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关于有限循环群的一个注记蒋琴会1,于云清*2（1.南京邮电大学 理学院,江苏 南京 210023；2.山东潍坊第七中学,山东 潍坊 261000）摘要:最近史江涛给出了一个循环群的判定,并给出了初等简洁的证明.对此结论给出另一个初等简洁的证明,并应用此方法对循环群的另一个判定给出一个初等简洁的证明.关键词:有限群;循环群;最高阶元中图分类号:O152.1文献标识码:A文章编号:1674-5248（2023）05-0026-02引言我们所涉及的群均指有限群.循环子群是有限群中一类非常重要的子群,它是可以由一个元素生成的特殊的交换子群.文献1定理6.8指出:设G是n阶群,如果（n,（n）=1,则G循环,这里 （n）是正整数 n的欧拉函数.文献2,3习题1.4.3有下述结论:设G是有限群,假设|xG|xn=1|n,nN,那么 G 是循环群.在1中,史江涛等证明了下面的定理1:定理1设G为有限群,若G的每个循环子群H都满足:对任意xGH都有o（x）不整除H,则G是循环群.本文我们给出它的另一个较为初等、简洁的证明.应用我们的方法我们还可以证明定理2:定理2设G为有限群,对于任意正整数nG,G只有一个n阶子群,则G循环.由定理2,我们可以证明:定理3设G是有限群,如果对于任意的正整数nG有xGxn=1=n 成立,则G是循环群.1定理1的证明证明任取一G的素因子P,设P为G的一个Sylow P-子群.第一步.P循环.令x为P的一个最高阶元.假设P非循环,则P x.取yP x,由假设o（y）不整除x=o（x）.由于 x 是最高阶元,故 o（y）整除 o（x）,矛盾.因此P=x 是一个循环群.第二步.P正规于G.对于任意的 gG,我们证明 g-1Pg=P.假设存在dG使得d-1PdP.令P=x.收稿日期：2023-05-16基金项目：国家自然科学基金（12071181）；山东省自然基金（ZR2020MA003）作者简介：蒋琴会（1983）,女,江苏泗阳人.副教授,博士,主要从事有限群及表示研究.*通讯联系人,e-mail:.第33卷第5期Vol.33 No.5四川文理学院学报Sichuan University of Arts and Science Journal2023年9月Sep.2023 26则d-1xdGP.由假设o（d-1xd）=o（x）不整除P=x=o（x）,矛盾.由正规子群的定义,P正规于G.第三步.G循环.若G是一个P群,则G循环.下设G不是一个 P 群.设 Pi,i=1,2,.,n 是G的全部素因子,Pi是 G 的一个 Sylow Pi-子群.设 Pi=xi.易知,PiPj=1,ij.由于Pi是G的正规子群,我们有 xi-1xj-1xixjPiPj=1.所以,xixj=xjxi.由i,j的任意性,我们有G=P1.Pn=x1.xn.因此G是一个循环群.2定理2的证明证明任取一G的素因子P,设P为G的一个Sylow P-子群.取P的最高阶元x.任意取yP,则 o（y）o（x）.由假设 y x.由此得 P=x 循环.由于G只有一个Sylow P-子群,有P正规于G.同定理1的证明可得,G循环.3定理3的证明证明 我们分3步证明该定理.3.1每个循环群H,群G只有唯一的H阶子群设H是一个循环子群且H=m.由于xGxm=1=m,所以.这说明G中的m阶子群只有一个:H.因此,H正规于G.3.2G的Sylow子群循环设P是群G阶的任意素因子,P是G的一个Sylowp-子群.取x为P的一个最高阶元.则对于任意的 yP,有 o（y）o（x）.令 o（x）=m,于是我们有xPxm=1xGxm=1 m,因此xPxm=1=m,这说明 x=xPxm=1.于是y x.进而P=x 循环.3.3G循环由 1,2,知 G 的每个 Sylow 子群正规于 G 且循环,所以G循环.参考文献：1史江涛,任惠瑄.关于有限群的循环子群的注记 J.烟台大学学报:自然科学与工程版,2021（3）:78-80.2史江涛,李建勋.关于一道抽象代数题的注记 J.高等数学研究,2022（4）:28-303徐明曜.有限群导引（上册）M.北京:科学出版社,1999:20.责任编辑加晓昕A Note on Finite Cyclic GroupsJIANG Qinhui*1,YU Yunqing2(1.College of Science of Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing Jiangsu 210023;2.Shandong Weifang No.7 middle school,Weifang Shandong 261000,China)Abstract:Recently,Shi Jiangtao give a new criterion for a group to be a cyclic group by using a elementary proof.This paper gives a new elementary proof and some criteria for a group to be a cyclic group.Key words:Finite groups;Cyclic groups;maximal order elements.蒋琴会,于云清：关于有限循环群的一个注记2023年第5期 27