资源描述
抛
物
线
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
定义
平面内与一个定点与一条定直线得距离相等得点得轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线得焦点,直线叫做抛物线得准线。
｛=点Ｍ到直线得距离｝
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
(,0)
(,０)
(0,)
(０,)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
＝１
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点得距离相等、
顶点到准线得距离
焦点到准线得距离
焦半径
焦 点弦 长
焦点弦得几条性质
o
x
F
y
以为直径得圆必与准线相切
若得倾斜角为,则
若得倾斜角为,则
切线
方程
一． 直线与抛物线得位置关系ﻫ 直线,抛物线,
,消ｙ得:
(1)当k=０时,直线与抛物线得对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ＞0,直线与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0, 直线与抛物线相切,一个切点;
Δ〈0,直线与抛物线相离,无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)
二． 关于直线与抛物线得位置关系问题常用处理方法
直线: 抛物线,
① 联立方程法:
设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
1. 相交弦AB得弦长
或
b、 中点, ,
② 点差法:
设交点坐标为,,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
a. 在涉及斜率问题时,
b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段得中点为,,
即,
同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点就是弦得中点,则有
(注意能用这个公式得条件:1)直线与抛物线有两个不同得交点,2)直线得斜率存在,且不等于零)
抛物线练习及答案
1、已知点Ｐ在抛物线y2 ＝ 4x上,那么点Ｐ到点Q(2,-1)得距离与点P到抛物线焦点距离之与取得最小值时,点P得坐标为 。(,－1)
2、已知点Ｐ就是抛物线上得一个动点,则点P到点(0,2)得距离与P到该抛物线准线得距离之与得最小值为 。
3、直线与抛物线交于两点,过两点向抛物线得准线作垂线,垂足分别为,则梯形得面积为 。
4、设就是坐标原点,就是抛物线得焦点,就是抛物线上得一点,与轴正向得夹角为,则为 。
5、抛物线得焦点为,准线为,经过且斜率为得直线与抛物线在轴上方得部分相交于点,,垂足为,则得面积就是 。
6、已知抛物线得焦点为,准线与轴得交点为,点在上且,则得面积为 。
７、已知双曲线,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点得抛物线方程为 、
８、在平面直角坐标系中,有一定点,若线段得垂直平分线过抛物线则该抛物线得方程就是 、
9、在平面直角坐标系中,已知抛物线关于轴对称,顶点在原点,且过点Ｐ(2,4),则该抛物线得方程就是 。
10、抛物线上得点到直线距离得最小值就是 、
１1、已知抛物线y２=4x,过点P(４,0)得直线与抛物线相交于A(ｘ１,y1),B(ｘ２,y2)两点,则y12＋y２2得最小值就是 。32
12、若曲线＝||+1与直线＝+没有公共点,则、分别应满足得条件就是 。=０,-１<<1
13、已知抛物线y—x２＋3上存在关于直线x+y=０对称得相异两点A、Ｂ,则｜ＡB｜等于( )C
A、3 B、4 C。3 D、4
１4、已知抛物线得焦点为,点,在抛物线上,且, 则有( )Ｃ
A、 Ｂ。
Ｃ。 D、
15、已知点,就是抛物线上得两个动点,就是坐标原点,向量,满足、设圆得方程为。
(1) 证明线段就是圆得直径;
(２)当圆C得圆心到直线x-２y=0得距离得最小值为时,求p得值、
解: (１)证明1: ,
,整理得: ,,
设M(x,ｙ)就是以线段ＡB为直径得圆上得任意一点,则,
即,整理得:,
故线段就是圆得直径、
证明2: ,
,整理得: ,
……、、(1)
设(x,y)就是以线段ＡＢ为直径得圆上则即,
去分母得: ,
点满足上方程,展开并将(１)代入得:
,
故线段就是圆得直径。
证明3: ,
,
整理得: ,……(1)
以线段AＢ为直径得圆得方程为
,
展开并将(1)代入得:,
故线段就是圆得直径
(2)解法1:设圆C得圆心为C(x,y),则
,,又因,
,,,,
,
所以圆心得轨迹方程为,
设圆心C到直线x－2y=0得距离为ｄ,则
,
当y=p时,d有最小值,由题设得,、
解法2: 设圆C得圆心为C(ｘ,y),则
,,又因,,
,,,
,
所以圆心得轨迹方程为,
设直线x—2y+m=0到直线x－2y=０得距离为,则,因为x—2y+2=０与无公共点,
所以当x-２y-2=０与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0得距离最小值为
将(2)代入(3)得,,
解法３: 设圆C得圆心为C(ｘ,y),则
圆心Ｃ到直线x－2y=0得距离为d,则
,,又因,,
,,,
,
当时,ｄ有最小值,由题设得,、
１6、已知椭圆C１:,抛物线Ｃ2:,且Ｃ1、Ｃ２得公共弦AＢ过椭圆C1得右焦点、
(1)当AＢ⊥轴时,求、得值,并判断抛物线Ｃ2得焦点就是否在直线AB上;
(２)就是否存在、得值,使抛物线C２得焦点恰在直线AＢ上？若存在,求出符合条件得、得值;若不存在,请说明理由、
解:(１)当ＡB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以ｍ=0,直线AＢ得方程为x=1,从而点Ａ得坐标为(1,)或(１,—)、 因为点A在抛物线上,所以,即。 此时C2得焦点坐标为(,０),该焦点不在直线ＡB上。
(2)解法一 当C2得焦点在ＡB时,由(Ⅰ)知直线ＡB得斜率存在,设直线AB得方程为、
A
y
B
O
x
由消去y得、 ……①
设Ａ、Ｂ得坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
则x1,ｘ2就是方程①得两根,x1+ｘ2=、
因为AB既就是过C１得右焦点得弦,又就是过C2得焦点得弦,
所以,且
。
从而、
所以,即。
解得、
因为C2得焦点在直线上,所以。
即、
当时,直线ＡB得方程为;
当时,直线AＢ得方程为。
解法二 当C2得焦点在ＡB时,由(Ⅰ)知直线AB得斜率存在,设直线AB得方程
为。
由消去y得。 ……①
因为C2得焦点在直线上,
所以,即。代入①有。
即、 ……②
设A、B得坐标分别为(ｘ1,y1), (x2,y2),
则x1,ｘ2就是方程②得两根,x１＋x2=、
由消去y得、 ……③
由于ｘ１,x2也就是方程③得两根,所以ｘ1+x2=、
从而=、 解得、
因为C２得焦点在直线上,所以、
即、
当时,直线AB得方程为;
当时,直线ＡB得方程为、
解法三 设A、Ｂ得坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),
因为ＡB既过C1得右焦点,又就是过C2得焦点,
所以。
即、 ……①
由(Ⅰ)知,于就是直线AB得斜率, ……②
且直线AＢ得方程就是,
所以、 ……③
又因为,所以、 ……④
将①、②、③代入④得,即、
当时,直线ＡB得方程为;
当时,直线AB得方程为、
1７、如图,倾斜角为a得直线经过抛物线得焦点F,且与抛物线交于Ａ、Ｂ两点。
(1)求抛物线得焦点F得坐标及准线l得方程;
(2)若ａ为锐角,作线段ＡB得垂直平分线m交x轴于点P,证明｜FP|-|FＰ|cos2a为定值,并求此定值。
(1)解:设抛物线得标准方程为,则,从而因此焦点得坐标为(2,0)、
又准线方程得一般式为。从而所求准线l得方程为、
答(2１)图
(2)解法一:如图(21)图作AＣ⊥ｌ,BD⊥l,垂足为Ｃ、D,则由抛物线得定义知｜FA｜=|FＣ|,｜FB|＝|BD｜、
记A、B得横坐标分别为xxxz,则｜FA｜=|AＣ|=解得,
类似地有,解得。
记直线m与ＡB得交点为E,则
,
所以、故、
解法二:设,,直线AB得斜率为,则直线方程为。
将此式代入,得,故。
记直线m与ＡＢ得交点为,则
,,故直线m得方程为。
令ｙ=0,得P得横坐标故、
从而为定值、
18、已知正三角形得三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆就是得内接圆(点为圆心)
(1)求圆得方程;
(2)设圆得方程为,过圆上任意一点分别作圆得两条切线,切点为,求得最大值与最小值。
(1)解法一:设两点坐标分别为,,由题设知
、
解得,所以,或,、
设圆心得坐标为,则,所以圆得方程为、
解法二:设两点坐标分别为,,由题设知
。又因为,,可得、即
、由,,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上、设点得坐标为,则点坐标为,于就是有,解得,所以圆得方程为、
(2)解:设,则、
在中,,由圆得几何性质得
,,
所以,由此可得、则得最大值为,最小值为、
１9、若A、B就是抛物线y2=４x上得不同两点,弦ＡB(不平行于y轴)得垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB就是点P得一条“相关弦”。已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”、给定x0〉2。
(１)证明:点P(x０,0)得所有“相关弦”得中点得横坐标相同;
(2)试问:点P(x０,0)得“相关弦"得弦长中就是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由。
解: (1)设AB为点P(x０,0)得任意一条“相关弦”,且点A、Ｂ得坐标分别就是(x1,y1)、(x２,ｙ２)(x1ｘ2),则y２１=4x1, ｙ22=4x2,两式相减得(y1＋y2)(y1—y2)=４(x1-x2)、因为x1x2,所以y１+y2０、设直线AB得斜率就是k,弦ＡＢ得中点就是M(xｍ, ym),则ｋ=、
从而AB得垂直平分线l得方程为
又点P(x０,0)在直线上,所以
而于就是故点P(x0,０)得所有“相关弦”得中点得横坐标都就是x0—2、
(2)由(1)知,弦AＢ所在直线得方程就是,代入中,
整理得 (·)
则就是方程(·)得两个实根,且
设点P得“相关弦”AＢ得弦长为l,则
因为0<＜４xｍ=４(ｘｍ—2) =4ｘ0—８,于就是设t=,则t(0,4ｘ0－8)、
记l2=ｇ(t)=－［t-２(x０-３)］2+4(x0—1)２、,若x０>3,则２(ｘ0-3) (0, 4ｘ０—８),所以当t＝2(ｘ0—3),即=2(x０—3)时,ｌ有最大值2(ｘ０—1)。若２<ｘ0〈3,则2(x0－3)0,g(t)在区间(0,4 ｘ0－8)上就是减函数,所以０<l２〈１6(x0-2),l不存在最大值。
综上所述,当ｘ0〉3时,点P(x0,0)得“相关弦”得弦长中存在最大值,且最大值为2(ｘ0-1);当２〈 ｘ０３时,点Ｐ(x0,0)得“相关弦”得弦长中不存在最大值。
A
B
O
Q
y
x
l
M
２０、已知曲线Ｃ就是到点P()与到直线距离相等得点得轨迹。就是过点Q(－１,0)得直线,
M就是C上(不在上)得动点;Ａ、B在上,轴(如图)。
(1)求曲线C得方程;(2)求出直线得方程,使得为常数。
(1)解:设为上得点,则,
到直线得距离为、由题设得、
化简,得曲线得方程为、
(2)解法一:
设,直线,则,从而、
在中,因为,、
所以 、
,、
当时,,从而所求直线方程为。
解法二:设,直线,则,从而
A
B
O
Q
y
x
l
M
H
l1
、
过垂直于得直线、
因为,所以,
O
y
x
1
l
F
。
当时,,从而所求直线方程为、
2１、如图,已知点,直线,为平面上得动点,
过作直线得垂线,垂足为点,且。
(1)求动点得轨迹得方程;
(2)过点得直线交轨迹于两点,交直线于点,已知,,求得值;
解法一:(1)设点,则,由得:
,化简得、
(2)设直线得方程为:
、
P
B
Q
M
F
O
A
x
y
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,、
一、抛物线得定义及其应用
例1、设P就是抛物线y2＝4ｘ上得一个动点、
(1)求点P到点A(－1,１)得距离与点P到直线x=－１得距离之与得最小值;
(2)若B(3,２),求|PB|+|PＦ｜得最小值、
例２、(20１1·山东高考)设M(ｘ0,y0)为抛物线Ｃ:x2=8y上一 点,F为抛物线Ｃ得焦点,以F为圆心、｜FＭ｜为半径得圆与抛物线Ｃ得准线相交,则y0得取值范围就是( )
A、(0,２) B、[0,2］ Ｃ。(2,＋∞) D、［2,＋∞)
二、抛物线得标准方程与几何性质
例3、抛物线y２=2ｐｘ(p〉0)得焦点为F,准线为l,经过F得直线与抛物线交于A、Ｂ两点,交准线于C点,点A在x轴上方,AK⊥l,垂足为K,若｜BC｜＝2｜ＢF|,且|AF|＝４,则△ＡKF得面积就是 ( )
A、4 B、３ C。4 D、8
例4、过抛物线y2=２px(p>0)得焦点F得直线交抛物线于点Ａ、B,交其准线l于点C,若|BＣ｜＝2｜BF｜,且｜AＦ｜=3则此抛物线得方程为 ( )
Ａ、y2＝x B、y2=９x C、y2=x D、ｙ2＝3x
三、抛物线得综合问题
例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2=２px(p＞0)得焦点,斜率为2得直线交抛物线于A(x１,y１),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且｜AＢ｜＝9、
(1)求该抛物线得方程;
(２)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若＝ +λ,求λ得值、
例6、(２011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,０)得距离与点P到y轴得距离得差等于１、
(1)求动点P得轨迹C得方程;
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直得直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点Ｄ,E,求得最小值
例７、已知点M(1,ｙ)在抛物线C:ｙ2=2ｐx(ｐ>0)上,M点到抛物线C得焦点F得距离为2,直线l:y=—x+b与抛物线Ｃ交于A,B两点。
(1)求抛物线C得方程;
(2)若以AＢ为直径得圆与x轴相切,求该圆得方程。
例题答案解析
一、抛物线得定义及其应用
例1、(1)如图,易知抛物线得焦点为F(1,０),准线就是ｘ＝－１、
由抛物线得定义知:点P到直线x=—1得距离等于点Ｐ到焦点F得距离。
于就是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(－１,１)得距离与点P到F(1,0)得距离之与最小、显然,连结AF交曲线于Ｐ点,则所求得最小值为|AF｜,即为、
(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点Ｐ1,则｜P1Ｑ|=｜P１Ｆ|。则有｜PB|+|ＰＦ|≥|P1B｜＋｜P1Q｜=|BQ|＝4、即｜ＰB｜＋|ＰF｜得最小值为４。
例2、解析:圆心到抛物线准线得距离为p,即p＝4,根据已 知只要|FM｜>4即可、根据抛物线定|FM|=ｙ0+2由ｙ０＋2＞4,解得y0>2,故y0得取值范围就是(2,+∞)、
二、抛物线得标准方程与几何性质
例3、设点A(x1,y1),其中ｙ1>0、由点Ｂ作抛物线得准线得垂线,垂足为Ｂ1、则有 |ＢＦ|＝｜BB1|;又｜ＣB|=２｜ＦB｜,因此有|CB|＝2|BB１|,ｃｏs∠CＢB1＝＝,∠CBＢ1=。即直线ＡB与ｘ轴得夹角为、又|AF|=|AK｜=x1+=4,因此y1=4sin=2,因此△AKＦ得面积等于｜ＡＫ|·y1=×4×2=4、
例４、分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l,且垂足分别为Ａ1、B1,由已知条件|ＢC|＝２｜ＢF|得|BＣ｜＝２｜BB1｜,∴∠BCB1=３０°,又|AA1|=｜AF|＝3,
∴｜AC｜=2|AA1|=6,∴|CF｜=|AC｜-｜ＡF|＝６－3＝3,∴F为线段AＣ得中点、故点F到准线得距离为p＝｜AA１｜=,故抛物线得方程为y２＝3x。
三、抛物线得综合问题
例5、(1)直线ＡB得方程就是ｙ＝2(x—),与y2=2ｐx联立,从而有4x２－5ｐｘ+p２=0,所以:x1＋x2=,由抛物线定义得:｜AB|＝x1＋x2+p=９,
所以p=4,从而抛物线方程就是ｙ2=８x、
(2)由p=4,4ｘ２-5px＋ｐ２=0可简化为x2－5x+４=0,从而x1＝1,x2=４,y１=－2,y2＝4,从而A(1,-2),B(4,4);
设＝(x3,ｙ3)=(1,—2)+λ(4,４)=(4λ＋1,4λ－2)。
又y=8x3,即[2(2λ－1)］2＝8(4λ＋1)、
即(２λ-1)2＝4λ+1。解得λ＝0,或λ=２、
例６、 (1)设动点Ｐ得坐标为(ｘ,y),由题意有-｜x|=1、化简得ｙ2=２x＋２｜ｘ｜。ﻩ当x≥0时,y2=４x;当x〈0时,ｙ=0、
所以,动点P得轨迹Ｃ得方程为y２＝4x(ｘ≥0)与y=０(x<0)。
(２)由题意知,直线l1得斜率存在且不为0,设为k,则l1得方程为y＝ｋ(x—1)、由,得k2x２-(2k2＋4)x＋ｋ2=0。 (7分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则ｘ1,ｘ２就是上述方程得两个实根,于就是x１＋x2=2＋,ｘ1x２＝1。 (8分)
因为l1⊥l2,所以ｌ２得斜率为-。 设D(x3,y３),E(x4,y4),则同理可得
x3+ｘ4=2+4k２,x3x４=1、
=(x1+1)(x2+1)＋(x3+1)·(ｘ4＋１)
＝ x1x2+(ｘ1＋ｘ2)＋1＋x3x4＋(ｘ3+x4)+1 (11分)
＝1+(2+)＋1+１+(2＋4ｋ2)+１＝8＋４(k2+)≥８＋4×2＝１6、
当且仅当k2＝,即k=±1时,取最小值1６、
例７ 、(1)抛物线ｙ2＝2ｐx(p〉0)得准线为x＝-,由抛物线定义与已知条件可知
｜MF|＝1－(－)=1+=2,解得p=２, 故所求抛物线C得方程为y2=4x。
(2)联立消去x并化简整理得ｙ2+8y－8b＝0。
依题意应有Δ=６4＋32b＞０,解得b〉-2、设A(x1,y1),B(x2,ｙ２),则ｙ1＋ｙ２＝-8,y1y２=-8b,设圆心Q(x０,y０),则应用x0=,y0＝＝－４、
因为以ＡB为直径得圆与ｘ轴相切,所以圆得半径为r=|ｙ０｜=4、
又|AB｜=＝=
＝
所以｜AB|＝2ｒ＝＝8,解得b=－、
所以x１＋x２=2b—2y1＋2b－2y2＝4b＋1６＝,
则圆心Q得坐标为(,－4)。故所求圆得方程为(x－)２+(y+4)2=１６。
练习题
１、已知抛物线ｘ2＝ay得焦点恰好为双曲线y2—ｘ2=2得上焦点,则ａ等于 ( )
A、１ B。４ C、8 D。１6
2、抛物线y=－4x2上得一点M到焦点得距离为1,则点M得纵坐标就是 ( )
Ａ、- ﻩＢ、— C、 ﻩ D。
3。(2011·辽宁高考)已知F就是拋物线y2=x得焦点,A,B就是该拋物线上得两点,|AF|＋｜BF|＝３,则线段ＡB得中点到y轴得距离为 ( )
A、 ﻩ B。1 C、 ﻩﻩﻩﻩD、
4。已知抛物线y2＝２px,以过焦点得弦为直径得圆与抛物线准线得位置关系就是 ( )
A、相离 ﻩ B。相交 C、相切 ﻩﻩﻩﻩＤ、不确定
5、(２012·宜宾检测)已知F为抛物线y2=8x得焦点,过F且斜率为1得直线交抛物线于A、B两点,则|｜ＦA｜－｜ＦB｜｜得值等于 ( ) A。4 ﻩﻩB、8C、 8 ﻩ D、16
６、在y=２ｘ2上有一点P,它到A(1,3)得距离与它到焦点得距离之与最小,则点P得坐标就是 ( )
A、(－2,１) ﻩB、(1,2) C、(２,1) ﻩﻩD、(－1,２)
7、设抛物线ｙ２=8x得焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PＡ⊥ｌ,A为垂足、如果直线ＡF得斜率为－,那么｜ＰF｜= ( )
A、4 B、8 C。8 D。16
8、(２０11·陕西高考)设抛物线得顶点在原点,准线方程为x＝－2,则抛物线得方程就是 ( )
A、y2＝－8x Ｂ。y2＝8ｘ C、y２=—４ｘ D、y2＝４ｘ
9。(２01２·永州模拟)以抛物线x2＝16y得焦点为圆心,且与抛物线得准线相切得圆得方程为__＿＿_＿__、
10、已知抛物线得顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(—3,m)到焦点得距离就是5,则抛物线得方程为_____＿__、
１1、已知抛物线ｙ2=4x与直线2x＋ｙ—４=0相交于A、B两点,抛物线得焦点为F,那么｜ ｜ ＋｜ | =_______＿。
12。过抛物线y2=４ｘ得焦点作直线交抛物线于A(x1,ｙ1),B(x２, y２)两点,若ｘ1+x2=６,那么 ｜AB｜等于_＿_＿__＿＿
13、根据下列条件求抛物线得标准方程:
(1)抛物线得焦点就是双曲线 1６x2－９ｙ２＝14４得左顶点;
(２)过点P(2,-４)、
1４、已知点Ａ(—1,0),Ｂ(１,—1),抛物线C:ｙ2=４x,O为坐标原点,过点A得动直线l交抛物线C于M,Ｐ两点,直线MB交抛物线C于另一点Ｑ。若向量与得夹角为,求△POM得面积、
练习题:
１、解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(０,),双曲线得上焦点为(0,2),依题意则有＝2解得ａ＝8、
２、解析:抛物线方程可化为x2=－,其准线方程为y＝、设M(x0,ｙ０),则由抛物线得定义,可知－y0=1⇒ｙ0＝－、
3、解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段ＡB中点到y轴得距离为:(｜AＦ｜+｜BＦ｜)—＝－=。
4、解析:设抛物线焦点弦为AB,中点为Ｍ,准线l,A１、B1分别为Ａ、Ｂ在直线l上得射影,则｜AA1|=|AF|,｜BB1|＝｜BＦ｜,于就是M到l得距离d＝(｜AＡ1|＋｜BB1｜)＝(｜AF|+｜BF|)＝｜AB｜＝半径,故相切、
5、解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y＝x－2由,消去y得x2－1２x+4＝0、设Ａ(x1,y1),B(x2,y2),则|｜FA｜－｜FB|｜＝|(x1＋２)-(ｘ2＋2)|=｜ｘ1-x2｜＝==8。
6。解析:如图所示,直线ｌ为抛物线ｙ=2x2得准线,F为其焦点,PN⊥l,AN１⊥l,由抛物线得定义知,|PF｜＝|PN|,∴｜AP|＋｜ＰＦ|＝｜AP|+｜ＰＮ｜≥|AN1｜,当且仅当Ａ、Ｐ、N三点共线时取等号、∴Ｐ点得横坐标与A点得横坐标相同即为1,则可排除A、C、D、答案:B
7、解析:设抛物线y2=8x得焦点为Ｆ,准线为l,Ｐ为抛物线上一点,ＰA⊥l,A为垂足、如果直线ＡF得斜率为－,那么|PF｜= ( )
A。4 B、8
C、8 Ｄ。16
8、解析:由准线方程x=－２,可知抛物线为焦点在x轴正 ,半轴上得标准方程,同时得p＝４,所以标准方程为 ｙ2＝2ｐx=８x
9。解析:抛物线得焦点为Ｆ(0,4),准线为ｙ＝—４,则圆心为(０,4),半径r＝８。 所以,圆得方程为ｘ２+(y－4)2=64、
10、解析:设抛物线方程为x2=ay(a≠0),则准线为y＝－、∵Q(－3,ｍ)在抛物线上,∴９=am。而点Q到焦点得距离等于点Ｑ到准线得距离,∴｜ｍ—(-)｜=５、将m＝代入,得｜+|=５,解得,a＝±２,或ａ＝±18,∴所求抛物线得方程为x2＝±2y,或x2＝±1８ｙ、
11。解析:由,消去ｙ,得x2－5x＋4＝0(*),方程(＊)得两根为A、B两点得横坐标,故x1＋ｘ2=5,因为抛物线y2=4x得焦点为F(1,0),所以| ｜ +| ｜ ＝(ｘ１＋1)+(ｘ2+1)=７
12、解析:因线段AB过焦点F,则｜AB｜＝｜AF｜+｜ＢＦ｜、又由抛物线得定义知｜AＦ|＝ｘ1＋1,｜BF｜＝ｘ２＋1,故｜AB|＝x1+x2＋2=8、
１3、解析:双曲线方程化为－＝１,左顶点为(－3,０),由题意设抛物线方程为
y２=—2px(ｐ〉0),则－=—３,∴p=6,∴抛物线方程为y2=－12x、
(2)由于Ｐ(2,－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2=ｍx或x2＝ny,代入P点坐标求得ｍ=８,ｎ＝－1,
∴所求抛物线方程为ｙ2＝8x或x2＝－y、
1４、解:设点M(,y1),P(,ｙ2),
∵P,M,A三点共线,
∴kＡM=ｋＰM,
即＝,即＝,∴y１ｙ2=4、
∴ · =·+ｙ1ｙ2＝５。∵向量 与 得夹角为,
∴｜ |·| ｜·cｏs=５、∴S△POM=| ｜ ·| | ·siｎ＝、
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