关于微积分思想在高中数学中的应用-数学.doc

本科毕业论文（设计）题 目 微积分思想在高中数学中的应用 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 xxxxxxxxxxxxx 学 号 09020037 指导教师 xxxxxxxxxxxx 职称 xxxxxxxxxxxxxxxxx 完成日期: 年 月 日 微积分思想在高中数学中的应用摘要 如今，微积分这一部分已经成为了高中数学教材中较为重要的一知识部分。教学大纲中已经将微积分的部分知识正式提出，相应的教材也出版了多次。微积分是理工科大学生的必修课程，而高中开设的微积分，对大学微积分教学产生了很多很重要的影响。同时，利用微积分可以解决许多初等数学中的问题，如在函数；方程；数列；曲线等都有很多应用。微积分有助于初等数学的深入学习。目前高考中的一个热门就是利用微积分来处理初等数学中的值域问题及不等式问题。所以，如何开设高中微积分课程，如何完成从初等数学到高等数学上的一个基本过渡，这是一个很值得研究的问题。本文就在此背景下研究这个问题，力求在教育思想、教育理念上达到一个升华。关键词：微积分；新课标；高中数学；函数；方程；数列；曲线；不等式 1 The application of calculus in high-level mathematics Abstract Now infinitesimal calculus has become a pretty important part in high school textbookIn teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three timesEspecially in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key pointAnd，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lotInfinitesimal calculus could solve basic mathematics problem in a convenient methodLearning infinitesimal calculus is an efficient tool for basic mathematics learningHow to set up infinitesimal calculus lesson in high school，how to solve the transition from junior middle school to senior middle school ? Its a question that valuable to studyAt this background，we do some research for this question，to get a sublimation of teaching thinkingKey words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve1目 录中文摘要. .英文摘要. .引言. .11.问题的提出与研究综述. .11.1研究背景.11.2微积分在高中的教学与研究综.21.2.1中学微积分课程的教学现状. .21.2.2 我国中学微积分的教学研究现状. .21.2.3 中学微积分的学习现状. .32.导数在高中数学的应用. .32.1导数在函数单调性问题上的应用.42.2利用导数求函数的极值问题.42.3导数关于方程解的应用.62.4导数在曲线的切线问题上的应用.72.5导数在数列问题上的应用.82.6导数在不等式问题上的应用.103.积分在高中数学的应用. .103.1定积分在几何中的应用.113.2定积分在物理中的应用.114.结论与展望. .13参考文献. .141引 言 微积分的建立是离不开实数、函数和极限的。在古代的时候就有极限和微积分的概念，从十七世纪后半叶起，经过长期的发展演变，才得以严密化。微积分的发展与实际应用有着密不可分的联系，随着社会的进步发展，微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。微积分不仅在自然科学、社会科学及应用科学各个分支等也起到很大的作用，在数学方面的发展更是提供了极大的推动。计算机的出现，更有助于这些应用的不断发展，在研究这些变化着的量时数学也就进入了“变量数学”时代。一门渐渐完善的学科微积分，越来越受到人们的关注，也就有了越来越多的人不断研究、应用微积分思想。1.问题的提出与研究综述1.1 研究背景微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。它推动了人类科学的进步，使人类经济、社会生活都取得较快的发展。在当今竞争激烈的高考中，微积分成为高考考查的一个重点、难点。微积分所具有的教育价值是需要我们重视的，它使得我们能够更全面的认识数学价值。新中国成立以后，随着课程改革微积分经过多次修改才被正式列入中学教材内容。在2003的课程改革中，微积分内容又进行了修改，并且改名为导数及其应用。在2006年可以看到不少关于学生在学习微积分的认知心理过程的文章。专门研究中学微积分教学方面的论文在2009年之后也出现不少。当前已经有不少专家对微积分的教学现状进行了调查研究,并提出了一些中可供参考的教学策略。通过对以上内容的分析研究，我决定从微积分思想在高中数学的应用这一方面做深入的探讨。12 微积分在高中的教学与研究1.2.1微积分在中学课程的教学现状微积分出现在很多国家的高中课程中。德、英、法都把微积分设为必修课，并且在内容安排上都是比较深奥的。美国和日本虽然把它设为选修课，但高考的范围里面也包含微积分。别的许多国家也把微积分写入了高中教材中。在我国，微积分在高中课程的教学并不是一帆风顺的。我国的高中数学课程水平也是起起落落，微积分在其中也扮演着不同的角色。经过多次改革，很多高等数学知识在高中教材中出现了，微积分成为高中了教学的内容之一。受我国国情和中学数学教学情况的影响，微积分又在教学教材中消失了一段时间。在文化大革命结束后，新的教学大纲即“试行草案”新鲜出炉了，微积分再一次被编入高中教材。经过几年的试验之后，又发现了一个问题，即老师和学生都不能适应新的教学内容。微积分在1983年底又改成了选学内容，尽由各个学校自由选择，只是保留了要求比较低的极限这一内容。 近年来受到高考的影响，微积分被很多高中作为在高中课程必须学习的功课，微积分的教学也被真正被重视起来。1.2.2 微积分在我国中学教学研究现状通过对我国中学教学研究，很多专家认为，微积分的课程在高中时期应包含实数连续统、极限和函数、导数及其意义、导数的运算及其运用、通过微积分认识中学数学、微积分所具含的文化价值。 在对教师如何给高中生讲授微积分这一问题，其中匡继昌老师在他的论文中进行了讨论，匡继昌是湖南师范大学的一名教授。他提出了一些新的思路：第一、在给高中生讲授微积分课程时，要做到在学生的接受、理解的基础上讲授与大学课程相衔接的内容；第二、高中微积分课程应该以基础课程为主，这样可以降低学生学习的难度，教师也能有更多的时间讲授微积分的应用方面的知识；第三、教师在教授微积分概念和微积分思想的时候不能只是单单按照课本念，应该做充分准备性说明，更好的让学生理解接受；第四、微积分应该作为高中的必修课来学习。 张晓波的硕士学位论文在教学方面作了研究，在他的论文中讲述了我国与西方国家的微积分教学的不同之处，研究了新的教学大纲和微积分在高考要求之后，对如何在高中进行微积分的教学作了探讨。他提出的教学策略有：(1)首先要给学生贯入变量思维的数学观，深化对概念的理解记忆；(2)防止学生在学习微积分时只是记住一些公式和结论；(3)让学生理解微积分在高中数学的重要性；（4)加强对数学的文化的渗透.在对微积分教学设计上面可以多采用问题教学法进入到对微积分的学习。我国有好多专业人士在微积分这一知识做了大量的探索研究，但是对微积分思想在高中数学的应用这一方面的研究却不多，该论文主要对其应用进行研究。1.2.3 中学微积分的学习现状 在高中数学的教学中，微积分是在学完必修课本以后，在选修内容中进行学习的。微积分近些年来已经成为高考必考点，老师和学生在平时学习中也对它足够重视。在客观上讲，学生已经能够理解极限的思想、运动变化的思想，这就使得学生在理解导数、积分等重要概念的可能性大大提高了。经过对必修内容的学习学生已经具备了函数知识的基础。用极限的思想来研究函数是微积分的表现形式，而构建一种运动变化模型则是函数。但由于学生对运动变化的认识层面不高，而函数突出表现了函数关系和函数性质，因此对客观事物数学形式的认识是不够全面的。在高中教材中微积分主要突出了对变化率的研究，用导数的大小来表示一些生活事物的变化快慢。微积分内容在高中教材中有一专题，即利用微积分中的导数这个知识点来探究函数的基本性质，学生通过观察函数图像的切线斜率的大小来判断函数的单调性和极值等性质。很多学者经过对全国各地的高中生进行了大量的问卷调查研究，发现绝大部分的学生微积分的掌握还是很好的，对微积分的思想理解的很好，能够很好的利用微积分解决一些比较复杂的难题。2. 导数在高中数学的应用导数是高中教学的一个重点、难点内容。在关于函数单调性问题上的应用、关于函数的极值问题的应用、关于方程解的应用、在曲线的切线问题上的应用、在数列问题上的应用、在不等式问题上的应用等都可以很好的利用导数这个重要工具来解决。近几年来不断加强了导数在高考中的考查，在题目所占的比重和难度上都有很大的提高，我国各个地区的高考题中都有关于导数的试题。导数是微积分的核心概念之一，导数在实际生活中也有着非常广泛的应用。学生要能够正确理解导数的概念，确切把握导数的思想；能够很好的运用导数解决一些数学问题。高中生应该熟记一些基本初等函数的导数，如：（1）（是常数）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 21 导数在函数单调性问题上的应用 在研究一个函数时，我们首先要研究的应该是它的单调性，单调性在中学数学中有着非常广泛的应用。判定一个函数的单调性通常有两种方法：一、可以直接根据函数的定义判断其单调性；二、导数法，在某一区间内对可导函数进行求导，然后判断在导数的大小。导数大于零，函数为增函数，函数小于零则函数为减函数。其中方法一在化简过程中比较为繁琐，容易出错，在解决一些抽象函数的单调性问题时较为常用。而用导数知识进行判断函数的单调性时，则比较简单快捷，尤其是在对于一些具体函数时更加适用。 例1、函数的单调递增区问是 ( )A(，2)；B(0，3)；C(1，4)；D(2，)分析：在求函数单调区间时，首先对函数进行求导，这样就把求函数单调区间的问题转变成解不等式的问题。解： 令，得所以的单调增区间为(2，）故选D。 例2、有一函数为 ，试判断该函数的单调区间。解： 令，即，解得；又令即，解得故该函数的单调增区间为和 单调减区间为（-1,1）小结：对一些比较复杂的函数单调性问题，可以配合数轴进行观察。22利用导数求函数的极值问题 在包含的一个区间内，函数在任何一点的函数值都不大于点的函数值，称点为函数的极大值点，其函数值为函数的极大值。同理也可以得到极小值的概念，极大值与极小值统称为极值。如何利用导数，来求极值的问题，解题时可分为三步：（1）对原函数求导数；（2）求方程的根；（3）解得方程=0的每一个解，判断在左、右两侧的符号，来确定极值点，进而求得函数的极值。A.如果在左侧的符号为正，右侧符号为负，那么为极大值点，为极大值。B.如果在左侧的符号为负，右侧符号为正，那么为极小值点，为极小值。C.如果在左右两侧的符号是相同的，那么不是极值点，该函数也没有极值。 例3、已知函数，(0，e，分别求出该函数的极值与最值。解：因为令，得 ，又因为e-0+e从列表中可以知道，为函数的极小值点，当时，0，所以在区问(0，e上最大值为e，最小值为 例4、 因为是函数的一个极值点，那么实数的值是多少？解：因为，所以因此=16 例5、有一可导函数，其定义域为2,2，求该函数的最值。解： 令=0解得列表 x-2-10120+00+1345413 因此，在求一个闭区间a，b内可导函数的最值问题时，可用下面的方法。先求出函数在开区间内的极值，再判断函数的各极值与区间端点的函数值大小，这样就很容易得到函数的最值。23利用导数解决方程解问题(1)在方程根的个数问题上，可以把方程看作一个函数，再对其进行求导，判定其单调性，然后判断该函数在区间端点与零的大小，进而求出其根的个数。 例6、已知，方程，求该方程在0，2上有几个根?解；设=，则当且时，故在区间上为减函数，因为在处都连续，且， ，所以在0，2上只有一个根。(2)在求出方程实根的近似值的问题时，可以利用切线法(牛顿法)进行解决。把方程看作是一个曲线函数，曲线弧可以用曲线弧一端的切线来代替，进而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法(牛顿法)。 例7、求方程的近似解解：假设，可以知道方程=0，的唯一根在开区间 之中，取，牛顿法的迭代公式为，则2. 4导数在曲线的切线问题上的应用 导数的几何意义主要是指曲线某一点的切线斜率即这一点的导数。对于一个导数的几何意义就是点在曲线处的切线的斜率，且过点的切线方程为。导数用某一点的切线把函数知识和几何知识建立了联系。已知有一曲线C:,求过一点的曲线的切线方程。其步骤为：第一步：把点代入曲线方程，看该点是否在曲线C上；第二步：求导数；第三步：如果点满足函数，即点在曲线上，则所求切线方程为；若点不在曲线上，可设切点为，由，解出，进而确定过的曲线的切线方程为。 例8、已知曲线，点(0，1)在该曲线上，求该点处的切线方程。解：先对曲线函数求导得：把点(0，1)代入求导函数，得到该点处的斜率为，则该点处切线方程为，即 例9、若曲线存在垂直于轴的切线，那么实数的取值范围是（ ）分析：本题主要考查如何利用导数求曲线的切线的逆向思维。解：通过对曲线函数求导可得，因为垂直于轴的切线存在。所以得出得出 例10、求曲线C：的切线方程。解：把点代入曲线的函数式中发现点不在曲线C上，可设切点为，因为，所以切线斜率，故切线方程为，则，解得：所以切线方程为 和 这三个例题都是考导数的几何意义，题型虽然较为简单，但是考查内容却不简单，这种题型在填空题中也经常出现，比较典型不容忽视。25导数在数列问题中的应用数列本身是一种特殊的函数,所以我们可以应用导数在解函数问题的思路解决一些较为麻烦的数列问题。在一些数列问题中无论用什么传统方法去解题，计算量都比较大，如果改用导数去解，就会变的容易很多。 例11、在一个数列中，其中,那么数列的通项公式是什么？分析：如果此题用传统方法解决，就会比较慢。我们可以试着用导数法来求解。解：先对公式的两边分别求关于的导数得；。令，则有，两边再对求导得：两边对积分得：.再对积分得把分别代入的公式并令 例12、求数列1， ，的和(其中)分析：可以用传统的错位相减法求和，但会比较麻烦。若是用导数方法运算，会使问题得到更好的解决。解：把和看作是两个函数，则，即是的导数，可先求数列的前项和当 时，然后等式两边同时对求导，有 例13、有一等差数列，首项与公差d都是正整数，且满足对任意，都有，(1)求数列的前n项的和；(2)求数列的最小项分析：第一小问比较简单，在解最后一问时，可以先把数列看成是一个函数，然后求出该函数的极小值，所得极小值即是所求的项。解：（1）注意到对任意恒成立则，解得d=1（2） 设，当时，当5时故在利用导数解答数列问题时，一定要仔细观察数列的结构特征，联想求导公式建立对应的函数式，再对函数式的不同的表达式求导来解决问题。利用导数法解决有关较难的数列问题更方便简单。2.6导数在不等式问题上的应用 在碰到一些不等式证明的题目，可以转换成函数的证明。然后对函数求导，利用函数相关的性质来证明一些不等式或者是解决一些不等式恒成立的问题等。 例14、求证：时，证明：要证，则证成立即可，设，由所以在上为增函数所以的最小值为所以即成立。故时不等式成立3.积分在高中数学中的应用在高中阶段定积分是微积分的一部分，定积分的主要应用如下：(1)求曲边形的面积、不同时间的变力做功等；(2)通过实例，更加真实的体会微积分基本定理的含义；(3)了解微积分所具有的文化价值。由此我们看到，在高中时期学习定积分，主要是粗浅地了解它的主要思想和一些基本用法，定积分在解决问题所起的工具作用在通过一些实例可以体现出来。近几年全国地区的高考试题，主要考查利用定积分求曲边形的面积。计算定积分的方法有三种：第一种方法是应用定积分的定义，通过分割、求和、取极限来达到目的；第二种方法是通过计算被积函数的原函数在积分区间上函数值的增量来得到积分值；第三种方法是利用定积分的几何意义，通过数形结合的思想，计算定积分。3.1定积分在几何中的应用 假设被积函数为，曲线与直线和轴所围成的曲边形的面积为。（1） 如果，则（2） 如果，则（3） 如果，则 例15、有一曲边形是由抛物线与直线所围成的，求该曲边形的面积是多少？解：把两曲线的函数式连立成方程组，即 解得 故所求围成的平面图形面积为 =18，故所求面积为18 例16、曲线与围成一个平面区域，求该迎面区域的面积。解：把这两条曲线函数连立成一个方程组，很容易求得两曲线的交点是(0,0)与(1,1)，那么该区域的面积为 在解决曲线的弧长、旋转体的体积等一些问题也可以用定积分来求，虽然高中教材没有要求学生对这一部分要掌握，但是可以适当的讲解给学生。3.2定积分在物理中的应用（1） 若物体在同一直线上运动，但速度是改变的，它所经过的路程为，它的速度为函数，则，这就显出了求导数和求积分得互为逆运算。（2） 变力作功：若一物体在变力的作用下由的运动（运动方向与力的方向一致）那么此变力所做的功为 例17、在平面的公路上，有一作变速运动的汽车行驶，其速度为（单位：m/s）.在行驶过程中驾驶员突然发现在前方不远处有一条狗横穿公路，于是紧急刹车，那么（1） 从驾驶员开始紧急刹车到汽车完全停止，需要多少时间？（2） 从驾驶员发现横穿公路的狗（紧急刹车时），这条狗与汽车至少距离多远才能保证安全穿过马路？解：（1）令=0，解得方程为t=4或t=-2(舍去)故需要4s（2）要想让这条狗安全，狗与汽车的距离应不小于驾驶员紧急刹车到停止所行驶的距离。因为汽车行驶的距离为：= 所以这条狗距汽车的距离为8+ln5才能保证安全。4.结论与展望在探究了微积分之后，我得出了一些结论： 1在当今信息时代，微积分思想是人们生活的一种需要，是推动数学发展的一种动力，也是社会发展的一种动力。向2l世纪的高中生教授一部分微积分思想、应用方法，是很应该的。 2在微积分的教学实施过程中不要形式化的定义，应该让学生深刻理解概念，不要只是把导数作为一些规则和步骤来学习，要重视它所具含的更深层次的价值，在教学过程中应该加强微积分思想方法的教学、在实际应用方面更应该进行强化。 3.微积分在高中数学有着广泛的用途，在以后的学习中我们要全方位地探索和研究新的用法。微积分的应用不仅给学生提供了一种新的解决问题的方法，又使学生学到了一种新的数学思想，同时也使得高中毕业生能够更加轻松的学习大学中较难微积分知识。 总之，如果教学能够联系学生的现实，采取合适的教学策略，突出思想方法的教学，发展学生的认知结构，那么学生就能从中受益。 因为对于微积分的教学人们已经有了一定的研究，但微积分的应用方面还存在一些问题，所以使得探讨微积分思想在高中数学的应用更具价值和意义。通过对本论文的研究，所发现的问题，对今后的研究提出一些建议。 1.微积分教学的核心是数学思想方法的教学，本研究虽然在加强思想教学上有所强调，但实验性还是不强，在以后的研究中可从这一方面进行实证研究。有利于课程功能的发挥。 2极限理论作为微积分的核心基础，在本章节教学中从未涉及，在以前的教学中也从未涉及过，虽然对导数、定积分概念的教学可以采用直观极限无限逼近的思想直观理解，但在许多地方仍然出现缺乏极限基础而导致理解困难。那么应补充哪些极限基础?什么时候补充? 3在导数应用这一方面，应用的太过多是不是会对学生产生负担，在高中阶段就学习这么深入是不是没有必要的，应该补充哪些方面的应用才是更加合理的等。 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