正交检验的极差分析与方差分析ppt.pptx

正交检验的极差分析与方差分析 例题例题 某公司计划引进一条生产线某公司计划引进一条生产线、为了选择一条质量为了选择一条质量优良得生产线以减少日后得维修问题优良得生产线以减少日后得维修问题,她们对她们对6 6种型号种型号得生产线作了初步调查得生产线作了初步调查,每种型号调查每种型号调查4 4条条,结果列于表结果列于表8-18-1。这些结果表示每个型号得生产线上个月维修得小。这些结果表示每个型号得生产线上个月维修得小时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异造成它们在维修时间方面有显著差异?4 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理表表 4 41 1 对对6 6种型号生产线维修时数得调查结果种型号生产线维修时数得调查结果 序序号号型号型号1 12 23 34 4A A型型9 9、5 58 8、8 81111、4 47 7、8 8B B型型4 4、3 37 7、8 83 3、2 26 6、5 5C C型型6 6、5 58 8、3 38 8、6 68 8、2 2D D型型6 6、1 17 7、3 34 4、2 24 4、1 1E E型型1010、0 04 4、8 85 5、4 49 9、6 6F F型型9 9、3 38 8、7 77 7、2 21010、1 14 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理研究得指标研究得指标:维修时间记作维修时间记作Y,Y,控制因素就是生产线得型号控制因素就是生产线得型号,分为分为6 6个水平即个水平即A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F,每个水平对应一个总体每个水平对应一个总体Y Yi i(i=1,2,6)(i=1,2,6)。4 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理现在得试验就就是进行调查现在得试验就就是进行调查,每种型号调查每种型号调查4 4台台,相当相当于每个总体中抽取一个容量为于每个总体中抽取一个容量为4 4得样本得样本,得到得数据记作得到得数据记作y yijij(i=1,2,6;j=1,2,3,4),(i=1,2,6;j=1,2,3,4),即为下表数据。即为下表数据。计算各样本平均数计算各样本平均数 如下如下:型号型号A AB BC CD DE EF F9 9、4 45 5、5 57 7、9 95 5、4 47 7、5 58 8、8 8表表 8 82 24 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理两个总体平均值比较得检验法两个总体平均值比较得检验法把样本平均数两两组成对把样本平均数两两组成对:与与 ,与与 ,与与 ,与与 ,与与 ,共有共有(15)15)对。对。4 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理即使每对都进行了比较即使每对都进行了比较,并并且都以且都以0 0、9595得置信度得出得置信度得出每对均值都相等得结论每对均值都相等得结论,但但就是由此要得出这就是由此要得出这6 6个型号个型号得维修时间得均值都相等。得维修时间得均值都相等。这一结论得置信度仅就是这一结论得置信度仅就是 上上述述方方法法存存在在得得问问题题工作量大工作量大置信度低置信度低将这将这1515对平均数一一进对平均数一一进行比较检验行比较检验 4 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理方差分析得基本原理方差分析得基本原理:(1)(1)将数据总得偏差平方与按照产生得原因分解成将数据总得偏差平方与按照产生得原因分解成:(总得偏差平方与总得偏差平方与)=)=(由因素水平引起得偏差平方与由因素水平引起得偏差平方与)+()+(试验误差平方与试验误差平方与)(2)(2)上式右边两个平方与得相对大小可以说明因素得不上式右边两个平方与得相对大小可以说明因素得不同水平就是否使得各型号得平均维修时间产生显著性同水平就是否使得各型号得平均维修时间产生显著性差异差异,为此需要进行适当得统计假设检验为此需要进行适当得统计假设检验、4 4、1 1 方差分析得基本概念与原理方差分析得基本概念与原理数学模型与数据结构数学模型与数据结构参数点估计参数点估计分解定理分解定理 自由度自由度显著性检验显著性检验多重分布与区间估计多重分布与区间估计4 4、2 2 单因素试验得方差分析单因素试验得方差分析10大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得,可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流在单因素试验中在单因素试验中,为了考察因素为了考察因素A A得得k k个水平个水平A A1 1,A A2 2,A,Ak k对对Y Y得影响得影响(如如k k种型号对维修时间得影响种型号对维修时间得影响),),设想在固定得条件设想在固定得条件A Ai i下作试验下作试验、所有可能得试验结果所有可能得试验结果组成一个总体组成一个总体Y Yi i,它就是一个随机变量它就是一个随机变量、可以把它分可以把它分解为两部分解为两部分 (4-14-1)4 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构其中其中:纯属纯属A Ai i作用得结果作用得结果,称为在称为在A Ai i条件下条件下Y Yi i得真值得真值(也称为也称为在在A Ai i条件下条件下Y Yi i得理论平均得理论平均)、就是实验误差就是实验误差(也称为随机误也称为随机误差差)。(4-24-2)其中其中,与与 都就是未知参数都就是未知参数(i=1,2,k)(i=1,2,k)、4 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构假定在水平假定在水平A Ai i下重复做下重复做m m次试验次试验,得到观测值得到观测值 1 12 2j jM M合计合计平均平均A A1 1Y Y1111Y Y1212Y Y1j1jY Y1m1mT T1 1A A2 2Y Y2121Y Y2222Y Y2j2jY Y2m2mT T2 2A Ai iY Yi1i1Y Yi2i2Y YijijY YimimT Ti iA Ak kY Yk1k1Y Yk2k2Y YkjkjY YkmkmT Tk k表表 4 43 34 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构 表中表中:(i=1,2,k)(4-(i=1,2,k)(4-3)3)Y Yijij表表示在示在A Ai i条件下第条件下第j j次试验得结果次试验得结果,用式子表示就就是用式子表示就就是 (i=1,2,k j=1,2,m)(4-(i=1,2,k j=1,2,m)(4-4)4)注意注意:每次试验结果只能得到每次试验结果只能得到Y Yijij,而而(4-4)(4-4)式中得式中得 与与 都都不能直接观测到。不能直接观测到。4 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构为了便于比较与分析因素为了便于比较与分析因素A A得水平得水平A Ai i对指标影响对指标影响得大小得大小,通常把通常把 再分解为再分解为 (i=1,2,k)(4-5)(i=1,2,k)(4-5)其中其中,称为一般平均称为一般平均(Grand Mean),(Grand Mean),它就是它就是比比较作用大小得一个基点较作用大小得一个基点;8 8、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构 并且称并且称 为第为第i i个水平个水平A Ai i得效应得效应、它表示水平得真值比一它表示水平得真值比一般水平差多少。满足约束条件般水平差多少。满足约束条件 (4-6)(4-6)可得可得 i=1,2,k;j=1,2,mi=1,2,k;j=1,2,m4 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构要要解解决决得得问问题题找出参数找出参数与与 得估计量得估计量分析观测值得偏差分析观测值得偏差 检验各水平效应检验各水平效应有无显著差异有无显著差异4 4、2 2、1 1 数学模型与数据结构数学模型与数据结构用最小二乘法求参数用最小二乘法求参数 得估计量得估计量,然后然后寻求寻求 得无偏估计量得无偏估计量、须使参数须使参数 得估计值能使在水平得估计值能使在水平A Ai i下求下求得得观测值得得观测值Y Yijij与真值与真值 之间得偏差尽可能小。之间得偏差尽可能小。为满足此要求为满足此要求,一般考虑用最小偏差平方与原则一般考虑用最小偏差平方与原则,也就就是使观测值与真值得偏差平方与达到最小也就就是使观测值与真值得偏差平方与达到最小、4 4、2 2、2 2 参数点估计参数点估计由由(4-4)(4-4)可知可知,上述偏差平方与上述偏差平方与令下列各偏导数为零令下列各偏导数为零(i=1,2,k)(i=1,2,k)4 4、2 2、2 2 参数点估计参数点估计由由 解得解得 (4-7)(4-7)由由 解得解得 (4-8)(4-8)4 4、2 2、2 2 参数点估计参数点估计并由此得并由此得 得估计量得估计量 至此至此,求得参数求得参数 得估计量得估计量 (4-9)(4-9)4 4、2 2、2 2 参数点估计参数点估计按照上述原则求参数估计量得方法称为最小二按照上述原则求参数估计量得方法称为最小二乘法乘法,称为最小二乘估计量称为最小二乘估计量、我们还可以证明我们还可以证明 分别就是参数分别就是参数 得得无偏估计量。无偏估计量。将将 与与 分别用它们得估计量代替分别用它们得估计量代替,可以得到试可以得到试验误差验误差 得估计量得估计量 ,(4-10)(4-10)4 4、2 2、2 2 参数点估计参数点估计 为了由观测值得偏差中分析出各水平得效应为了由观测值得偏差中分析出各水平得效应,我们我们研究三种偏差研究三种偏差:,:,与与 、根据前面参数估计得讨论根据前面参数估计得讨论,它们分别表示它们分别表示 ,定理定理 (4-11)(4-11)得估计得估计、与与4 4、2 2、3 3 分解定理分解定理 自由度自由度证明证明:4 4、2 2、3 3 分解定理分解定理 自由度自由度令令则分解定理则分解定理(8-11)(8-11)可写成可写成 (4-12)(4-12)4 4、2 2、3 3 分解定理分解定理 自由度自由度 上式中上式中,称为总偏差平方与称为总偏差平方与、称为误差平方与称为误差平方与(或组或组内平方与内平方与););称为因素称为因素A A得效应平方与得效应平方与(或组间平方或组间平方与与),),S ST T得自由度得自由度f fT T=km-1=km-1 S SA A得自由度得自由度f fA A=k-1=k-1 S SE E得自由度得自由度f fE E=k(m-1)=k(m-1)容易瞧出容易瞧出,自由度之间也有类似于分解定理得关系自由度之间也有类似于分解定理得关系 (4-13)(4-13)4 4、2 2、3 3 分解定理分解定理 自由度自由度参数参数假设假设检验检验得假得假设条设条件件 观测值观测值(i=1,2,k;j=1,2,m)(i=1,2,k;j=1,2,m)相互独立相互独立在水平在水平A Ai i条件下条件下,Y Yijij(j=1,2,m)(j=1,2,m)服从正态分布服从正态分布N N 4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验要判断在因素要判断在因素A A得得k k个水平条件下真值之间就是个水平条件下真值之间就是否有显著性差异否有显著性差异,即检验假设即检验假设 H H0 0:,:,H H1 1:不全相等不全相等 相当于检验假设相当于检验假设 H H0 0:(i=1,2,k),:(i=1,2,k),H H1 1:i i不全为零不全为零 4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验可以证明当可以证明当H H0 0为真时为真时,(4-16)(4-16)并且并且 与与 相互独立相互独立、得得 (4-17)(4-17)其中其中 与与 称为均方称为均方(Mean Square)(Mean Square)、4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验利用利用(8-17)(8-17)式来检验原假设式来检验原假设H H0 0就是否成立就是否成立、对于对于给定得显著水平给定得显著水平 ,可以从可以从F F分布表查出临界值分布表查出临界值 再根据样本观测值算出再根据样本观测值算出F FA A得值得值、当当 时时,拒绝拒绝H H0 0,当当 时时,接受接受H H0 0。4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验方差来源方差来源平方与平方与自由度自由度均方均方F F比比组间组间(因素因素A)A)S SA AK-1K-1S SA A/(k-1)/(k-1)组内组内(实验误差实验误差)S SE EK(m-1)K(m-1)S SE Ek(m-k(m-1)1)总与总与S ST T=S SA A+S SE EKm-1Km-1-表表 4 44 4 方差分析表方差分析表4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验下面继续讨论前面下面继续讨论前面6 6种型号得生产线得例子。根种型号得生产线得例子。根据调查结果据调查结果,在在 =0=0、0505得显著水平时得显著水平时,检验这检验这6 6种型种型号得生产线在平均维修时间方面有无显著差异？号得生产线在平均维修时间方面有无显著差异？根据实践经验根据实践经验,认为各种型号生产线得维修时间认为各种型号生产线得维修时间就是近似服从正态分布得。就是近似服从正态分布得。作统计假设作统计假设:6 6种型号得生产线平均维修时数无显种型号得生产线平均维修时数无显著差异著差异,即即 H H0 0:i i=0=0(i=1,2,6i=1,2,6),H,H1 1:i i不全为零不全为零4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验计算计算S SA A及及S SE E 4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验表表 4 45 5 计算列表计算列表 台号台号型号型号1 12 23 34 4T Ti iT Ti i2 2A A型型9 9、5 58 8、8 81111、4 47 7、8 83737、5 514061406、2525358358、4949B B型型4 4、3 37 7、8 83 3、2 26 6、5 52121、8 8475475、2424131131、8282C C型型6 6、5 58 8、3 38 8、6 68 8、2 23131、6 6998998、5656252252、3434D D型型6 6、1 17 7、3 34 4、2 24 4、1 12121、7 7470470、8989124124、9595E E型型1010、0 04 4、8 85 5、4 49 9、6 62929、8 8888888、0404244244、3636F F型型9 9、3 38 8、7 77 7、2 21010、1 13535、3 312461246、0909316316、03034 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验再将计算结果分别代入再将计算结果分别代入S SA A与与S SE E两式中两式中,得到得到第一自由度第一自由度 第二自由度第二自由度 4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验 查查F F分布表得分布表得由于由于 ,故拒绝故拒绝H H0 0。该结论说明该结论说明,至少有一种生产线型号得效应不为零至少有一种生产线型号得效应不为零,这等价于至少有两种型号得生产线得平均维修时数就是这等价于至少有两种型号得生产线得平均维修时数就是有显著差异得。有显著差异得。方差来源方差来源平方与平方与 自由度自由度均方均方F F比比组间组间S SA A5555、55555 51111、1111组内组内S SE E5656、727218183 3、1515总与总与S ST T112112、27272323-表表 4 46 6 方差分析表方差分析表4 4、2 2、4 4 显著性检验显著性检验q q 检验法检验法:计算任意两水平得差值计算任意两水平得差值 ,当当 时时,判断判断 与与 差异显著差异显著;当当 时时,判断判断 与与 差异显著。差异显著。查多重比较得查多重比较得q q表得表得 (8-18)(8-18)4 4、2 2、5 5 多重分布与区间估计多重分布与区间估计区间估计区间估计在置信度为在置信度为 得情况下得情况下,得置信区间为得置信区间为 (8-198-19)4 4、2 2、5 5 多重分布与区间估计多重分布与区间估计双因素方差分析得类型双因素方差分析得类型数据结构数据结构离差平方与得分解离差平方与得分解应用实例应用实例4 4、3 3 双因素方差分析双因素方差分析在实际问题得研究中在实际问题得研究中,有时需要考虑两个因素对有时需要考虑两个因素对实验结果得影响。实验结果得影响。例如饮料销售例如饮料销售,除了关心饮料颜色之外除了关心饮料颜色之外,我们还想我们还想了解销售地区就是否影响销售量了解销售地区就是否影响销售量,如果在不同得地区如果在不同得地区,销售量存在显著得差异销售量存在显著得差异,就需要分析原因。采用不同就需要分析原因。采用不同得销售策略得销售策略,使该饮料品牌在市场占有率高得地区继使该饮料品牌在市场占有率高得地区继续深入人心续深入人心,保持领先地位保持领先地位;在市场占有率低得地区在市场占有率低得地区,进一步扩大宣传进一步扩大宣传,让更多得消费者了解、接受该生产让更多得消费者了解、接受该生产线。线。4 4、3 3、1 1 双因素方差分析得类型双因素方差分析得类型 若把饮料得颜色瞧作影响销售量得因素若把饮料得颜色瞧作影响销售量得因素A A,饮料得饮料得销售地区则就是影响因素销售地区则就是影响因素B B。对因素。对因素A A与因素与因素B B同时进同时进行分析行分析,就属于双因素方差分析。就属于双因素方差分析。双因素方差分析得内容双因素方差分析得内容,就是对影响因素进行检就是对影响因素进行检验验,究竟就是一个因素在起作用究竟就是一个因素在起作用,还就是两个因素都还就是两个因素都起作用起作用,或就是两个因素得影响都不显著。或就是两个因素得影响都不显著。4 4、3 3、1 1 双因素方差分析得类型双因素方差分析得类型双因双因素方素方差分差分析得析得类型类型 无交互作用得无交互作用得双因素方差分析双因素方差分析 有交互作用得有交互作用得双因素方差分析双因素方差分析 假定因素假定因素A A与因素与因素B B得效应之间就是相得效应之间就是相互独立得互独立得,不存在不存在相互关系相互关系 假定因素假定因素A A与因素与因素B B得结合会产生出一得结合会产生出一种新得效应种新得效应 4 4、3 3、1 1 双因素方差分析得类型双因素方差分析得类型 例如例如,若假定不同地区得消费者对某种颜色有与其她地若假定不同地区得消费者对某种颜色有与其她地区消费者不同得特殊偏爱区消费者不同得特殊偏爱,这就就是两个因素结合后这就就是两个因素结合后产生得新效应产生得新效应,属于有交互作用得背景属于有交互作用得背景;否则否则,就就是无交互作用得背景。有交互作用得就就是无交互作用得背景。有交互作用得双因素方差分析已超出本书得范围双因素方差分析已超出本书得范围,这里介绍无交互这里介绍无交互作用得双因素方差分析。作用得双因素方差分析。4 4、3 3、1 1 双因素方差分析得类型双因素方差分析得类型双因素方差分析得数据结构如表所示双因素方差分析得数据结构如表所示:双因素方差分析数据结构双因素方差分析数据结构因素因素A AA A1 1A A2 2A Ar r因因素素B BB B1 1X X1111X X1212X X1r1rB B2 2X X2121X X2222X X2r2rB Bk kX Xk1k1X Xk2k2X Xkrkr表表 8 87 74 4、3 3、2 2 数据结构数据结构表中表中,因素因素A A位于列得位置位于列得位置,共有共有r r个水平个水平,代表第代表第j j种水平得样本平均数种水平得样本平均数;因素因素B B位于行得位置位于行得位置,共有共有k k个水个水平平,代表第代表第i i种水平得样本平均数。种水平得样本平均数。为样本总平均数为样本总平均数,样本容量样本容量n=rkn=rk。每一个观察值每一个观察值X Xijij瞧作由瞧作由A A因素得因素得r r个水平与个水平与B B因素得因素得k k个水平所组合成得个水平所组合成得rkrk个总体中抽取样本容量为个总体中抽取样本容量为1 1得得独立随机样本。这独立随机样本。这rkrk个总体得每一个总体均服从正个总体得每一个总体均服从正态分布态分布,且有相同得方差。这就是进行双因素方差分析且有相同得方差。这就是进行双因素方差分析得假定条件。得假定条件。4 4、3 3、2 2 数据结构数据结构4 4、3 3、3 3 离差平方与得分解离差平方与得分解各离差平方与对应得自由度各离差平方与对应得自由度:总离差平方与总离差平方与SSTSST得自由度为得自由度为rk-1=n-1rk-1=n-1;因素因素A A得离差平方与得离差平方与SSASSA得自由度为得自由度为r-1r-1;因素因素B B得离差平方与得自由度为得离差平方与得自由度为k-1k-1;随机误差随机误差SSESSE得自由度为得自由度为(r-1r-1)(k-1k-1)4 4、3 3、3 3 离差平方与得分解离差平方与得分解由离差平方与与自由度可以计算均方差由离差平方与与自由度可以计算均方差:对因素对因素A A而言而言:对因素对因素B B而言而言:对随机变量而言对随机变量而言:4 4、3 3、3 3 离差平方与得分解离差平方与得分解表表 4 48 8 双因素方差分析表双因素方差分析表 误差来误差来源源离差平方与离差平方与自由度自由度均方差均方差F F值值A A因素因素SSASSAr-1r-1MSA=SSA/(r-MSA=SSA/(r-1)1)F FA A=MSA/MSE=MSA/MSE因素因素SSBSSBk-1k-1MSB=SSB/(k-MSB=SSB/(k-1)1)F FB B=MSB/MSE=MSB/MSE误差误差SSESSE(r-1)(k-1)(r-1)(k-1)MSE=SSE/(r-MSE=SSE/(r-1)(k-1)1)(k-1)-合计合计SSTSSTn-1n-1-4 4、3 3、3 3 离差平方与得分解离差平方与得分解某商品有五种不同得包装方式某商品有五种不同得包装方式(因素因素A A),),在五个不同在五个不同地区销售地区销售(因素因素B B),),现从每个地区随机抽取一个规模相同现从每个地区随机抽取一个规模相同得超级市场得超级市场,得到该商品不同包装得销售资料如下表得到该商品不同包装得销售资料如下表、表表 4 49 9 现欲检验包装方式与销售地区对该商品销售就是否有显现欲检验包装方式与销售地区对该商品销售就是否有显著性影响。著性影响。(=0=0、0505)包装方式包装方式(A)(A)A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5销销售售地地区区(B)(B)B B1 120201212202010101414B B2 222221010202012126 6B B3 324241414181818181010B B4 416164 48 86 61818B B5 5262622221616202010104 4、3 3、4 4 应用实例应用实例 解解:若五种包装方式得销售得均值相等若五种包装方式得销售得均值相等,则表明不同得则表明不同得包装方式在销售上没有差别。包装方式在销售上没有差别。建立假设建立假设对因素对因素A A:H H0 0:,包装方式之间无差别包装方式之间无差别H H1 1:不全相等不全相等,包装方式之间有差别包装方式之间有差别对因素对因素B B:H H0 0:地区之间无差别地区之间无差别H H1 1:不全相等不全相等 地区之间有差别地区之间有差别4 4、3 3、4 4 应用实例应用实例计算计算F F值值 因素因素A A得列均值分别为得列均值分别为:因素因素B B得行均值分别为得行均值分别为:总均值总均值=15=15、0404故故:SST=SST=(20-1520-15、0404)2+(10-152+(10-15、04)2=88004)2=880、9696 SSA=5(21 SSA=5(21、6-156-15、04)2+5(1104)2+5(11、6-156-15、04)2=33504)2=335、3636 SSB=5(15 SSB=5(15、2-152-15、04)2+5(1804)2+5(18、8-158-15、04)2=19904)2=199、3636 SSE=880 SSE=880、96-33596-335、36-19936-199、36=34636=346、2424 4 4、3 3、4 4 应用实例应用实例接下来接下来:因此因此4 4、3 3、4 4 应用实例应用实例统计决策统计决策 对于因素对于因素A A,因为因为 F FA A=3=3、87F87Fcritcrit=3=3、0101 故拒绝故拒绝H H0 0,接受接受H H1 1,说明不同得包装方式对该商品得销售产生影响。说明不同得包装方式对该商品得销售产生影响。对于因素对于因素B B,因为因为 F FB B=2=2、30F30FF0 0、0505,F,FA AFF0 0、0101,故故A A因子非常显著因子非常显著;F F0 0、1010FFB BFF0 0、0505,故故B B因子比较显著因子比较显著;F F0 0、1010FFC CFF0 0、0505,故故C C因子也比较显著因子也比较显著,但比但比A A、B B二因子得影响作用差。二因子得影响作用差。4 4、4 4、3 3 方差分析法方差分析法