9.2-二重积分的计算.ppt

第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1 1页页*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法二重积分的计算法第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2 2页页引例引例:曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第3 3页页同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第4 4页页且在且在D上连续时上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知,若若D为为 X 型区域型区域 则则若若D为为Y 型区域型区域则则第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第5 5页页说明说明:(1)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序,必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域,则则 第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第6 6页页例例.计算计算其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第7 7页页例例.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及及直线直线则则 第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第8 8页页解解2:先对先对 y 后对后对 x 积分积分,例例.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.及及直线直线第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第9 9页页 例例.计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域:先对先对 x 积分不行积分不行,第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1010页页解解说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺还需交换积分顺序序.第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1111页页例例.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1212页页解解例例 计算积分计算积分第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1313页页二重积分在二重积分在直角坐标下直角坐标下的计算公式的计算公式X型型Y型型（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1414页页第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1515页页对应有对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下,用同心圆用同心圆 r=常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积在在内取点内取点及射线及射线 =常数常数,分划区域分划区域D 为为第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1616页页即即第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1717页页设设则则特别特别,对对第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1818页页若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第1919页页例例.计算计算其中其中解解:在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2020页页注注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用上例的结果利用上例的结果,得得故故式成立式成立.第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2121页页 例例.求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.解解:设设由对称性可知由对称性可知第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2222页页解解第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2323页页第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2424页页内容小结内容小结二重积分在二重积分在直角坐标下直角坐标下的计算公式的计算公式X型型Y型型（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2525页页则则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2626页页计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2727页页解：解：原式原式1.给定给定改变积分的次序改变积分的次序.第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2828页页2.设设且且求求提示提示:交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互互换换第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第2929页页3.计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及及直线直线解：解：平面闭区域平面闭区域.第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第3030页页4.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图积分域如图第第9 9章章 9.29.2 二重积分的计算二重积分的计算第第3131页页例例.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为