbkxyy2)(212121 2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.a.相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21或 2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点中点,，),(00yxM2210 xxx2210yyy22点差法：点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得),(11yxA),(22yxB 将两式相减，可得1212pxy2222pxy所以)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，AB),(00yxM，即，00212121222ypypyypxxyy0ypkAB同理，对于抛物线，若直线 与抛物线相交于两点，点)0(22ppyxlBA、是弦的中点，则有),(00yxMABpxpxpxxkAB0021222.（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用一、抛物线的定义及其应用例例 1 1、设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1 的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例例 2 2、设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0 的取值范围是()A(0,2)B0,2 C(2，)D2，)二、抛物线的标准方程和几何性质二、抛物线的标准方程和几何性质例例 3 3、抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是 ()A4 B3 C4 D833例例 4 4、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为 ()Ay2xBy29x Cy2x Dy23x3292三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题例例 5 5、已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于2A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为 2，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点12(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程练习题练习题1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22 的上焦点，则a等于(）A1B4 C8 D162抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是()A B C.D.1716151671615163(2011辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A.B1 C.D.3454744已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定5已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两点，则|FA|FB|的值等于 ()A4 B8C 8 D16226在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ().A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)7设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()3A4 B8 C8 D16338抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，抛物线的方程（）Ay28x By28x Cy24x Dy24x9 以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为_11已知抛物线y24x与直线 2xy40 相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|_.FA FB 12过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)过点P(2，4)14已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为，求POM的面积OM OP 4.解析解析一、抛物线的定义及其应用一、抛物线的定义及其应用例例 1 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为.5(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.例例 2 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已 知只要|FM|4 即可根据抛物线定|FM|y02 由y024，解得y02，故y0 的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质二、抛物线的标准方程和几何性质例例 3 3、设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1.即直线AB与x轴的夹角为.又|BB1|BC|1233|AF|AK|x1 4，因此y14sin2，因此AKF的面积等于p233|AK|y1 424.121233例例 4 4分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.1232三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题例例 5 5、(1)直线AB的方程是y2(x)，与y22px联立，从而有2p24x25pxp20，所以：x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，5p4.所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20 可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)；2222设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)OC 2222又y8x3，即2(21)28(41)2 32即(21)241.解得0，或2.例例 6 6、(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简x12y2得y22x2|x|.当x0 时，y24x；当x0 时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)的准线为x，由抛物线定义和已知条件可p2知|MF|1()1 2，解得p2,故所求抛物线C的方程为y24x.p2p2(2)联立Error!消去x并化简整理得y28y8b0.依题意应有6432b0，解得b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0，y04.x1x22y1y22因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r|y0|4.又|AB|x1x22y1y2214y1y225y1y224y1y256432b所以|AB|2r8，解得b.56432b85.所以x1x22b2y12b2y24b16，485则圆心Q的坐标为(，4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.245245练习题：练习题：1 1解析解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，a4依题意则有 2 解得a8.a42 2解析解析：抛物线方程可化为x2，其准线方程为y.设M(x0，y0)，则y4116由抛物线的定义，可知y01y0.11615163 3解析解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).12143214544 4解析解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半径，故相切1212125 5解析解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2 由Error!，消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.(x1x2)24x1x21441626 6解析解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D.答案：B7 7解析解析：设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()3A4 B83C8 D1638 8解析解析：由准线方程x2，可知抛物线为焦点在x轴正，半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为 y22px8x9 9解析解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264.1010解析解析：设抛物线方程为x2ay(a0)，则准线为y.Q(3，m)在抛a4物线上，9am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，|m()a4|5.将m 代入，得|5，解得，a2，或a18，所求抛物线9a9aa4的方程为x22y，或x218y.1111解析解析：由Error!，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两.点的横坐标，故x1x25，因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以|FA|(x11)(x21)7FB 1212解析解析：因线段AB过焦点F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.1313解析解析：双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题设抛物线方程x29y216为y22px(p0)，则 3，p6，抛物线方程为y212x.p2(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.1414解解：设点M(，y1)，P(，y2)，P，M，A三点共线，y2 14y2 24kAMkPM，即，即，y1y24.y1y2 141y1y2y2 14y2 24y1y2 141y1y2 y1y25.向量 与 的夹角OM OP y2 14y2 24OM OP 为，|cos5.SPOM|sin.4OM OP 412OM OP 452