实变函数试题库(5)及参考答案.pdf

实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（5）本科本科一、填空题 1设为集合，则,A B_()ABB AAUU2设，如果满足（其中表示的内部），则是 nERE0EE0EEE3设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为G(,)a b(,)a bG,aG bG(,)a b的 G4设，则的基数 (其中表示自然数集的基数)|2,Ax xn n为自然数AaaN5设为可测集，且，则,A BBAmB _()mAmBm A B6设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有()f xE,()a b ab是 ()E xaf xb7若是可数集，则 ()ER_0mE8设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果()nfxE()f xE，则 （是否成立）.()()()a enfxf xxE()()nfxf xxE二、选择题1、设是中的可测集，是上的简单函数，则 （）E1R()xE（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数()xE()xE（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数()xEL()xE2下列集合关系成立的是（）（A）（B）()()()ABCABACIUIUI()A BA I（C）（D）()B AA IABABUI3.若是闭集，则（）nER（A）（B）（C）（D）0EEEEEEEE三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设，则（）0,1E 中的有理点（A）是可数集 （B）是闭集EE（C）（D）中的每一点均为的内点0mE EE2若的外测度为 0，则（）()ER（A）是可测集 （B）E0mE（C）一定是可数集 （D）一定不是可数集EE3设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有mE ()nfxE()f xE限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（）()(),()nfxf xxE（A）存在 （B）在上-可积()Ef x dx()f xEL（C）（D）.()()()a enfxf xxElim()()nEEnfx dxf x dx4若可测集上的可测函数在上有积分值，则（）E()f xEL（A）与至少有一个成立()()fxL E()()fxL E（B）且()()fxL E()()fxL E（C）在上也有-积分值|()|f xEL（D）|()|()f xL E四、判断题1.可列个开集的交集仍为开集 （）2.任何无限集均是可列集 （）3.设为可测集，则一定存在集，使，且.（EFFFE0m E F）4.设为零测集，则为上的可测函数的充要条件是：实数都有E f xEa是可测集 （()E xf xa）五、定义题1.可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？2.可测集上的可测函数与连续函数有什么关系？E3.上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？,a b六、计算题1.设，求.101001xD xx为，上的有理点为，上的无理点 0 1D x dx，2.求.0lnlimcosxnxnexdxn七、证明题1设是有界集，则nER*m E 2上的实值连续函数是可测函数1R()f x3设，函数在上有界可测，则在上可积，从而上的mE ()f xE()f xEL,a b连续函数是可积的L4设（）是上的可积函数，如果，则()nfx1,2,n LELlim|()|0nnEnfx dx()0nfx 实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（2）本科本科一、填空题1.=2.开集 3.构成区间 4.=5.=6.可测集 7.=8.不一定成立2、单选题1.D 2.A 3.B 三、多选题1.AC 2.AB 3.ABCD 4.AD4、判断题五、定义题1.答：设是可测集上的一列可测函数，那 ,nfxf xE当时，于，必有.mE ,.nfxf xaeE nfxf x反之不成立，但不论还是，存在子列，使mE mE nfx knfx于.,.knfxf xaeE当时，于，由定理可得近一致收敛于mE ,.nfxf xaeEEgoroff nfx，反之，无需条件，结论也成立.f xmE 2.答：上连续函数必为可测函数但上的可测函数不一定时连续函数，上可测函数在EEE上是“基本上”连续的函数E3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数6、解答题1.证明 记是中有理数集，是中无理数集，则1E0,12E0,1，且，12120,1,EE EE UI120,1mEmE 1210EED x所以.120,1100D x dxmEmE2.解 易知lnlimcos0 xnxnexn对任意，0,1xnlnlncosxxnxnexnn设，则，ln()xyf yy0y 2ln()yxyxyfyy当时，.3y 1lnyxyxy()0fy则是单调减函数且非负（）；ln()xnf nn3n 又，由单调收敛定理得ln1limlim0nnxnnxnLevi，即，000lnlnlimlim00nnxnxndxdxdxnnln()xnL En再由控制收敛定理得Lebsgue000lnlnlimcoslimcos00 xxnnxnxnexdxexdxdxnn7、证明题1.证明 因为是有界集，所以存在开区间，使 EIEI 由外测度的单调性，而（其中表示区间的体*m Em I*|m II|II积），所以 *m E 2.证明 因为连续，所以对任何实数，是开集，而开集为可测集，()f xa|()x f xa因此是可测函数()f x3.证明 因为在上有界可测，所以存在，使，()f xE0M|()|f xMxE是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|f x|()|EEf xdxMdxM mE 故在上可积，从而在上可积|()|f xEL()f xEL 因为上的连续函数是有界可测函数，所以可积的,a bL4.证明 对任何常数，0|()|()|()|nnnE x fxmE xfxfxdx所以|()|1|()|()|nnnE x fxmE xfxfxdx 1|()|0()nEfxdxn 因此 ()0nfx