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高中数学函数问题中有效回避分类讨论的若干策略林俊杰（上饶市第一中学，江西 上饶334000）摘要：分类讨论是常见且重要的一种解题策略，它较好地体现了对“能力”的考查，备受命题者的关注，但分类讨论需做到不重不漏，这就对思维的严谨性提出了较高的要求，学生常常会因为考虑不全面而导致解题失误。从优化解题过程、提高解题效率的角度来思考，有些问题可简化或避免分类讨论。文章结合例题，探析在高中数学函数问题中避免分类讨论的若干策略。关键词：高中数学；分类讨论；函数问题分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一，掌握分类讨论的思想方法有利于培养学生全面严谨的数学思维能力，并能够有逻辑地分析、解决问题。然而，这种数学思想方法对学生来说，难度非常大，掌握情况并不理想。具体表现在：没有分类讨论的意识，不知道分类讨论的标准及讨论的内容。大多数分类讨论的问题都与参数有关，其实质是“化整为零，各个击破”，而事实上，并非所有含参数的问题都一定要分类讨论，如果能够优化解题思路，选择更好的解题策略，消除引起讨论的因素，就能够有效避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的，摆脱大量而烦琐的讨论，减少出错机会。下面结合具体实例谈谈有效避免分类讨论的几个策略。一、挖掘隐含条件有效避免讨论有些数学题目中会有一些隐含条件，如果稍加留意，充分挖掘，就能避免复杂的分类讨论，从而简化解答过程。例1已知函数，定义域为 m，n，且，值域为蓘1n，1m蓡，求m，n的值。如果没有注意到隐含条件，很容易想到分三种情况讨论区间 m，n 与直线x=1的位置关系：即n臆1，m1n和m逸1，再在每个情况下讨论函数的单调性，进而由值域的范围列方程求解。而事实上，f（x）=-2x2+4x-1=-2（x-1）2+1臆1，因此值域蓘1n，1m蓡必包含在（-肄，1 中，所以1m臆1，即m逸1。因此本题只有一种情况，即函数f（x）在定义域 m，n 上单调递减，可知当x=m时函数有最大值，当x=n时函数有最小值，再根据值域的范围列方程得f（m）=-2（m-1）2+1=1m且f（n）=-2（n-1）2+1=1n，故m，n是方程-2（x-1）2+1=1x的两个解，整理方程得（x-1）（2x2-2x-1）=0，解方程得x1=1，x2=1+3 姨2，x3=1-3 姨2。又因为1臆mn，所以m=1，n=1+3 姨2。有些问题直接分类求解，费时费力，如果能充分挖掘条件中的隐含信息，从特殊入手，压缩参数范围，往往能减少分类讨论，甚至回避分类讨论。本题原来应从n臆1，m1n和m逸1三个不同区间的情况进行分类讨论，但是在观察题目后先求出函数值域的所在范围，发现其与对称轴x=1的位置只有唯一一种情况，进而就能确定m的唯一取值范围，把情况锁定在只有一种区间内，这样就避免了分类讨论，大大节省了解题的时间，并降低了计算的复杂度。二、进行等价转化有效避免讨论在解答有些问题时，有时可以将题目中的条件进行合理变形或等价转化，结合一定的运算技巧就可避免分类讨论。例2设函数f（x）=lgx，若0af（b），求ab的取值范围。43课堂内外高中教研如果是常规做法，将f（x）取绝对值写成分段函数f（x）=lgx，x逸1，-lgx，0 xf（b）逸0可得f（a）2f（b）2，即（lga）2（lgb）2，这样就把绝对值直接消掉，还避免了分类讨论，再根据移项和因式分解得（lga+lgb）（lga-lgb）0，所以lg（ab）lgab0，因为0ab，则0ab1，所以lgab0，则lg（ab）0，即0ab1。对一些含绝对值号的问题，要常常利用公式、性质进行合理计算，将其等价转化为不需要分类讨论的问题加以解决。本题先通过观察题意得出函数的值域，再借用等价转化及不等式的性质脱去绝对值号，避免了分类讨论，最后运用对数的运算公式，把复杂的分类计算简化成对数值中真数的取值范围求解，过程简洁明了，计算亦化繁为简。三、利用函数性质有效避免讨论函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解决含参数的函数问题时，若能够适当加以运用，则能有效避免分类讨论。例3设定义在R上的偶函数f（x）在区间 0，+肄）上单调递减，若f（1-t）f（t），求实数t的取值范围。常规做法是根据函数的定义域1-t、t沂R内的单调性列不等式求解，但是1-t和t在（-肄，0、0，+肄）的哪个区间内并不能确定，所以就需将其分类讨论，再结合各自区间范围内的单调性解决问题，此种解法情况较多较复杂，容易出错。但事实上，若运用偶函数的性质，则可以避免分类讨论。因为f（x）=f（-x）=f（x），所以由f（1-t）f（t）可得f（1-t）t，两边同时平方可解得t0，a屹1，求关于x的不等式loga（1-x）loga（1+x）的解集。此题中对数函数的底数是参数a，按常规思路解题时应分a1与0a1进行讨论，且还需根据绝对值的概念对脱绝对值进行分类讨论，但是通过观察题目可注意到两对数同底，则用换底公式作商比较，便可以直接消去参数，避免对a的讨论。由题意知-1xlg（1+x）lga，因为分母lga 0，故两边同时去分母得lg（1-x）lg（1+x），再两边同时平方去绝对值后得 lg（1-x）2lg（1+x）2，通过移项因式分解得 lg（1-x）+lg（1+x）lg（1-x）-lg（1+x）0，则lg（1-x2）lg1-x1+x0，因为-1x1，且x屹0，故01-x21，所以lg（1-x2）0，所以lg1-x1+x0，所以01-x1+x1，解得x沂（0，1）。在有些含参数的代数式的大小比较中，其结果往往与参数无关，因此用适当的方法消去参数是避免对参数讨论的最佳思路。本题直接解决时要从底数a的范围和脱去绝对值两方面进行较烦琐的分类讨论，可若依据对数运算的换底公式，通过作商比较即可将作为参数的底数a消去，这就避免了对a是否大于1的分类讨论，且将两边的绝对值均看作整体去作平方，又避开了脱去绝对值号时的讨论，大幅提高了解题效率，使解答过程简便顺畅，提高解题的正确率。五、巧用数形结合有效避免讨论利用数形结合直观形象的特点，适当构造函数，画出相关图形，改变观察和思考问题的角度，能够使问题由抽象变得直观。例5当x沂（1，2）时，不等式（x-1）2logax恒成立，求a的取值范围。此题若只看解析式，由于参数a在对数函数的底数部分，大部分人都会想要将a进行分类讨论求解，但不等号左边是一个二次函数，而在自变量区间内再讨论两个函数值域的范围就过于烦琐。若设f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，先画出f1（x）的图象，要使当x沂（1，2）时，不44参考文献：咱员暂关峰援 见招拆招袁避免分类讨论咱允暂援 理科考试研究袁圆园员愿袁圆缘渊员苑冤院圆员原圆圆援咱圆暂张魁援 例谈回避分类讨论的六大策略咱允暂援 数学教学通讯袁圆园圆园渊员圆冤院愿缘原愿远援咱猿暂胡艺援 化繁为简 辨证高效要要要谈数学解题过程中简化和避免分类讨论的方法咱允暂援 中学教研渊数学冤袁圆园员愿渊0源冤院猿圆原猿缘援咱源暂毛妨妨援 解题中回避分类讨论的若干方法咱允暂援 高中数学教与学袁圆园员缘渊圆员冤院员圆原员猿援渊责任编辑院淳洁冤等式（x-1）21。在同一直角坐标系中画出f1（x）和f2（x）的大致图象，如图1所示可知，要使条件成立，只需f1（2）臆f2（2），即（2-1）2臆loga2，loga2逸1，所以1a臆2，即a的取值范围为（1，2。yf1（x）f2（x）21Ox图1图象是函数的另一种表示形式，涉及函数、不等式和方程等问题时，如果能构造出函数图象，利用几何图形的直观性探究出数形关系，往往能开拓新的解题思路。本题结合图象可以一目了然地了解两个函数值的分布和大小情况，巧妙地将数量关系与空间图形结合起来，由图象直接得到a的大致范围，避免了分类讨论，也能通过图象直接找到符合条件的函数值范围，便于由图列出不等式。正确作出图象，抓住图象的主要特征是减少分类的突破口，借此可避免陷入烦琐的讨论或复杂运算，大幅提高了解题效率。六、利用正难则反的原则有效避免讨论当给出的问题从正面直接解决比较复杂，所讨论的方面比较多时，就可以考虑从它的反面，即对立面进行考虑，最后再取其补集。例6给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2+（a-1）x+a2臆0的解集为；命题乙：函数f（x）=（2a2-a）x为增函数。若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围。命题甲为真时：驻=（a-1）2-4a213或a1圯a1或a13或a13或a-12瑟。有些问题涉及“至少”“不能”等，若从正面求解则需要复杂的分类讨论，此时可从问题的反面入手，往往情形较少，甚至其反面可能只有一种情形而不需要分类。本题若从正面分类情况较多，而其反面却只有一种情况，故可以调整思考角度用补集法从反面入手，去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，再结合集合的性质A胰CUA=U得到正确答案，这样可以避免讨论，将题目化难为易，化繁为简，开拓解题思路。对一个具体问题，是否需要讨论，如何避免分类讨论，没有固定的解题模式，应具体问题具体分析，要根据题目所给的条件及要求去确定。通过对问题的分析，打开等价转化的通道，让参数与主元分离，让问题的形式改变，并且尽量揭示问题的本质与内涵，联想有关公式与结论，结合定义、性质和直观图形，这样才能创造性地解决问题。求简，是数学解题的最高境界，而避免分类讨论，是对解题者综合能力的挑战，只有接受挑战，勇于创新，学生才能获得更好的发展。45