高中数学教科书“正、余弦定理”内容的比较研究——以现行六版教科书为例.pdf

高中数学教科书“正、余弦定理”内容的比较研究 以现行六版教科书为例姜梦洁王 盼华子艳刘冰楠(.云南师范大学数学学院云南昆明.昆明市冠益学校云南昆明)摘 要:正、余弦定理是平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理有丰富的教育价值.而教科书是实现课程目标的重要教学资源在新课程“一纲多本”教育背景下我国教科书百花齐放、各具特色.故选取现行六版高中数学教科书比较其“正、余弦定理”内容的呈现方式整合教学资源博采众长提出教学建议联系现实融合史料丰富问题情境创设促进关键知识生长构建数学知识网络聚焦探究启发思考落实核心素养导向.关键词:高中数学正弦定理余弦定理教科书比较 教科书承载着课程内容文本与教学活动文本的双重属性是教与学的主要依据.普通高中数学课程标准(年版 年修订)(以下简称课标)明确指出数学教材是实现数学课程目标、发展学生数学核心素养的重要教学资源要积极探索教材的多样化.随着新一轮基础教育改革方案与新课标的颁布教科书也同步更新并陆续投入使用.教科书的编写实质上是编写者依据课程标准进行再创造的过程它关系着教科书的水平和质量决定着教科书的风格特色影响着师生对教科书的评价与使用.正、余弦定理是平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理.它们与平面几何中的勾股定理、射影定理、海伦公式等水乳交融又与解析几何中的向量运算、两点间距离公式等息息相关可以重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养.比较各版本教科书整合教学资源博采众长这对教科书的编写和教学质量的提升有一定促进作用.选取现行六版高中数学教科书(人教 版、人教 版、北师大版、苏教版、湘教版、鄂教版)以“正、余弦定理”内容为载体从章节设置、知识编排、例习题设置三个方面比较其呈现方式透视各版本教科书的编写特色以期为教科书编写与教师教学提供参考.正、余弦定理内容的呈现方式比较.章节设置 章节设置体现编者对知识所属领域的划分前后知识在一定程度上影响着当下内容的学习.课标中正、余弦定理属于几何与代数主题呈现在“平面向量及其应用”的“向量应用与解三角形”中.人教 版、北师大版、湘教版及鄂教版都将其设置于“平面向量及其应用”章节与平面向量在几何、物理中的应用并列从知识体系上看从属于平面向量强调平面向量学习的连贯性.人教 版和苏教版均将“解三角形”设置为独立章节重视三角学知识体系的独立性.不同于其他四版按照“余弦定理 正弦定理”的顺序编排人教 版与鄂教版先介绍正弦定理.此外人教 版结合数学建模与数学探究活动主题以课题研究形式设计与正、余弦定理相关的数学探究活动相结合重视数学建模素养的培养.知识编排 六版教科书正、余弦定理的知识编排如表 所示.栏目设置 栏目是教科书的基本功能单位栏目的设置与编排关系着教科书内容的选择与呈现并进一步影数学之友 年第 期基金项目:年度教育部人文社会科学研究青年基金项目“建党百年来我国中学数学教科书学科德育演变研究”(项目编号:)云南师范大学 年课程思政建设项目数学史(项目编号:).表 五版教科书正、余弦定理的知识编排教材内容余弦定理正弦定理人教 版前言(三角形全等)探究(用两边及其夹角表示第三边)正文(余弦定理)思考(余弦定理的推论、余弦定理与勾股定理的关系)正文(解三角形)例题练习探究(用两角和一边解三角形)思考(将向量数量积中的余弦转化为正弦)正文(正弦定理)例题练习人教 版情境与问题(测量两座山峰顶点间的距离)正文(余弦定理)例题正文(余弦定理改写)例题拓展阅读(秦九韶的“三斜求积术”)练习情境与问题(测量河两岸的距离)尝试与发现(作高计算三角形的面积)正文(正弦定理)例题探索与研究(正弦定理与三角形外接圆半径的关系)练习北师大版问题提出(用两边及其夹角表示第三边、已知三边求三角)分析理解(利用向量研究三角形边角关系)抽象概括(余弦定理)例题思考交流(例题其他解法)例题练习问题提出(直角、等边三角形中“各边和所对角正弦的比相等”能否推广)分析理解(锐角三角形中作高法得证)抽象概括(正弦定理)例题练习例题思考交流(例题证得的性质推广)例题思考交流(已知两边及其中一边的对角解三角形有几种情况)苏教版前言(三角形的边角涉及长度与方向可用向量研究)探究(将 中的向量等式数量化)正文(余弦定理)思考(用勾股定理证明余弦定理)正文(余弦定理其他形式、解三角形)例题正文(余弦定理可以解决的解三角形问题)练习例题思考(例题推广)练习前言(复习回顾)探究(用其他途径将向量等式数量化)正文(正弦定理)思考(用作高法证明正弦定理)例题正文(正弦定理可以解决的解三角形问题)练习例题练习湘教版前言(直角三角形问题可通过锐角三角函数求解斜三角形如何求解)正文(解三角形)探究(用两边及其夹角表示第三边)正文(余弦定理)例题练习探究(分别在直角、锐角、钝角三角形中探讨三角形三边与对应角正弦之间的关系)正文(正弦定理)例题正文(已知两边及其中一边的对角解三角形的不同情况)练习探究(三角形各边与所对正弦比值的几何意义)正文(扩充的正弦定理)例题练习鄂教版探究(用两边及其夹角表示第三边)正文(余弦定理)例题练习习题阅读与讨论(已知两边和其中一边的对角时解三角形)前言(测量武汉长江隧道两间的距离)探究(直角三角形中“各边和所对角正弦的比相等”能否推广)正文(正弦定理、解三角形)例题练习响课程目标的达成.各版教科书在正、余弦定理的编排中均设置探究栏目学生在数学探究活动中完成对正、余弦定理的再发现、再创造凸显以学生为本的价值取向.其中北师大版最具特色两个定理均依照“问题提出 分析理解 抽象概括”的栏目框架进行编写得出正、余弦定理的过程正是从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的过程有助于发展学生自主学习的能力.引入方式 引入是新课学习的开端对激发兴趣、启发思考有重要作用.除人教 版及鄂教版外其余四版教科书均先设置余弦定理的内容且都从数学问题出发.其中人教 版、北师大版、湘教版提出“如何用两边及其夹角表示第三边”以解三角形为目标展开探究.引入正弦定理时人教 版沿用了类似“用两角和一边解三角形”的问题北师大版和湘教版则直接切入课题聚焦“三角形各边和所对角正弦之间的关系”苏教版关注余弦与正弦定理的内在联系从同一个问题“将 中的向量等式数量化”的两种不同解法分别引出余弦定理与正弦定理人教 版及鄂教版利用测量距离的问题情境导入生活实例有助于引起学生兴趣同时体现正、余弦定理在其他领域的应用价值.证明方法 余弦定理与正弦定理都有多种证明方法.课标要求“借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系掌握余弦定理、正弦定理”且借助向量证余弦定理过程十分简洁因此六版教科书均选择在正文中以向量法证明余弦定理.而借助向量证明正弦定理难度稍高人教 版设置思考栏目启发学生添加辅助向量苏教版延续余弦定理探究中的“将中的向量等式 数量化”并作进一步研究鄂教版直接给出思路人教 版、湘教版则选择数学之友 年第 期 面积法证明正弦定理北师大版选择作高法.此外苏教版在思考栏目和习题栏目又提供勾股定理和坐标法证明余弦定理、作高法和面积法证明正弦定理的思路从多个视角建构和解决问题培养高阶思维.拓展素材 为适应学生学习的个性化需求以及为教师开发课程内容资源提供可能六版教科书均加入了各具特色的拓展素材主要包括相关公式及性质定理和数学史料两类.在相关公式及性质定理方面作为平面三角学中刻画三角形边角关系的基本定理正、余弦定理与许多平面几何性质有着密切联系六版教科书都补充介绍了三角形的面积公式 .除鄂教版外其余五版都对正弦定理进行扩充关注其几何意义(三角形各边与它所对角正弦的比值等于该三角形外接圆的直径).此外正、余弦定理与三角形全等和勾股定理的关系、射影定理、三斜求积术和海伦公式、三角形中线定理、平行四边形四边对角线平方和定理也以正文或习题的形式被引入多个版本的教材.在数学史料方面人教 版、人教 版、鄂教版均介绍了三斜求积术和海伦公式.人教 版还引用了法国天文学家用数学方法测量地月距离的历史事件(如图).北师大版设置了古希腊数学家特埃特图斯构造无理数的图形中解三角形的例题(如图).湘教版简要介绍了正弦定理的发展历史.总的来说 数 学 史 料 均 以 附 加 式 或 复 制 式 融 入 教科书.图 人教 版数学史料素材图 北师大版数学史料素材.例习题设置 习题作为数学教科书的一个重要组成部分有巩固和深化新知、补充与延伸新知、综合运用新知、领悟数学思想方法、诊断反馈补救与育人等功能.六版教科书的例习题设置情况如图 所示.图 六版教科书例习题设置从例习题数量上看苏教版总数高达 题是其余五版的二至三倍而北师大版习题最少为 题.习题类型上各版本都重视解三角形的训练除苏教版外其余五版该类题型均占比最大.而苏教版设置最多的是与三角形有关的实际问题即运用正、余弦定理解决现实世界中的问题这类问题往往涉及测量、航海等跨学科知识具有较强的综合性能够很好地培养数学建模素养.此外正、余弦定理还可应用于判断三角形的形状、计算平面图形面积、证明平面几何性质在各版本习题中均有涉猎但侧重点不同.如人教 版约四分之一的习题是围绕平面几何的性质证明其更注重对于逻辑推理素养的考查.教学建议.联系现实融合史料丰富问题情境创设 问题是数学的心脏.问题情境既为知识的掌握与运用提供了活动的背景同时也是知识的习得和运用得以发生的活动场景和资源条件.因此在学习过程中为学生创设具有思考性的问题情境至关重要.正、余弦定理具有丰富的情境素材可供教师选择.一方面正、余弦定理在测量学、力学、运动学、电学等方面有广泛的运用以这些生活实际为情境保证了学生有相关的观念来理解问题让学生明白通过学习能够解决什么问题更积极主动地把新知与已有认知结构建立联系.同时将数学学习的价值指向现实世界提升数学建模素养符合课标 中数学之友 年第 期.“能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题”的要求.另一方面正、余弦定理有着源远流长的历史.正弦定理早在公元 年左右就被古希腊科学家托勒密所知晓而到 世纪才被阿布瓦法证明余弦定理最早在几何原本中作为勾股定理的推广而诞生当下每版教科书都在使用的向量法证明却于 世纪 年代才出现.从应用上看秦九韶的三斜求积术与海伦公式彰显着东西方学者对于数学孜孜不倦的探求法国天文学家测量地月距离的史实印证着数学是科学研究中不可或缺的有力工具.这些饱含人文气息的史料素材均可化用为引入新课或拓展练习的问题情境不仅能提升学习兴趣、活跃课堂氛围还蕴含着丰富的德育价值有助于立德树人根本任务的达成.促进关键知识生长构建数学知识网络 正、余弦定理作为平面三角形中的重要定理其证明和应用与前后知识点有着千丝万缕的联系.余弦定理可由勾股定理、圆幂定理、托勒密定理等推出也可借助向量或坐标进行证明正弦定理可借助三角形的高线、面积、外接圆或引入向量、复数等进行证明.此外余弦定理、正弦定理、射影定理之间也能够相互推导并与三角形全等和勾股定理都密不可分.此外运用正、余弦定理能够求三角形面积推导出三斜求积术与海伦公式、三角形中线定理、平行四边形四边对角线平方和定理等.以正、余弦定理为生长点构建出的数学知识网络沟通数形应用广泛.而数学知识网络体系是以数学问题为载体建立起来并不断充实、巩固、深化、扩张的知识网络.在教学中可将这些相关性质以证明题的形式留给学生思考交流再进行总结归纳既能巩固正、余弦定理的掌握与运用又能促进知识的迁移强化前后知识的联系帮助学生构建良好的知识结构网络.聚焦探究启发思考落实核心素养导向 数学探究活动是围绕某个具体的数学问题开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程承载着发展学生数学学科核心素养的重要使命.六版教科书在正、余弦定理编排中均设置探究栏目通过参与探究学生能在已有认知的基础上完成对定理的自主建构深化对定理的理解.正、余弦定理的探究过程蕴含数形结合、从特殊到一般等多种数学思想方法对数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的提升大有裨益.编者、学者、教师是教科书使用共同体因此教师在课堂教学之中对于数学探究的处理对达成教学目标、提升核心素养有举足轻重的作用.其一应注重对学生的引导让学习者主动参与“做数学”“学数学”的全程.如:在教学中分析用向量研究三角形边角关系的背后逻辑(三角形的边与角涉及长度与方向两个要素向量作为研究工具能够充分描述这两个要素)而并非因章节设置上属于“平面向量的应用”就理所当然将向量作为研究工具.其二在探究活动中应强化“发现问题 提出问题 分析问题 解决问题”的基本过程重视基本数学活动经验的积累为数学真正应用于现实世界作出铺垫.参考文献:中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(年版 年修订).北京:人民教育出版社.孔凡哲 张恰.教科书研究方法与质量保障研究.长春:东北师范大学出版社.汪晓勤沈中宇.数学史与高中数学教学 理论、实践与案例.上海:华东师范大学出版社.吴立宝.中澳数学教科书习题比较研究 以人教版和 年级教科书为例.数学教育学报():.张琼胡炳仙.知识的情境性与情境化课程设计.课程教材教法():.何小亚.建构良好的数学认知结构的教学策略.数学教育学报():.童水长.运用思维规律构建知识网络 浅谈高中数学总复习.数学教学研究():.杨怡梁会芳张定强.“数学探究”研究二十年:回顾经验 展望.数学教育学报():.李功连.教科书使用共同体:内涵、特征及实践.课程教材教法():.史宁中王尚志.普通高中数学课程标准(年版)解读.北京:高等教育出版社.李亚琼宁连华.数学知识观视角下学习进阶的再审视.课程教材教法():.数学之友 年第 期