高中数学教学中数学建模思想的应用.pdf

教学经验交流高中数学教学中数学建模思想的应用孙素贞(安徽省濉溪中学 2 3 5 1 0 0)【摘要】在近几年高考数学中,学生建模能力考查越来越受重视,因此,在高中数学教学中,应当重视学生建模能力以及模型应用能力培养,有效提高问题解决能力,实现学生综合能力的提升.本文分析数学建模思想在高中数学解题教学中的应用.【关键词】高中数学;数学建模;应用策略在新课程标准中明确指出,在数学学习中,注重数学建模思想的应用,为学生提供自主学习的空间,加深学生数学学习体验,感受数学知识的作用与价值,加强数学学科与生活的联系.作为高中数学教师,借助典型的数学例题,传授学生模型构建技巧,利用模型解决问题,传授学生解题方法,锻炼学生数学解题能力,实现学生数学综合素养的提升.1 构建函数模型,解决数学问题对于高中数学来说,函数模型是一种比较熟悉的数学模型,在初中数学学习中已经有所接触.在高中数学中,函数模型更加深入,难度增加,教师需要加强函数模型讲解,让学生了解函数模型构建的关键点,在解题时,认真阅读题目,理解题目意思,找出自变量的范围,准确解题题目.同时,教师需要向学生讲解常见的函数模型解题方法,如二次函数、指数函数以及三角函数等模型,让学生了解应用相应的知识解题1,例题如下:例1 某个树林现有的木材储量为7 1 0 0 c m3,为了使木材储量在2 0年后达到2 8 4 0 0 c m3,(1)那么每年木材储量的平均增长率为多少?(2)如果每年的平均增长率为8%,那么几年后可以翻两番?分析 此题在解答时,可以利用函数模型中的指数函数模型.解(1)设增长率是x,根据题意得:2 8 4 0 0=7 1 0 0(1+x)2 0所以(1+x)2 0=4,2 0 l g(1+x)=2 l g 2,即l g(1+x)0.0 3 0 1 0,所以1+x=1.0 7 2,所以x0.0 7 2=7.2%.(2)设y年 可 以 翻 两 番,所 以2 8 4 0 0=7 0 0(1+0.0 8)y,即1.0 8y=4,所以y=2 l g 2l g 1.0 80.6 0 2 00.0 3 3 41 8.0 2,所以在1 8年之后就可以翻两番.2 构建数列模型,解决数学问题高中数学数列学习中,主要有等差数列和等比数列,并且两种数列各有特点,如等差数列中相邻两项的差值是定值,而等比数列中,相邻两项的比值为定值.在数学解题中,根据数列知识构建数列模型,重点求解数列的首项和公差或者公比.然而,还有一些数学问题比较抽象,教师需要引导学生回顾数列知识内容,如数列前n项和、单调性等,对于等比数列则需要分类讨论公比为1和不为1.例题如下:例2 政府部门决定通过“对社会的有效贡献率”来评价企业,用an表示企业在第n年投入的环保费用,bn表示企业第n年的产值.设a1=a万元,之后每年的环保费用比上一年增加增加2a万元,设b1=b万元,企业每年产值的平均增长率是1 0%,用pn=anbn1 0 0a b表示企业第n年的“对社会的有效贡献率”.那么,从第几年开始,企业的“对社会的有效贡献率”不低于2 0%?分析 此题解题时,通过审题,分析题干可以得出,需要构建出等比数列和等差数列模型.环保费用符合等差数列特点,构建相应的等差数列模型解题.解 因为an=a1+2a(n-1)=(2n-1)a(aN+),bn=b1(1+0.1)n-1=1.1n-1b(bN+)所以Pn=(2n-1)a 1.1n-1b1 0 0a b=(2n-1)1.1n-1%先证明Pn=f(n)=(2n-1)1.1n-1%是增函数,372 0 2 3年1 1月上教学经验交流 数理天地 高中版因为Pn0 Pn+1Pn=(2n+1)1.1n%(2n-1)1.1n-1%1所以Pn+1Pn所以Pn=f(n)=(2n-1)1.1n-1%是关于n的增函数.Pn+1-Pn=(2n+1)1.1n%-(2n-1)1.1n-1%.因为P9=1 7 1.18%3 6.3 8%2 0%,P4=7 1.13%9.3 1%2 0%,P6=1 1 1.15%1 7.7 1%2 0%因此,从第七年开始,企业的“对社会有效贡献率”不低于2 0%.3 构建空间模型,解决数学问题为了让学生能灵活利用空间模型解决立体几何问题,教师可以利用多媒体技术,从不同的角度展示立体图形,帮助学生深入理解空间的点、线、面要素,让学生联系生活进行想象,对立体几何图形形成清晰的印象.同时,教师可以结合具体问题解答,传授学生立体几何的常规解题方式以及向量法解题方法,强化学生空间模型构建能力2.例题如下:例3 在正方体A B C D-A1B1C1D1中,E是棱C C1上的一点,C E=2E C1,则异面直线A E与A1B所成角的余弦值是.分析 此题解题时,通过对题目进行分析,构建相应的空间模型,快速有效解题.解 以D作为原点,DA为x轴,D C为y轴,DD1为z轴,构建空间直角坐标系,设A B=3,所以A(3,0,0),E(0,3,2),A1(3,0,3),B(3,3,0),A E=(-3,3,2),A1B=(0,3,-3)设异面直线A E与A1B所成角为,则异面直线A E与A1B所成角的余弦值是:c o s=|A EA1B|A E|A1B|=32 21 8=1 12 2.4 构建不等式模型,解答数学问题对于高中学生来说,不等式是比较熟悉的内容,为了提高学生知识应用能力,教师应当注重基本不等式模型的构建,以及利用基础不等式模型解决问题.在解题中,根据题目中的参数关系,合理配凑参数,是基本不等式应用的基础.同时,还需要考虑不等式的定义域,保证结果的准确性3.例题如下:例4 在对某个房屋房顶和外墙喷涂隔热材料时,隔热材料的使用年限是2 0年,一层隔热材料是每毫米6万元.每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)的关系是H=4 03x+5(0 x1 0).设f(x)为隔热层建造费用与2 0年的能源消耗费用的和.(1)解释H(0)的含义,求解f(x)的表达式;(2)当隔热层多厚时,业主付的费用最低,比没有隔热层节约多少钱?分析 根据建造费用和能源消耗费用,得出f(x)的解析式.利用基本不等式计算出f(x)的最小值,以及对应x的值,和不适用隔热材料的费用进行对比.解(1)H(0)=4 05=8,H(0)的实际意义是不适用隔热材料,每年的能源消耗费用是8万元,f(x)=8 0 03x+5+6x(0 x1 0)(2)f(x)=8 0 03x+5+6x=8 0 03x+5+2(3x+5)-1 02 1 6 0 0-1 0=7 0,当且仅当x=5时取等号所以厚度为5毫米时,总费用最低是7 0万元,如果不适用隔热材料,2 0年的能源消耗费用是1 6 0万元,业主可以节约9 0万元.5 构建三角模型,解决数学问题在高中数学解题中,对于一些复杂的数学问题,教师需要引导学生对题目进行转化,结合三角形关系,构建三角模型,完成解题.在高中数学中,三角模型是几何模型中的重要模型,不仅包含三角模型的使用,还需要利用正余弦定理以及勾股定理等解题.例题如下:例5 A观察哨在上午1 1点接到通知,正西方出现风暴,向正东方移动,预计两个小时达到A观察哨,并且继续向前移动,同时,在观察哨发现一艘轮船,在A北偏西6 0 的B点,经过一段时间之后,轮船 到 达A点 北 偏 东6 0 的C点,轮 船 保 持 9 3 k m/h的速度匀速前行,最后达到A点正东方5千米处的小岛E点,如果轮船在B C段的时间是C E段的四倍,那么轮船是否可以在风暴到达A点之前回到E点?分析 通过题目分析可以得出B、C、E三点共47 数理天地 高中版教学经验交流2 0 2 3年1 1月上线,画出相应的示意图,如图1所示,根据示意图构建三角模型,计算B E的长度.图1解 由题意得出B C=4C E,设C E=x,所以B E=5x,B C=4x,在三角形A B E中,因为E A B=1 5 0,所以利用正弦定理,s i nBA E=s i n E A BB E,所以s i nB=12x.因为在三角形A B C,C A B=1 2 0,所以根据正弦定理,s i nBA C=s i n C A BB C,所以A C=4 33.在三角形A C E中,因为C A E=3 0,A E=5,A C=4 33,所以根据余弦定理,C E2=A E2+A C2-2A EA Cc o s 3 0,所以C E=9 33,B E=5 9 33,所以,航行时间t=53h,即轮船经过t=53h后到达小岛E,因为532,得出轮船在风暴达到A点之前可以回到E点.6 构建概率模型,解决数学问题在日常生活生产中,概率模型被广泛使用,利用概率模型,分析解决生活中的很多问题.因此,在高中数学教学中,注重培养学生概率模型应用能力,加强基础知识讲解,传授学生计算方式,深入理解和掌握事件联系.针对与统计有关的知识,要求学生掌握相关概念的同时,还需要学生掌握相关计算公式,了解各个参数的意思,避免出现运用错误4.例题如下:例6 在某种饮料的促销中,通过瓶盖内印“再来一瓶”和“谢谢惠顾”字样,开展促销活动,“再来一瓶”则可以免费兑换饮料一瓶,视作中奖,其概率是16.如果甲、乙、丙三人各买一瓶饮料,(1)甲、乙中奖,丙未中奖的概率是多少?(2)求解中奖人数X的分布以及期望E(X).解(1)由题意可知,中奖和未中奖属于互斥事件,所以未中奖的概率是1-16=56,设甲中奖,乙、丙没有中奖为事件A因为三人中奖与否是相互独立的,所以由独立事件概率模型,P(A)=165656=2 52 1 6.(2)根据题意,X=(0,1,2,3),所以P(X=0)=C03(16)0(56)3=1 2 52 1 6;P(X=1)=C13(16)1(56)2=7 52 1 6:P(X=2)=C23(16)2(56)1=1 52 1 6;P(X=3)=C33(16)3(56)0=12 1 6.所以X的分布列如下表1所示表1 X的分布列表X0123P1 2 52 1 67 52 1 61 52 1 612 1 6 所以E(X)=01 2 52 1 6+17 52 1 6+21 52 1 6+312 1 6=12.【本文系安徽省淮北市教育科学研究项目课题“数学建模思想在高中数学教学中的应用研究”研究成果】参考文献:1武琪.例谈数学建模思想在解答实际问题中的应用J.语数外学习:语文教育,2 0 2 0,(1 1):4 7-4 7.2刘道贵.利用高中数学建模思想解题探究J.数理化学习:高中版,2 0 1 9(5):3.3施红娟.论高中数学教学中引入数学建模思想的方法J.数理化解题研究,2 0 1 9(2 1):2.4孟祥林.高中数学教学中数学建模的引入途径探微J.中学生数理化(教与学),2 0 1 9,(7):4 2-4 2.572 0 2 3年1 1月上教学经验交流 数理天地 高中版