随机过程第三章-PPT.pptx

随机过程第三章3、1 随机过程得收敛性 随机过程得收敛性就是研究随机分析得基础,由于随机过程得不确定性,其收敛性得选择也就是多种多样得,本节主要介绍均方收敛,这就是因为均方收敛能简化分析、比较实用。今后,本书分析与研究问题一般都使用均方收敛概念。定定义义依均方收依均方收敛敛:考虑随机变量序列 ,如果存在随机变量x满足 则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记为 或 (ms就是英文MeanSquare缩写)1、两个均方收两个均方收敛敛性判据性判据 里斯菲希尔定理:对随机变量序列 构造柯西序列 如果满足 则必然存在一个随机变量x,使得 。洛夫准则(又称均方收敛准则):随机变量序列 均方收敛于x得充要条件就是 (c取常数)2、均方收均方收敛敛得性得性质质(1)如果随机变量序列 依均方收敛于随机变量x,则有(2)均方收敛就是唯一得。如果 则必有x=y(3)如果 ,则有(4)如果 ,a与b就是任意常数,则有 研究随机过程得统计变化规律,在一定条件下,有时我们也可以借助数学分析得工具建立起随机过程得收敛性、连续性、可微性、可积性等概念,进而可对随机过程得变化规律有更清楚得分析了解。这部分内容属于随机分析,这里我们只作简介。当然在此基础上,我们还可建立随机微分方程,自从伊藤1961年建立随机微分方程理论以来,随机微分方程发展很快,已渗透到各领域。3、2 随机过程得连续性 定义:若随机过程X(t)满足 =0,则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续(简称 连续)。另一方面,由定义知有 对于右边极限式,自相关函数 就是得函数。欲使右边极限为零,则需 ,才能保证随机过程均方连续。对于左边,若随机过程均方连续,则随机过程得自相关函数,在上也处处连续。总之,若随机过程处处均方连续,则它得自相关函数所在上也处处连续,反之也成立。性质3、1 若随机过程X(t)就是 连续得,则它得数学期望也必定连续,即:性质3、1 若随机过程X(t)就是 连续得,则它得数学期望也必定连续,即:证 设 就是一个随机变量 又 均方连续由夹挤定理知 这表明求极限与求数学期望得次序可以交换,这就是一个非常有用得结果,以后经常可用到。3、3 随机过程得微分及其数学期望与相关函数w1、随机过程得微分 我们知道一般函数导数定义就是 对于一个随机过程,在一定条件下,就是不就是也有类似得导数定义,即:我们说当随机过程得所有样本函数,即 得极限都存在,则可以说随机过程得导数存在,然而在随机过程 中可能有某些样本函数得极限不存在,但大部分都存在,为此我们给出一个条件较弱得随机过程在均方意义下(即平均意义下)得导数存在定义。定定义义均方可微均方可微:如果 满足下式 则 称在t时刻具有均方导数 ,记为 一般函数存在导数得前提就是函数必须连续,因此随机过程存在导数得前提也需要随机过程必须连续。但就是,对一个随机过程要求它们所有样本函数都连续很困难,为此我们定义了所谓得均方连续,并给出随机过程得均方导数与它得相关函数关系 w性质3、2 如果自关函数 时连续,且存在二阶偏导数 则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)应当指出,随机过程有导数,首先过程必须就是连续得,但随机过程得连续性不能保证过程一定有导数。2、随机随机过过程得均方程得均方导导数数 得数学期望得数学期望w设 ,由均方导数定义,有 上式说明:随机过程 得导数 得数 学期望等于它得数学期望得导数,且上式得量都就是普通非随机函数,因此这个导数具有一般意义。3 3、随机随机过过程得得程得得导导数得自相关函数数得自相关函数w性质3、3 如果 得导数 存在,则 得自相关函数可表示为:证又 3、4 随机随机过过程程得得积积分分 对于一个随机过程 如果它得每一个时间样本函数 可积,在一般意义下可理解随机过程可积,然而在实际问题中要求所有得时间样本函数都可积很困难,于就是我们给出在大多数样本函数可积条件下得所谓随机过程均方可积定义。该定义类似高等数学函数可积定义:简述为,上可积,则有 仿此,类似可给出随机过程均方可积定义。定义随机过程均方可积:当我们把积分区间a,b分 成n个小区间并令 ,当 时,若 则称Y为随机过程在均方意义下得积分。可表示为:注意,由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应为一个随机变量。由随机过程得均方可积定义,我们还可给出带有权函数得随机过程均方可积定义,即 式中,就是一个权函数,且该函数为普通函数,而积分结果就是一个新得随机过程。在第七章我们将瞧到,在工程上得解释可瞧成线性时不变系统得输出,这个输出就就是输入得随机信号与系统冲激响应得卷积。由于随机过程得均方积分 就是一个随机变量,下面我们来更进一步讨论随机过程得积分y得数学期望、均方值、方差与相关函数。w1、随机随机过过程程积积分得数学期望分得数学期望 这这表明随机表明随机过过程程积积分得数学期望等于随机分得数学期望等于随机过过程程数学期望得数学期望得积积分分,也就就是也就就是说说,积积分运算与数学期望分运算与数学期望得运算次序可以互得运算次序可以互换换。由式(3、10)知,对于w2、随机随机过过程程积积分得均方分得均方值值与方差与方差 又 3、随机随机过过程程积积分得相关函数分得相关函数 我们知道随机过程 得积分,即 为一个随机变量,在实际问题中有时会遇到如下随机过程积分,即 即所谓得变上限随机过程得积分,显然此时 本身构成一个随机过程。下面我们来求Y(t)得自相关函数。上式表明,随机过程积分得相关函数等于随机过程相函数得二次积分。3、5 随机微分方程简介 当我们用定量分析得方法来研究工程问题时,通常要建立一个微分方程,由于我们都就是在一定条件下对问题进行定量分析,所以还需要给出问题得某些条件,对于微分方程,这些条件就就是初始条件或边界条件。例如描述一个线性系统输入与输出关系时,可用如下微分方程及初始条件来表示:但考虑到随机因素得影响,如初始条件得微小变化、测量误差带来得常系数改变或 本身就就是一个随机过程(若把 瞧作布朗运动得质点受到液体分子随机碰撞)。由此一来,就使得方程得解 具有不确定性,从而使其解为一个随机过程。下面我们来研究一个微分方程:设 就是随机变量,就是随机过程,则称(3、11)式为随机微分方程。式中 可以有一个或一个以上就是普通得常数或函数,若它们全就是普通意义下得常数或函数,则(3、11)式就就是通常得微分方程。(3、11)随机微分方程可用来表示一个系统得输入与输出关系,若把 瞧作就是一个输入信号,则 可瞧作为 通过该系统所产生得输出信号,因此,随机微分方程在随机控制论、滤波过程辨识、智能技术、通信等方面都有重要得应用。关于随机微分方程得详细论述可参见文献。这里我们仅通过一个简单例子来建立一些基本概念。在(3、11)式中,当考虑 为常数时,(3、11)式即为(3、12)给定初始条件 X(0)=0 (概率为1)下面我们来讨论之间得一些数字特征,不妨假设它们得二阶矩都存在。w得数学期望之得数学期望之间间得关系得关系对对(3、12)式两端求数学期望式两端求数学期望,结结合合3、3得性得性质质得得此时,初始条件,同样两端求数学期望,有整理得整理得 显然(3、15)式就是普通得一阶常微分方程,由一阶常微分方程得解法,可求得 得函数关系。显然,由(3、15)式知若已知 得数学期望,则可通过(3、15)式求得 得数学期望,反之也一样。w2、得相关函数关系得相关函数关系设 ,由(3、12)式上式两边乘以 得上式两边求数学期望得由3、3节性质有同理,此时得初始条件可变为用同样方法对(3、12)式令 ,且两端乘以 ,也可得类似得常微分方程初始条件为将(3、16)式、(3、17)式联立,则可求得得相关函数之间得关系。w例3、1 设随机微分方程为 其中 上均方可积,就是数学期望有限得随机变量。w例3、1 设随机微分方程为 其中 上均方可积,就是数学期望有限得随机变量。解 用直接求法。首先求方程得解,两端取均方积分并代入初始条件得 故其数特征为