资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）．
A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．圆柱体
2．下列是一元二次方程有（ ）
①；②；③；④.
A． B． C． D．
3．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．相等的两个角互为对顶角
C．若a2＝b2，则a＝b D．若a＞b，则﹣2a＜﹣2b
4．如图，双曲线的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．图象开口方向向下； B．图象与y轴的交点坐标是（0，-3）；
C．图象的顶点坐标为（1，-3）； D．抛物线在x＞-1的部分是上升的．
6．如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．桌面上放有6张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色．现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0；
②b＞2a；
③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
9．如图，为的直径，和分别是半圆上的三等分点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．cm B．8cm C．6cm D．4cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
12．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴垂线，垂足是是轴上任意一点，则的面积是_________．
13．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是_____．
14．已知_______
15．二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
16．记函数的图像为图形，函数的图像为图形，若N与没有公共点，则的取值范围是___________.
17．化简：__________．
18．分解因式:__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.1．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．
20．（6分）小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，试求每月盈利的平均增长率．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形．
22．（8分）如图，为的直径，切于点，交的延长线于点，且.
(1)求的度数.
(2)若的半径为2，求的长.
23．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到．
（1）画出，直接写出点，的坐标；
（2）求在旋转过程中，点经过的路径的长；
（3）求在旋转过程中，线段所扫过的面积．
24．（8分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣3，0）．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3（m为常数），顶点为P．
（1）当抛物线经过点A时，顶点P的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，此抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C．点Q为直线AC上方抛物线上一动点．
①如图1，连接QA、QC，求△QAC的面积最大值；
②如图2，若∠CBQ＝45°，请求出此时点Q坐标．
25．（10分）已知：点D是△ABC中AC的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△GAE∽△GBF；
（2）求证：AE=CF；
（3）若BG：GA=3：1，BC=8，求AE的长．
26．（10分）在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为三棱柱．故选B.
2、A
【解析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式是一元二次方程．然后对每个方程作出准确的判断．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故正确；
②方程二次项系数可能为0，故错误；
③整理后不含二次项，故错误；
④不是整式，故错误，
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．
3、D
【解析】根据同位角、对顶角和等式以及不等式的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
B、相等的两个角不一定互为对顶角，原命题是假命题；
C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
D、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握常用的公理，定理，推论和重要结论，是解题的关键.
4、D
【解析】∵在中，k=8＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当=2时，=4，排除③；
所以应该是④．
故选D．
5、D
【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.
6、C
【分析】由已知条件2x=3y，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴=.
故选C.
【点睛】
本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
7、A
【详解】∵桌面上放有6张卡片，卡片正面的颜色3张是绿色，2张是红色，1张是黑色，
∴抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是：．
故选A．
8、D
【分析】①观察图象可得，当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；
③抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．
【详解】解：观察图象可知：
①当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴①正确；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
9、B
【分析】阴影的面积等于半圆的面积减去△ABC和△ABD的面积再加上△ABE的面积，因为△ABE的面积是△ABC的面积和△ABD的面积重叠部分被减去两次，所以需要再加上△ABE的面积，然后分别计算出即可.
【详解】设相交于点和分别是半圆上的三等分点，为⊙O的直径..，
如图，连接，则，
故选.
【点睛】
此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE的面积是解题的关键.
10、B
【分析】由于⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝3，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．
【详解】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝3：5，
所以OM＝3，
∵AB⊥CD，垂足为M，OC过圆心
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，，
∴AB＝2AM＝2×4＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12、
【分析】连接OA，根据反比例函数中k的几何意义可得，再根据等底同高的三角形的面积相等即可得出结论
【详解】解：连接OA，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
∵过作轴垂线，垂足是；
∴AB//OC
∴和等底同高;
∴；
故答案为：
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、等底同高的三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键
13、点O在⊙P上
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：由勾股定理，得
OP＝＝5，
d＝r＝5，
故点O在⊙P上．
故答案为点O在⊙P上.
【点睛】
此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
14、2
【分析】设，分别用k表示x、y、z，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k来表示x、y、z.
15、1
【分析】利用公式法可求二次函数y=x2-2x+1的对称轴．也可用配方法．
【详解】∵-=-=1，
∴x=1．
故答案为1
【点睛】
本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．
16、或
【分析】分两种情况讨论：①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
【详解】①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.可得：
整理得：
∴
②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
当x=-2时，4+12-5a+3＜6，解得：
当x=6时，36-36-5a+3＜-2，解得：a＞1
故
综上所述：或
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数是交点问题，本题的关键在于二次函数的取值范围，需考虑二次函数的开口方向.
17、0
【分析】根据cos（90°-A）=sinA，以及特殊角的三角函数值，进行化简，即可.
【详解】原式=
=
=
=0.
故答案是：0
【点睛】
本题主要考查三角函数常用公式以及特殊角三角函数值，掌握三角函数的常用公式，是解题的关键.
18、
【分析】提取公因式a进行分解即可．
【详解】解：a2−5a＝a（a−5）．
故答案是：a（a−5）．
【点睛】
本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
三、解答题(共66分)
19、（1）50；（2）2
【解析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；
（2）因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【详解】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.1）=50（个）
（2）设小明放入红球x个．根据题意得：
解得：x=2（个）．
经检验：x=2是所列方程的根．
答：小明放入的红球的个数为2．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
20、
【分析】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据“2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，
根据题意得：2400（1＋x）2＝3456，
解得：x1＝0.2，x2＝−2.2（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
21、c=12，∠A=30°，∠B=60°.
【分析】先用勾股定理求出c，再根据边的比得到角的度数.
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，
∴，
∵， ，
∴∠A=30°，∠B=60°.
【点睛】
此题考查解直角三角形，即求出三角形未知的边和角，用三角函数求角度时能熟记各角的三角函数值是解题的关键.
22、 (1)；(2).
【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；
（2）由题意的半径为2，求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）∵∠D=∠COD，的半径为2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，
解得：．
【点睛】
本题考查切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力，熟练掌握切线的性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质是解题关键．
23、（1）见解析，；（2）；（3）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．
【详解】解：（1）△A1OB1如图所示，
A1（-3，3），B1（-2，1）；
（2）由勾股定理得，
∴弧BB1的长=
（3）由勾股定理得，
∴
∴
∴线段AB所扫过的面积为：
【点睛】
本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
24、（1）（﹣1，4）；（2）①；②Q（﹣，）．
【分析】（1）将点A坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解；
（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，先求出直线AC的解析式，点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N(x，x+3)，则△QAC的面积S=×QN×OA=﹣x2﹣x，然后根据二次函数的性质即可求解；
②tan∠OCB=＝，设HM=BM=x，则CM=3x，BC=BM+CM=4x=，解得：x=，CH=x=，则点H(0，)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-x+，即可求解．
【详解】解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，
0＝﹣9-6m+3
∴m＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，
∴点P(﹣1，4)，
故答案为：(﹣1，4)；
（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，如图1，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A(﹣3，0)、C(0，3)的坐标代入一次函数表达式并解得，
，
解得
，
∴直线AC的表达式为：y＝x+3，
设点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N（x，x+3），
△QAC的面积S＝QN×OA＝(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝﹣x2﹣x，
∵﹣＜0，故S有最大值为：；
②如图2，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，
tan∠OCB＝＝，设HM＝BM＝x，则CM＝3x，
BC＝BM+CM＝4x＝，解得：x＝，
CH＝x＝，则点H(0，)，
同直线AC的表达式的求法可得直线BH（Q）的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：
﹣x2﹣2x+3=﹣x+，
解得
x＝1（舍去）或﹣，
故点Q(﹣，)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，以及数形结合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AE=1
【分析】（1）由AE∥BC可直接判定结论；
（2）先证△ADE≌△CDF，即可推出结论；
（3）由△GAE∽△GBF，可用相似三角形的性质求出结果．
【详解】（1）∵AE∥BC，
∴△GAE∽△GBF；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAD=∠FCD，
又∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF；
（3）∵△GAE∽△GBF，
∴，
又∵AE=CF，
∴3，
即3，
∴AE=1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是灵活运用相似三角形的性质．
26、（1）；（2）或；（3）结论成立，理由见解析
【分析】（1）设影子抛物线表达式是，先求出原抛物线的顶点坐标，代入，可求解；
（2）设原抛物线表达式是，用待定系数法可求，，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】解：（1）原抛物线表达式是
原抛物线顶点是，
设影子抛物线表达式是，
将代入，解得，
所以“影子抛物线”的表达式是；
（2）设原抛物线表达式是，
则原抛物线顶点是，
将代入，得①，
将代入，②，
由①、②解得，．
所以，原抛物线表达式是或；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是．原抛物线于轴交点坐标为
则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中、、、是常数，且，
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、
将、分别代入，
得
消去得，
，
，，
、关于轴对称．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．
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