实变函数试题库(6)及参考答案.pdf

实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（6）本科本科一、填空题1设，称是 ，如果，nE EnT*m TmTEI*cmTEI2设是外测度为零的集合，且，则 EFE*m F03.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集()f xEa()E xf xa上的 .E4.设是()的内点,则.0 xER*_0m E5 设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值 ()f x()nER()f xEL6若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的 ()f x,a b()f x7设，则 nfxf x ngxg x nnfx gx 8设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则 nxE f x Ef x dx 2、单选题1设，则（）nRE A EEB0EECEEDEE2.设的康托集，则()P（A）为可数集 （B）为开集PP（C）（D）0mP 1mP 3.设的有理数集，则（）Q（A）（B）为闭集0mQ Q（C）（D）为不可测集0mQ Q3、多项选择题1设，则（）nfxf x 几乎处处收敛于 一致收敛于A nfx f xB nfx f x 有子列，使于C nfx nfx nfxf x.aeE 可能几乎处处收敛于D nfx f x2设是可测集，则（）nE E 是可测集 的子集是可测集 的可数子集是可测集AcEBmE CDE3 设是上的单调函数，则（）()f x,a b（A）是上的有界变差函数 （B）是上的绝对连续函数()f x,a b()f x,a b（C）在上几乎处处收敛 （D）在上几乎处处可导()f x,a b()f x,a b4设在可测集上可积，则（）f xEL，都是上的非负可积函数和有一个在上的非负可A fx fxEB fx fxE积 在上可积 在上不一定可积C f xELD f xEL四、判断题1.称在上几乎处处相等是指使的全体的测度大于（,f xg xE f xg xx0）2.设为可测集上的非负可测函数，则 （f xE f xL E）3.设为可测集上的可测函数，则一定存在.（f xE Ef x dx）4.设为零测集，为上的实函数，则不一定是上的可测函数 （E f xE f xE）五、定义题1.简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.2.简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？3.简述中开集的结构.nR六、计算题1.设，其中为康托集，求.230,1xxPf xxxPP 0 1f x dx，2.求，求.22,0,11nnxfxEn x limnnEfx dx7、证明题1.证明集合等式：.ABCA CB CUU2.设，则为可测集且.00,1E 中的有理点0E00mE 3.设，为的一列可测子集，如果，f xL E nEEmE limnnmEmE则.limnnEEf x dxf x dx4.证明集合等式：.ABCA BA CUU5.设，且，则为可测集.1ER0m EE6.证明：上的单调函数必为可测函数.1R f x7.设为可测集上的可测函数，则的充要条件.f xnER f xL E f xL E实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（6）本科本科1、填空题1.可测集 2.=3.可测函数 4.5.一定存在 6.差 7.8.f x g x limnEnx dx二、单选题1.A 2.C 3.C三、多选题1.CD 2.AD 3.ACD 4.AC四、判断题 五、定义题1.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.2.答：不一定 如1111,11,1nnn U3.答：中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并nR六、解答题1.解：因为为康托集，故，P0mP 0,1 1mP 所以 320,1PPf xxx所以 2330,10,1f x dxx mPx mPx2.解：易知：22lim00,11nnxxn x令，2221,1nnxfxg xn xx则 22232222222221110111nnxnxnxn xnxg xfxnxnxxn xxxn xn xgg所以 00,1,1nfxg xxn又因为在上可积，g x0,1Lebesgue所以由控制收敛定理，得 22lim001nEEnxdxdxn x7、证明题1.证明 cccABCABCACBCA CB CUUIIUIU2.证明 因为为可数集，记为，0E012,nEr rrLL，取0 11,1,2,22nnnnnIrrnL显然，所以，01nnEI U0011102nnnnnnEIm EIU让，得.000m E，由于nTR 00cTTETEIUI所以.00cm TmTEmTEII又，所以.00,0cTET m EI000ccm TmTEmTEmTEIII故00cm TmTEmTEII故为可测集，且0E00mE 3.证明 因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对()f xEL00任何，当时有，由于，故对上述的AEmA|()|Af x dxlimnnmEmE，存在，当时，且有，于是00k0nknEE()nnmEmEm EE，即|()()|()|nnEEE Ef x dxf x dxf x dxlim()()nEEnf x dxf x dx4.证明 cccccABCABCABCABACA BA CUIUIIIIII5.证明 ，由于nTR ncTR TTETE IUI所以.cm TmTEmTEII又，所以.,0cTET m EIccm TmTEmTEmTEIII故cm TmTEmTEII所以为可测集E6.证明 ，不妨假设，因为是上的单调函数，不妨设为单1,a bRab f x1R f x调增函数，故是上的单调增函数，即，f x,a b 121212,x xE xxf xf x则，有1R1）当时，supx Ef x();E xf x 2）当时，infx Ef x();E xf xE 3）当时，必有，使 infsupx Ex Ef xf x10 xERI或.000,f xf x000,0f xf x由的单调增知，或.f x0(),E xf xEx I0,Ex I在所有情况下，都可测.()E xf x即是上的可测函数.f x,a b由由的任意性可知，是上的可测函数.,a b f x1R7.证明 必要性 若，f xL E因为，且 f xfxfx f xL E所以中至少有一个是有限值，,EEfx dxfx dx故 EEEf x dxfx dxfx dx即 f xL E充分性 若 f xL E因为，且 f xfxfx f xL E所以中至少有一个是有限值，,EEfx dxfx dx故，EEEf x dxfx dxfx dx即.f xL E