建筑工程力学单元10-静定结构的位移计算.pptx

建筑工程力学建筑工程力学高等教育出版社高等教育出版社单元单元10 10 静定结构的位移计算静定结构的位移计算单元单元10 10 静定结构的位移计算静定结构的位移计算10.1计算结构位移的目的计算结构位移的目的10.2变形体的虚功原理变形体的虚功原理10.3结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 10.4计算静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移10.5图乘法计算静定结构在荷载作用下的图乘法计算静定结构在荷载作用下的10.6计算静定结构在支座移支时的位移计算静定结构在支座移支时的位移10.7线弹性结构的线弹性结构的互等定理互等定理 10.1 10.1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的1、变形和位移的区别：、变形和位移的区别：变形变形是指结构形状或尺寸的改变；是指结构形状或尺寸的改变；位移位移是指结构上各点或截面位置的改变。是指结构上各点或截面位置的改变。结构的位移结构的位移A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A点线位移点线位移点线位移点线位移A A点水平位移点水平位移点水平位移点水平位移A A点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移A A截面转角截面转角截面转角截面转角P 10.1 10.1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的引起位移的主要原因有：引起位移的主要原因有：荷载作用、荷载作用、温度变化、温度变化、支座移动和制造误差。支座移动和制造误差。AP2、引起结构位移的原因、引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动 10.1 10.1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的引起位移的主要原因有：引起位移的主要原因有：荷载作用、荷载作用、温度变化、温度变化、支座移动和制造误差。支座移动和制造误差。3 3、计算结构位移的目的：、计算结构位移的目的：（1 1）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。许值。（2 2）为超静定结构的内力计算打基础。）为超静定结构的内力计算打基础。（3 3）结构在施工过程中的挠度验算。）结构在施工过程中的挠度验算。（4)4)结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。10.1 10.1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:3、计算结构位移的目的计算结构位移的目的(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2)超静定结构计算超静定结构计算（3）施工要求）施工要求（4）动力和稳定计算）动力和稳定计算如屋架在竖向荷如屋架在竖向荷载作用下，下弦载作用下，下弦各结点产生虚线各结点产生虚线所示位移。所示位移。将各下弦杆做得将各下弦杆做得比实际长度短些，比实际长度短些，拼装后下弦向上拼装后下弦向上起拱。起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱4 4、计算方法：、计算方法：本章只讨论本章只讨论线性变形体系线性变形体系的位移计算，计算方法的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是是单位荷载法，其理论基础是虚功原理虚功原理。线性变形体系和叠加原理的使用条件是：线性变形体系和叠加原理的使用条件是：材料材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；处于弹性阶段，应力与应变成正比；小变形。小变形。因因此可以应用此可以应用叠加原理计算结构的位移叠加原理计算结构的位移。2 2、引起位移的主要原因、引起位移的主要原因3 3、计算结构位移的目的、计算结构位移的目的 10.1 10.1 计算结构位移的目的计算结构位移的目的（2 2）实功实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值：力在本身引起的位移上作功，恒为正值（3 3）虚功虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力：力在其它原因引起的位移上所作的功（力在虚位移上作的功），可正可负在虚位移上作的功），可正可负n力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。n虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条 件允许的微小位移。件允许的微小位移。n引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移 等，也可以是假想的位移，故称为等，也可以是假想的位移，故称为“虚虚”。10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功（1 1）功：力对物体作用的累计效果的度量）功：力对物体作用的累计效果的度量）功：力对物体作用的累计效果的度量）功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移实功：实功：实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功：虚功：虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功力状态力状态位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：注意：注意：注意：（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件；力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理在功的计算公式在功的计算公式W=P中，涉及到两方面因素：中，涉及到两方面因素：与力有关的因素：与力有关的因素：n例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。把这些与力有关的因素称为把这些与力有关的因素称为广义力广义力；与广义力相应的位移因素：与广义力相应的位移因素：n例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点的总位移在力的方向上的分量；的总位移在力的方向上的分量；n广义力与相应广义位移的关系是：广义力与相应广义位移的关系是：它们的乘积是它们的乘积是虚功虚功。二、广义力、广义位移二、广义力、广义位移 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理二、广义力、广义位移二、广义力、广义位移一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 WW=P P P-P-广义力广义力广义力广义力;-广义位移广义位移广义位移广义位移例例例例:1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力反向的集中力反向的集中力（1 1）内力虚功：）内力虚功：当给体系一虚位移时，除了外当给体系一虚位移时，除了外力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上所作的虚功称为所作的虚功称为内力虚功内力虚功。（2 2）变变形形体体的的虚虚功功原原理理可可描描述述为为：变变形形体体处处于于平平衡衡的的必必要要和和充充分分条条件件是是，对对于于任任何何虚虚位位移移，外外力力所所作作虚虚功功总总和和，等等于于各各微微段段上上的的内内力力在在其其变形上所作的虚功总和，称为变形上所作的虚功总和，称为虚功方程虚功方程。即：即：外力虚功内力虚功外力虚功内力虚功三、变形体虚功原理三、变形体虚功原理 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理外力虚功外力虚功的计算的计算:微段外力微段外力:微段变形可看成由如下几部分组成微段变形可看成由如下几部分组成:（3）变形体虚功方程的展开式）变形体虚功方程的展开式微段剪切微段剪切微段拉伸微段拉伸微段弯曲微段弯曲 虚虚功功有有两两种种常常见见表表达达形形式式：由由于于产产生生虚虚功功的的力力和和位位移移无无关关，因因此此，即即可可以以把把位位移移看看作作是是虚虚设设的，也可以把力看作是虚设的。的，也可以把力看作是虚设的。（1 1）位位移移是是虚虚设设的的，虚虚功功可可以以描描述述为为：实实际际存存在在的的力力虚虚设设的的位位移移，由由于于位位移移是是虚虚设设的的，这这种种形形式式下下的的虚虚功功原原理理又又叫叫做做虚虚位位移移原原理理，可可以以用用于于求未知力求未知力。（2 2）力力是是虚虚设设的的，虚虚功功可可以以描描述述为为：实实际际存存在在的的位位移移虚虚设设的的力力，由由于于力力是是虚虚设设的的，这这种种形形式式下下的的虚虚功功原原理理又又叫叫做做虚虚力力原原理理，可可以以用用于于求求未未知位移知位移。四、虚功原理的应用四、虚功原理的应用 10.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 10.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式外力虚功外力虚功:内力虚功内力虚功:由虚功方程：由虚功方程：10.3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式结构位移计算结构位移计算的一般公式的一般公式（1）计算两种状态的外力虚功和内力虚功：）计算两种状态的外力虚功和内力虚功：（2）结构位移计算的一般公式：）结构位移计算的一般公式：外力虚功内力虚功外力虚功内力虚功例例:1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移上做功广义力在所求广义位移上做功.（3）单位力状态的确定）单位力状态的确定2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。一一.单位荷载法单位荷载法求求k点竖向位移点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：适用于线弹性适用于线弹性直杆体系直杆体系,10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移1.梁与刚架梁与刚架二二.位移计算公式位移计算公式2.桁架桁架 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移3.在组合结构中，对梁式杆只计弯矩影响，对链在组合结构中，对梁式杆只计弯矩影响，对链杆只计轴力影响，故简化公式为杆只计轴力影响，故简化公式为 10.4计算静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移【例例10-l】如图如图a为等截面简支梁，试计算在全跨均布荷载作用下，跨度为等截面简支梁，试计算在全跨均布荷载作用下，跨度中点的竖向位移与中点的竖向位移与A端的角位移。端的角位移。FK=1例10-1图m=1 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移【例【例10-l】【解解】计算梁的位移一般不计剪力影响，故采用公式(2)计算A端的角位移()(1)计算跨度中点竖向位移【例例10-2】计算图10-10a所示桁架C点的水平位移。设材料的弹性模量E=200GPa，各杆截面面积已列入表10-1内。(b)图 10-10例10-2图FK=1(a)【解解】（1）为求桁架C点的水平位移，在C点加一水平单位力FK=1，设虚拟状态如图10-10b所示。计算出FK=1引起的各杆轴力 轴力 ；（2）求出实际状态下的各杆轴力FP；为了方便，将各杆长及两个状态下各杆轴力的计算结果都列于表10-1中。（3）计算C点的水平位移由桁架的位移计算公式，得【例例10-2】计算图10-10a所示桁架C点的水平位移。设材料的弹性模量E=200GPa，各杆截面面积已列入表10-1内。杆件截面积A()杆长(m)（kN）（kN/m）AB310-34000AC310-330-900AD310-350+1500BD310-33000CD3l0-340-1200CE3l0-33-0.75-270202.5CF410-35+1.25+300468.75DF410-330+900=671.25桁架位移计算 表 10-1【例例10-2】计算图10-10a所示桁架C点的水平位移。设材料的弹性模量E=200GPa，各杆截面面积已列入表10-1内。在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便.下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量；（2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、中至少有一个为直线或分段为直线。中至少有一个为直线或分段为直线。10.5 10.5 图乘法计算静定结构在荷载作用下的位移图乘法计算静定结构在荷载作用下的位移一、图乘法公式推导(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:二、几种常见图形的面积和形心位置的确定二、几种常见图形的面积和形心位置的确定二次抛物线二次抛物线三、图乘应注意的几个问题三、图乘应注意的几个问题（1）当）当MP与与 在杆轴同侧时，取正号；异侧时，取负号。在杆轴同侧时，取正号；异侧时，取负号。（2 2）取）取 坐标的图必须是直线变化，或分段为直线变化。坐标的图必须是直线变化，或分段为直线变化。三、图乘应注意的几个问题三、图乘应注意的几个问题例例10-310-3（）解解：图图（）图图BAq例例3:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:例例4.试求图示梁试求图示梁B端转角、跨中竖向位移。端转角、跨中竖向位移。解解:MPMi为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?Pl/2l/2C 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A截面竖向位移及转角位移。截面竖向位移及转角位移。A练习练习B例例5.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.MPMi解解:图形分解图形分解求求MPMiMPMi例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP图形分解图形分解求求Mi 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.图形分解图形分解求求MPMi 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.MPMi例：例：求求PPaaaPaPaMPP=1a/2a/2例：求图示梁中点例：求图示梁中点C的挠度。的挠度。解：解：3a/4C作荷载弯矩图和作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图单位荷载弯矩图图乘法小结图乘法小结1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.例例.已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。应用举例应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq 例例.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。应用举例应用举例l/2ql/2MP例：求例：求C C点水点水平位移。平位移。EI=常数常数例：求例：求A端转角位移端转角位移和和C点竖向位移点竖向位移 。EI=常数常数（）求求B点水平位移。点水平位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同MPMi解解:例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角l/2ql/2练习练习求简支梁跨中求简支梁跨中C截面竖位移。截面竖位移。C求悬臂梁求悬臂梁B B截面竖位移。截面竖位移。l/2ql/2练习练习求简支梁跨中求简支梁跨中C 截面竖位移。截面竖位移。C求悬臂梁求悬臂梁B 截面竖位移。截面竖位移。ql2/2图图图图图图1l3l/4图图Pl/4l/4CPl/2l/2CMPPlCP=1l/25Pl/6例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。Pl/2解解：作荷载弯矩图和作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图单位荷载弯矩图 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MiK1K变形体虚功方程为变形体虚功方程为:外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功=0其中其中:计算公式为计算公式为:10.6 10.6 计算静定结构在支座移支时的位移计算静定结构在支座移支时的位移CBAP=1解：解：虚设力状态，求反力如右图所示。虚设力状态，求反力如右图所示。CBAll例：求图示结构例：求图示结构C点水平位移点水平位移解：解：虚设力状态，求反力如右图所示。虚设力状态，求反力如右图所示。()已知已知 l=12 m,h=8 m,求求例：例：abl/2l/2h1 1解：设虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力解：设虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力如右图所示。如右图所示。CABBCA例：求图示结构由于支座移动产生的相对转角位移例：求图示结构由于支座移动产生的相对转角位移 。10.7 10.7 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理1.功的互等定理功的互等定理:2第第 二二 状态状态第一第一 状态状态由虚功原理由虚功原理在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第一状位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第一状位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第一状位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。态的位移上所做的虚功。态的位移上所做的虚功。态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。这就是功的互等定理。这就是功的互等定理。这就是功的互等定理。2.位移互等定理位移互等定理:2第二状态第二状态第一状态第一状态由功的互等定理有：由功的互等定理有：第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第一状态的单位力作用点处沿力方向的位移一状态的单位力作用点处沿力方向的位移一状态的单位力作用点处沿力方向的位移一状态的单位力作用点处沿力方向的位移。这就是位这就是位这就是位这就是位移互等定理。移互等定理。移互等定理。移互等定理。2第第 II 状态状态第第 I 状态状态单位广义力是量纲为一的量单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同。如图示长如图示长 l，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁第第 II 状态状态ACB第第 I 状态状态ACB跨中跨中数值、量纲都相等数值、量纲都相等3.反力互等定理反力互等定理:由功的互等定理有：由功的互等定理有：支座支座支座支座 1 1 1 1 发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座发生单位广义位移所引起的支座2 2 2 2中的反中的反中的反中的反力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座力恒等于支座 2 2 2 2 发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支发生单位广义位移时所引起的支座座座座1 1 1 1中的反力。中的反力。中的反力。中的反力。这就是反力互等定理。这就是反力互等定理。这就是反力互等定理。这就是反力互等定理。10-1计算如图10-24所示各桁架结点C的竖向位移。设各杆的EA相同。图10-24 题10-1图习题习题 P 199 10-1习题习题 P200 10-210-2用图乘法计算如图10-25所示各梁指定截面的位移。设各杆的EA相同。图10-25 题10-2图10-3用图乘法计算如图10-26所示各刚架指定截面的位移。图10-26 题10-3图（b）（a）习题习题 P200 10-3图10-27 题10-4图（b）（a）图10-28 题10-5图10-4用图乘法计算如图10-27所示各梁指定截面的位移。各杆的EI为常数。10-5如图10-28所示简支刚架，支座B下沉b。试求C点的水平位移。本单元结束本单元结束