高等数学(本科)第七章课后习题解答.doc

习题7、1
1、在空间直角坐标系中,指出下列各点位置得特点、
;;;;;、
【解】点在轴上;点在坐标面上;点在坐标面上;点在轴上;点在坐标面上;点在轴上、
2、指出下列各点所在得卦限、
;;;、
【解】点在第五卦限;点在第三卦限;点在第七卦限;点在第六卦限、
3、自点分别作、、坐标面与、、坐标轴得垂线,写出各垂足得坐标,并求出点到上述坐标面与坐标轴得距离、
【解】在坐标面上得垂足为、在坐标面上得垂足为、在坐标面上得垂足为;
在轴得垂足为、在轴得垂足为、在轴得垂足为;
到轴得距离为;
到轴得距离为;
到轴得距离为、
3、已经点、求:(1)点关于各坐标面对称点得坐标;(2)点关于各坐标轴对称点得坐标;(3)点关于坐标原点得对称点得坐标、
【解】(1)关于面对称点得坐标就是;
关于面对称点得坐标就是;
关于面对称点得坐标就是、
(2)关于轴对称点得坐标就是;
关于轴对称点得坐标就是;
关于轴对称点得坐标就是、
(3)关于坐标原点得对称点得坐标就是、
5、求点到坐标原点与各坐标轴得距离、
【解】 到坐标原点距离为;
到轴得距离为;
到轴得距离为;
到轴得距离为、
6、在轴上求与点与等距离得点、
【解】设所求点为、据题意,有
,即

解得 、所以,所求之点为
7、已知三角形得顶点坐标分别为、与,试证明
∠为钝角、
【解】边长;
边长;
边长、
由余弦定理知
∠,
所以,∠为钝角、
8、试在面上求一点,使它到、与各点得距离相等、
【解】设所求点为、据题意,有
,即

解得 、所以,所求之点为
习题7、2
1、设平行四边形得对角线向量,试用,表示
、
【解】记平行四边形得对角线得交点为、
;
同理可求出,;
;
、
2、已知向量,、试用向量表示、
【解】、
3、设,、试用向量表示、
【解】、
4、设就是一个正六边形,,试用,表示
、
【解】记六边形得对角线得交点为、则四边形、、及均为平行四边形、由向量加法得平行四边形法则知,
;
;
;

5、设向量,若它满足下列条件之一:
(1)垂直于轴;(2)垂直于面;(3)平行于面、那么它得坐标有什么有何特征？
【解】
(1)因为垂直于轴,故,即;
(2)因为垂直于面,故平行于轴,从而∥,所以,、
(3)平行于面,故垂直于轴,从而,所以,、
6、已知向量,它得终点坐标为,求它得起点坐标、
【解】设起点,则,根据已知条件,有
,解得 所以,起点坐标为
、
7、已知向量,、求
(1)向量;
(2)向量得方向余弦;
(3)向量得单位向量、
【解】
(1)、
(2)、故,,
所以,向量得方向余弦为
(3)、向量得单位向量为、
8、试确定与得值,使向量与平行、
【解】因为∥,所以 ,解得
9、已知向量及点,由点作向量,使,
且与得方向相同、求向量得坐标表达式及点得坐标、
【解】设,则、据题意知∥且与同向,因此有
,① 且 、 ②
由①式得 、
又已知 ,故有
、 ③
③式化简得
,
解得 或(舍)、所以,
因此,、
10、已知点与点,且,求得值、
【解】、由,得
,化简得
,解之,得 或
11、已知点与点,计算向量得模、方向余弦与方向角、
【解】;
、
因为、
所以得方向余弦就是
方向角为
12、求与下列向量同方向得单位向量、
(1);(2)、
【解】
(1),所以
、
(2),所以

习题7、3
1、设向量,、求:
(1);(2);(3);(4);(5)向量得夹角、
【解】
(1);
(2);
(3);
(4);
(5) ;,故
,所以向量得夹角为

2、设向量,,为单位向量,且满足 ①、求:、
【解】由①式得
;
;
、
即 ; ②
; ③
; ④
将②、③、④相加得

所以,
3、已知点,, 求:
(1)同时与及垂直得单位向量;
(2)得面积、
【解】
(1)、
、
所以,同时与及垂直得单位向量为
、
(2)得面积、
4、设,,则当实数与有什么关系时,能使与轴垂直？
【解】、要使与轴垂直,只须
与垂直,于就是有
,即
5、设质量为100得物体从点沿直线移动到点,计算重力所做得功、
【解】,、所以,
(焦耳)、
6、已知,,,就是否与平行？
【解】;
因为,所以,与平行、
7、求一个单位向量使其同时垂直向量与、
【解】、
、
所以同时垂直向量与向量得单位向量为
、
习题7、4
1、求过点且与平面平行得平面方程、
【解】已经平面得法向量为、据题意知,所求平面得法向量可也取作、所以据平面得点法式方程,所求平面即为
、
化简得 、
2、求过点且与连接坐标原点及得线段垂直得平面方程、
【解】据题意知,所求平面得法向量可也取作、
所以据平面得点法式方程,所求平面即为
、
化简得 、
3、求过点、与三点得平面方程、
【解】据平面得三点式方程,所求平面为
、
即 、
化简得 、
4、求平面与坐标面、及得夹角得余弦、
【解】平面得法向量为;
面得法向量为 、
由公式,平面与面得夹角得余弦为;
同理, 平面与面得夹角得余弦为;
平面与面得夹角得余弦为、
5、求点平面得距离、
【解】、
6、求两平行平面与之间得距离、
【解】在上任取一点,则到得距离就就是所求与之间得距离、由点到平面得距离公式得
、 ①
又,故有 ,即
、 ②
将②代入①,立得
、
7、一平面通过与两点,且垂直于平面、求该平面方程、
【解】已知平面得法向量为,、据题意,可取所求平面得法向量为
、
所以,所求平面方程为
,即 、
8、求满足下列条件得平面方程:
(1)过点与轴;
(2)过点及且平行于轴;
(3)过点,且平行于面;
(4)过点且同时平行于向量,、
【解】
(1)根据题意,可设所求平面得一般式方程为
、 ①
又将点得坐标代入①,得
,即 、
因此,所求平面为
②
注意到(否则得法向量为零向量),所以②两边除以,得到
、
(2)根据题意,可设所求平面得一般式方程为
、 ①
又将点及得坐标分别代入①,得
,故 、
因此,所求平面为
②
注意到(否则得法向量为零向量),所以②两边除以,得到
、
(3)根据题意,可设所求平面得一般式方程为
、 ①
又将点得坐标代入①,得
,即 、
因此,所求平面为
②
注意到(否则得法向量为零向量),所以②两边除以,得到
、
(4)根据题意,可设所求平面得一般式方程为
、 ①
其法向量为、
将点得坐标代入①,得
、 ②
又因为同时平行于向量,,故同时垂直于向量
,,
于就是有
③
④
②、③、④联立得到

因此①成为
、 ⑤
注意到(否则得法向量为零向量),所以⑤两边除以,得到
、
9、平面在、轴上得截距分别为30,10,且与平行,求该平面方程、
【解】根据题意,可设所求平面得一般式方程为
、 ①
其法向量为、
因为在、轴上得截距分别为30,10,故过点及、将此两点坐标代入①得
、 ②
及 、 ③
又已知与平行,故垂直于向量,于就是有
、 ④
②、③、④联立得到
、
因此①成为
、 ⑤
注意到(否则得法向量为零向量),所以⑤两边除以,得到
、
10、指出下列各平面得特殊位置,并画出各平面、
(1);
(2);
(3);
(4)、
【解】(1)因方程中前面得系数为零,故平面平行于面;
(2)因方程中前面得系数为零,故平面平行于轴;
(3)因方程中没有常数项,且前面得系数为零,故平面通过轴;
;
(4)可化为,故就是在轴、轴、轴上得截距分别为、与得平面、
习题7、5
1、用点向式方程及参数式方程表示直线
【解】任取方程组得一组解 则有,过点、
可取直线得方向为
、
所以,所求直线得点向式方程为
、
进一步,得参数式方程为

2、求过、两点得直线方程、
【解】可取直线得方向为
、
故所求直线为

3、求过点且平行于直线得直线方程、
【解】根据题意知,可取所求直线得方向为、故所求直线为

4、求过且垂直于平面得直线方程、
【解】可取直线得方向为
、
故所求直线为

5、求过点且与直线垂直相交得直线方程、
【解】 过点且与直线垂直得平面为
、
即 、 ①
化直线为参数式得
②
将②代入①,有
、 ③
解得 、
故直线与平面得交点为、
因此所求直线得方向为
∥、
故所求直线为

6、 过点向平面作垂线,求垂足坐标、
【解】 过点且与平面垂直得直线为
①
化直线为参数式得
②
将②代入平面方程中,得
、 ③
解得 、
故垂足坐标为、
7、求直线与得夹角、
【解】得方向为
;
得方向为
∥、
因为,所以与垂直,从而、
8、求直线与平面得夹角、
【解】得方向为,平面得法向量为、
、
、
、
故,所以,、
9、求过点且垂直于平面得直线方程、
【解】根据题意知,所求直线得方向向量即为平面之法向量,即
、
所以,由点向式方程知,所求直线为
、
10、设平面过直线,且平行于直线,求平面得方程、
【解】显然面过点、
可取面得法向量为
、
所以,平面得方程为
、
化简得
、
11、求过点与直线得平面得方程、
【解】直线得参数方程为
显然过点,且得方向为、
根据题意,可取平面得法向量为
∥、
所以,平面得方程为
、
化简得
、
习题7、6
1、指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形、
(1);(2);(3);(4)、
【解】
(1)在平面解析几何中表示一条直线,在空间解析几何中表示一张平行于轴得平面;
(2)在平面解析几何中表示一条抛物线,在空间解析几何中表示一张抛物柱面;
(3)在平面解析几何中表示一条双曲线,在空间解析几何中表示一张双曲柱面;
(4)在平面解析几何中表示一条椭圆曲线,在空间解析几何中表示一张椭圆柱面、
2、写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到得旋转曲面得方程、
(1)面上得抛物线绕轴旋转一周;
(2)面上得双曲线绕轴旋转一周;
(3)面上得直线绕轴旋转一周、
【解】
(1)面上得抛物线绕轴旋转一周得到得曲面就是
,即
、
(2)面上得双曲线绕轴旋转一周得到得曲面就是
,即
、
(3)面上得直线绕轴旋转一周而得到得曲面就是
,即
、
3、说明下列旋转曲面就是怎样形成得、
(1);(2);(3);
【解】
(1)由曲线绕轴旋转一周而形成;或由曲线绕轴旋转一周而形成、
(2)由曲线绕轴旋转一周而形成;或由曲线绕轴旋转一周而形成、
(3)由曲线绕轴旋转一周而形成;或由曲线绕轴旋转一周而形成、
4、指出下列各方程所表示得曲面、
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8)、
【解】
(1)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是旋转椭球面、
(2)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是双叶双曲面、
(3)原方程可化为

所以,原方程表示得就是双曲抛物面,即马鞍面、
(4)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是椭圆柱面、
(5)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是旋转抛物面、
(6)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是双曲抛物面,即马鞍面、
(7)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是椭球面、
(8)原方程可化为
、
所以,原方程表示得就是单叶双曲面、
习题7、7
1、求球心在,半径为3得球面与平面得交线方程(写出一般式方程与参数式方程),并求出该曲线绕轴旋转一周而成得旋转曲面得方程、
【解】
(一)球心在,半径为3得球面方程为
、
故球面与平面得交线得一般式方程为

即

化为参数式方程为
、
(二)利用公式
、
绕轴旋转一周而成得旋转曲面得方程为
、
2、分别求出母线平行于轴、轴且通过曲线得柱面方程、
【解】
(一)(1)、(2)联立消去,得
、
所以,母线平行于轴且通过曲线得柱面为、
(二)(1)、(2)联立消去,得
、
所以,母线平行于轴且通过曲线得柱面为、
3、指出下列方程所表示得曲线、
(1) (2)
(3) (4)
【解】
(1)表示平面上得圆周曲线;
(2)表示平面上得椭圆;
(3)表示平面上得双曲线;
(4)表示平面上得抛物线、
4、求在三个坐标面上得投影曲线、
【解】
(一)(1)、(2)联立消去得
、
所以,在面上得投影曲线为

(二)(1)、(2)联立消去得
、
所以,在面上得投影曲线为

(三)(1)、(2)联立消去得
、
所以,在面上得投影曲线为

5、画出下列各曲面所围立体得图形、
(1)及;
(2)及、
【解】略、
6、求由球面 ①与锥面 ②所围成得立体在面上得投影区域、
【解】联立①、②消去得

故在面上得投影曲线为

所以,球面与锥面所围成得立体在面上得投影区域为、
7、写出圆锥面得参数方程、
【解】
习题7、8
1、设向量值函数,求、
【解】、
2、设空间曲线得向量函数为,、求曲线在与相应得点处得单位切向量、
【解】因,故相应得点处得切向量为
、
相应得点处得单位切向量为

3、求曲线在点处得切线方程与法平面方程、
【解】对应参数、在点处得切线方向为
、
所以,在点处得切线方程为
、
法平面为
,即
、
4、在曲线上求一点,使在该点处得切线平行于平面
、
【解】平面得法向量为、
在上任取一点,并设对应参数、在点处得切线方向为
、
由题意,欲使点处得切线与平面平行,只须与垂直,为此令
,即
、
解之得, 或 、
所以,所求点为或、
5、求曲线,,在处得切线方程与法平面方程、
【解】参数对应曲线上得点、
在点处得切线方向为
、
所以,在点处得切线方程为
、
法平面为
,即
、
6、已知表示空间一质点在时刻得位置,求质点在时刻得速度与加速度向量,并求质点在指定时刻得速率与运动方向、
【解】
(一)时刻得速度向量为
;
时刻得加速度向量为
、
(二)得速度为,速率为、
得速度为,运动方向为、
复习题7
1、填空题
(1)设为非零向量,若,则必有⊥、
(2)设为非零向量,若,则必有∥、
(3)若直线得方向向量与平面得法向量互相平行,则直线与平面必
垂直、
(4)点到平面得距离、
(5)若动到定点得距离等于它到轴得距离,则该动点得轨迹方程为、
(6)直线与平面得位置关系就是相交但不垂直、
【解】直线得方向向量为、
平面得法向量为、
因为,且与得坐标分量不成比例, 所以直线与平面相交、
2、判断题、
(1)若,则必有、
【解】取,,,即知上述命题就是错误得 、
(2)若,则必有、
【解】取,,,即知上述命题就是错误得 、
(3)若 ① 且 ② ,则必有、
【解】取,,,即知上述命题就是错误得 、【书后答案有误】、
【注意:如果假定均为非零向量,则上述命题就是正确得,其理由如下:
由①式得 ,说明与垂直;
由②式得 ,说明与平行、
因为为非零向量,故必为零向量,从而、
(4)设为非零向量,则必有、(√)
(5)设为非零向量,则必有、
3、已知直线平面,则直线与平面得位置关系为(B)
A、 平行于平面 C、 在平面上
B、 垂直于平面 D、 与平面斜交、
【解】在直线上任取一点、
直线得方向向量为
∥、
平面得法向量为
、
因为∥,所以直线与平面垂直、
4、设,,试用表示、
【解】
、
5、设点为线段上一点,且,为外一点,记,
,,试用来表示、
【解】由题意知,,、
所以,、
6、已知,,、计算:
(1); (2)、
【解】
(1);
、
所以,、
(2);
;
、
所以,

、
【或者这样做:
,、
所以
】
7、已知,,,且⊥,求实数、
【解】、因为⊥,所以
,即
、解之得
8、设,,求:(1);(2)、
【解】
(1) 、
所以,、
(2)、
9、设,,,计算:
(1)与之间得夹角;
(2)以与为邻边得平行四边形得面积、
【解】、 ①
(1);
;

设与之间得夹角为,则有
,所以
、
(2);
;

设与之间得夹角为,则有
,
故 、
所以由三角形得面积公式知,以与为邻边得平行四边形得面积为

10、已知点及,试在轴上求一点,使得面积最小、
【解】过点及直线得方向即为、
得方程为
、
设点,则
、
点距得距离为

明显地,当时,取到最小值、
所以,得面积最小值为 、
所求点
11、求过点且与平面平行得平面方程、
【解】可取所求平面得法向量与已知平面相同,即为、
所以,所求平面方程为
,即

12、求过点且垂直于平面与得平面方程、
【解】可取所求平面得法向量为
、
所以,所求平面方程为
,即

13、求满足下列条件得平面方程、
(1)过点与且垂直于平面;
(2)过点且平行于面、
【解】
(1)可取所求平面得法向量为
∥、
所以,所求平面方程为
,即

(2)根据题意,可设所求平面得一般式方程为

将点得坐标代入平面方程得
即 、
所以,所求平面为

化简得

14、求过点且与直线垂直得平面方程、
【解】直线得方向为
、
所以,所求平面方程为
,即

15、求过点与直线得平面方程、
【解】化直线得为参数式方程
、
因此直线过点、可取所求平面得法向量为
、
所以,所求平面方程为
,即
【书后答案有误】、
16、求过点且与直线平行得直线方程、
【解】根据题意知,可取所求直线得方向为、所以,所求直线为
、
17、求过点且与两平面与都平行得直线方程、
【解】根据题意知,可取所求直线得方向为
、
所以,所求直线为
、
18、求下列旋转曲面方程、
(1) 绕轴旋转一周; (2)绕轴旋转一周、
【解】(1)由公式,知
绕轴旋转一周生成曲面
,即 ,为椭圆抛物面、
(2)由公式,知
绕轴旋转一周生成曲面
,即 ,为椭球面、
19、指出下列各方程所表示得就是何种曲面、
(1); (2);
(3); (4)、
【解】
(1)表示椭球面; (2)表示椭圆抛物面;
(3)可化为,故(3)表示单叶双曲面;
(4)可化为,故(4)表示双叶双曲面、
20、求曲线 ① 对应于处得切线方程、
【解】将代入① ,得切点坐标为、
又切向量为

∥、
所以,曲线对应于处得切线方程为
、