高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.doc

抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点与一条定直线得距离相等得点得轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线得焦点,直线叫做抛物线得准线。=点到直线得距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,)(0,)(,)焦点在对称轴上顶点离心率准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点得距离相等、顶点到准线得距离焦点到准线得距离焦半径焦 点弦 长焦点弦得几条性质oxFy以为直径得圆必与准线相切若得倾斜角为,则若得倾斜角为,则 切线方程一 直线与抛物线得位置关系 直线,抛物线, ,消得:(1)当k=时,直线与抛物线得对称轴平行,有一个交点;(2)当k0时, 0,直线与抛物线相交,两个不同交点; =0, 直线与抛物线相切,一个切点; 0,直线与抛物线相离,无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)二 关于直线与抛物线得位置关系问题常用处理方法直线: 抛物线, 联立方程法: 设交点坐标为,则有,以及,还可进一步求出, 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如1. 相交弦AB得弦长 或 b、 中点, , 点差法:设交点坐标为,代入抛物线方程,得 将两式相减,可得a. 在涉及斜率问题时,b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段得中点为, 即,同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点就是弦得中点,则有(注意能用这个公式得条件:1)直线与抛物线有两个不同得交点,2)直线得斜率存在,且不等于零)抛物线练习及答案1、已知点在抛物线y2 4x上,那么点到点Q(2,-1)得距离与点P到抛物线焦点距离之与取得最小值时,点P得坐标为 。(,1)2、已知点就是抛物线上得一个动点,则点P到点(0,2)得距离与P到该抛物线准线得距离之与得最小值为 。3、直线与抛物线交于两点,过两点向抛物线得准线作垂线,垂足分别为,则梯形得面积为 。4、设就是坐标原点,就是抛物线得焦点,就是抛物线上得一点,与轴正向得夹角为,则为 。5、抛物线得焦点为,准线为,经过且斜率为得直线与抛物线在轴上方得部分相交于点,垂足为,则得面积就是 。6、已知抛物线得焦点为,准线与轴得交点为,点在上且,则得面积为 。、已知双曲线,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点得抛物线方程为 、在平面直角坐标系中,有一定点,若线段得垂直平分线过抛物线则该抛物线得方程就是 、9、在平面直角坐标系中,已知抛物线关于轴对称,顶点在原点,且过点(2,4),则该抛物线得方程就是 。10、抛物线上得点到直线距离得最小值就是 、 1、已知抛物线y=4x,过点P(,0)得直线与抛物线相交于A(,y1),B(,y2)两点,则y12y2得最小值就是 。3212、若曲线|+1与直线+没有公共点,则、分别应满足得条件就是 。=,-2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”、给定x02。()证明:点P(x,0)得所有“相关弦”得中点得横坐标相同;(2)试问:点P(x,0)得“相关弦得弦长中就是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由。解: (1)设AB为点P(x,0)得任意一条“相关弦”,且点A、得坐标分别就是(x1,y1)、(x,)(x12),则y=4x1,22=4x2,两式相减得(y1y2)(y1y2)=(x1-x2)、因为x1x2,所以y+y2、设直线AB得斜率就是k,弦得中点就是M(x, ym),则=、从而AB得垂直平分线l得方程为 又点P(x,0)在直线上,所以 而于就是故点P(x0,)得所有“相关弦”得中点得横坐标都就是x02、(2)由(1)知,弦A所在直线得方程就是,代入中,整理得 ()则就是方程()得两个实根,且设点P得“相关弦”A得弦长为l,则因为03,则(0-3) (0,4),所以当t2(03),即=2(x3)时,有最大值2(1)。若03,则2(x03)0,g(t)在区间(0,4 08)上就是减函数,所以0)得焦点F得直线交抛物线于点、B,交其准线l于点C,若|B2BF,且A=3则此抛物线得方程为 ( ) 、y2xB、y2=x C、y2=x D、23x三、抛物线得综合问题例5、(2011江西高考)已知过抛物线y2=px(p0)得焦点,斜率为2得直线交抛物线于A(x,y),B(x2,y2)(x10)上,M点到抛物线C得焦点F得距离为2,直线l:y=x+b与抛物线交于A,B两点。(1)求抛物线C得方程;(2)若以A为直径得圆与x轴相切,求该圆得方程。例题答案解析一、抛物线得定义及其应用例1、(1)如图,易知抛物线得焦点为F(1,),准线就是、由抛物线得定义知:点P到直线x=1得距离等于点到焦点F得距离。于就是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(,)得距离与点P到F(1,0)得距离之与最小、显然,连结AF交曲线于点,则所求得最小值为|AF,即为、(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点1,则P1|=P|。则有PB|+|P1BP1Q=|BQ|4、即B|F得最小值为。例2、解析:圆心到抛物线准线得距离为p,即p4,根据已 知只要|FM4即可、根据抛物线定|FM|=0+2由24,解得y02,故y0得取值范围就是(2,+)、二、抛物线得标准方程与几何性质例3、设点A(x1,y1),其中10、由点作抛物线得准线得垂线,垂足为1、则有 |BB1|;又B|=B,因此有|CB|2|BB|,sCB1,CB1=。即直线B与轴得夹角为、又|AF|=|AK=x1+=4,因此y1=4sin=2,因此AK得面积等于|y1=42=4、例、分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l,且垂足分别为1、B1,由已知条件|C|F|得|BBB1,BCB1=,又|AA1|=AF|3,AC=2|AA1|=6,|CF=|AC-F|33,F为线段A得中点、故点F到准线得距离为pAA=,故抛物线得方程为y3x。三、抛物线得综合问题例5、(1)直线B得方程就是2(x),与y2=2x联立,从而有4x5+p=0,所以:x1x2=,由抛物线定义得:AB|x1x2+p=,所以p=4,从而抛物线方程就是2=x、(2)由p=4,4-5px=0可简化为x25x+=0,从而x11,x2=,y=2,y24,从而A(1,-2),B(4,4);设(x3,3)=(1,2)+(4,)=(41,42)。又y=8x3,即2(21)28(41)、即(-1)24+1。解得0,或=、例、 (1)设动点得坐标为(,y),由题意有-x|=1、化简得2=x。当x0时,y2=x;当x0时,=0、所以,动点P得轨迹得方程为y4x(0)与y=(x0)。 ()由题意知,直线l1得斜率存在且不为0,设为k,则l1得方程为y(x1)、由,得k2x-(2k24)x2=0。 (7分)设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,就是上述方程得两个实根,于就是xx2=2,1x1。 (8分)因为l1l2,所以得斜率为-。 设D(x3,y),E(x4,y4),则同理可得x3+4=2+4k,x3x=1、 =(x1+1)(x2+1)(x3+1)(4) x1x2+(12)1x3x4(3+x4)+1 (11分)1+(2+)1+(242)+8(k2+)426、 当且仅当k2,即k=1时,取最小值1、 例 、(1)抛物线22x(p0)得准线为x-,由抛物线定义与已知条件可知MF|1()=1+=2,解得p=, 故所求抛物线C得方程为y2=4x。(2)联立消去x并化简整理得2+8y8b0。依题意应有=432b,解得b-2、设A(x1,y1),B(x2,),则1-8,y1y=-8b,设圆心Q(x,y),则应用x0=,y0、因为以B为直径得圆与轴相切,所以圆得半径为r=|=4、又|AB=所以AB|28,解得b=、所以xx=2b2y12b2y24b1,则圆心Q得坐标为(,4)。故所求圆得方程为(x)+(y+4)2=。练习题、已知抛物线2ay得焦点恰好为双曲线y22=2得上焦点,则等于 ( )A、 B。 C、8 D。62、抛物线y=4x2上得一点M到焦点得距离为1,则点M得纵坐标就是 ( )、- 、 C、 D。3。(2011辽宁高考)已知F就是拋物线y2=x得焦点,A,B就是该拋物线上得两点,|AF|BF|,则线段B得中点到y轴得距离为 ( ) A、 B。1 C、 D、4。已知抛物线y2px,以过焦点得弦为直径得圆与抛物线准线得位置关系就是 ()A、相离 B。相交 C、相切 、不确定5、(012宜宾检测)已知F为抛物线y2=8x得焦点,过F且斜率为1得直线交抛物线于A、B两点,则|AB得值等于 ( ) A。4 B、8C、 8 D、16、在y=2上有一点P,它到A(1,3)得距离与它到焦点得距离之与最小,则点P得坐标就是 ()A、(2,) B、(1,2) C、(,1) D、(1,)7、设抛物线=8x得焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,P,A为垂足、如果直线F得斜率为,那么F= ()A、4 B、8 C。8 D。168、(11陕西高考)设抛物线得顶点在原点,准线方程为x2,则抛物线得方程就是 ( )A、y28x 。y28 C、y= D、y29。(01永州模拟)以抛物线x216y得焦点为圆心,且与抛物线得准线相切得圆得方程为_、10、已知抛物线得顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(3,m)到焦点得距离就是5,则抛物线得方程为_、1、已知抛物线2=4x与直线2x=0相交于A、B两点,抛物线得焦点为F,那么 | =_。12。过抛物线y2=得焦点作直线交抛物线于A(x1,1),B(x, y)两点,若1+x2=,那么 AB等于_13、根据下列条件求抛物线得标准方程:(1)抛物线得焦点就是双曲线 1x214得左顶点;()过点P(2,-)、1、已知点(1,0),(,1),抛物线C:2=x,O为坐标原点,过点A得动直线l交抛物线C于M,两点,直线MB交抛物线C于另一点。若向量与得夹角为,求POM得面积、练习题:、解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(,),双曲线得上焦点为(0,2),依题意则有2解得8、解析:抛物线方程可化为x2=,其准线方程为y、设M(x0,),则由抛物线得定义,可知y0=10、3、解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段B中点到y轴得距离为:(A+B)=。4、解析:设抛物线焦点弦为AB,中点为,准线l,A、B1分别为、在直线l上得射影,则AA1|=|AF|,BB1|B,于就是M到l得距离d(A1|BB1)(AF|+BF|)AB半径,故相切、5、解析:依题意F(2,0),所以直线方程为yx2由,消去y得x21x+40、设(x1,y1),B(x2,y2),则|FAFB|(x1)-(22)|=1-x2=8。6。解析:如图所示,直线为抛物线=2x2得准线,F为其焦点,PNl,ANl,由抛物线得定义知,|PF|PN|,AP|AP|+|AN1,当且仅当、N三点共线时取等号、点得横坐标与A点得横坐标相同即为1,则可排除A、C、D、答案:B7、解析:设抛物线y2=8x得焦点为,准线为l,为抛物线上一点,Al,A为垂足、如果直线F得斜率为,那么|PF= ( )A。4 B、8C、8 。168、解析:由准线方程x=,可知抛物线为焦点在x轴正 ,半轴上得标准方程,同时得p,所以标准方程为 22x=x9。解析:抛物线得焦点为(0,4),准线为,则圆心为(,4),半径r。 所以,圆得方程为+(y4)2=64、10、解析:设抛物线方程为x2=ay(a0),则准线为y、Q(3,)在抛物线上,=am。而点Q到焦点得距离等于点到准线得距离,(-)=、将m代入,得+|=,解得,a,或18,所求抛物线得方程为x22y,或x21、11。解析:由,消去,得x25x40(*),方程()得两根为A、B两点得横坐标,故x12=5,因为抛物线y2=4x得焦点为F(1,0),所以| +| (1)+(2+1)=12、解析:因线段AB过焦点F,则ABAF+、又由抛物线得定义知A|11,BF1,故AB|x1+x22=8、3、解析:双曲线方程化为,左顶点为(3,),由题意设抛物线方程为y=2px(0),则=,p=6,抛物线方程为y2=12x、(2)由于(2,4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2=x或x2ny,代入P点坐标求得=,1,所求抛物线方程为28x或x2y、1、解:设点M(,y1),P(,2),P,M,A三点共线,kM=M,即,即,y2=4、 =+12。向量 与 得夹角为, | cs=、SPOM=| | si、