高考数学情境创设类试题剖析及教学启示.pdf

高考数学情境创设类试题剖析及教学启示陈忠(江苏省昆山陆家高级中学 )摘要数学情境创设类试题是新高考数学试卷的重要载体之一,反映了社会发展对高考的要求本文通过具体实例剖析了常见数学情境创设类试题,给出了高中数学教学和高考数学备考的若干启示关键词高考数学;情境创设;教学教学文章编号 ()情境是高考评价体系中的考查载体,情境承载考查内容,实现考查要求,数学情境创设类试题成为近几年高考命题的一个热点,要求学生在充分理解材料的基础上寻求解决问题的有效途径情境创设类试题相对于其他试题更能深刻、精准地考查学生分析问题、解决问题的能力,有效考查考生的数学能力与数学学科核心素养根据数学学科的特点,高考数学的情境创设类试题可分为生活实践情境、文化育人情境、课程学习情境、探索创新情境等四类生活实践情境生活实践情境是与生产、生活实际相结合的数学应用情境,需要考生将问题情境与学科知识、方法建立联系,应用学科工具解决问题,是考查学生数学应用、理性思维和创新应用等素养的重要载体例(年新高考卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔 m时,相应水面的面积为 k m;水位为海拔 m时,相应水面的面积为 k m将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔 m上升到 m时,增加的水量约为()()A mB mC mD m图解析把增加的水量转化为棱台的体积(图),依 题 意 可 知 棱 台 的 高 为MN (m),棱台下底面 积S k m m,上底面积S k m m,从而Vh(SSS S)()()()(m),故选C点评本题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景材料,要求学生在阅读理解的基础上,将生活实际问题抽象为棱台体积计算问题,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,渗透数学抽象、数学建模等核心素养,试题引导教育者与被教育者关注社会主义建设的伟大成果,增强社会责任感,培养家国情怀例(年全国卷理科)年月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L点的轨道运行L点是平衡点,位于地月连线的延长线上设地球质量为M,月球质量为M,地月距离为R,L点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程M(Rr)Mr(Rr)MR设rR,由于的值很 小,所 以 在 近 似 计 算 中(),则r的近似值为()AMMRBMMRCMMRDMMR 年第期 中学数学月刊 复习之友解析由rR,得r R,因为M(Rr)Mr(Rr)MR,所以MR()MR()MR,即MM()()(),解得MM,所以r RMMR,故选D点评本题以我国科技发展与进步中取得的重要成就“鹊桥”作为试题背景命题,考查了学生阅读分析、逻辑思维、运算求解等能力,渗透数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养文化育人情境“高考中编制的数学试题,除了要实现能力考查的要求以外,还应当注重对数学文化的渗透,特别是对中国古代传统优秀文化的渗透,从而促进学生理性思维的发展”数学高考试题关注数学文化育人的价值,重视全面育人的要求,借助数学文化类的情境创设试题,能弘扬中华民族的优秀传统文化,同时学习借鉴国外优秀文化成果,培育人文精神,实现文化育人,增强文化自觉和文化自信,体现高考选拔以及德、智、体、美、劳等“五育”全面发展的选人育人的重大使命例(年新高考全国卷)图是中国古代建筑中的举架结构,A A,B B,C C,DD是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举图是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD,C C,B B,A A是举,O D,D C,C B,B A是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DDO D,C CD Ck,B BC Bk,A AB Ak已知k,k,k成公差为 的等差数列,且直线O A的斜率为 ,则k()A B C D 解析设O DD CC BB A,则C Ck,B Bk,A Ak,依题意,有k k,k k,且D DC CB BA AO DD CC BB A图图 ,所 以 k ,故k ,选D点评中国古代建筑独树一帜,其成果在世界建筑史上具有重要地位本题以中国古代建筑中的“举架”结构为背景,考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决问题的能力试题对引导学生关注我国古代优秀成果、增强民族自尊心具有积极的教育意义本题考查数学建模及数学运算等核心素养例(年新高考卷)日晷(图)是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指O A与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与O A垂直的平面在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬 ,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A B C D 图图解析画出如图所示的截面图,其中C D是赤道所在平面的截线;l是点A处的水平面的截线依题意可知O Al;A B是晷针所在直线,m是晷面的截线依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,根据平面平行的性质定理,可知mC D,根据线面垂直的定义可得A Bm由于A O C ,mC D,所以O A G A O C 因为O A GG A EB A EG A E ,所以B A EO A G ,也即晷针与点A处的水平面所成角为B A E 故选B复习之友 中学数学月刊 年第期点评本题以中国古代数学文化“日晷”创设情境,体现中国古代数学的成就及先人的聪明智慧,树立民族文化自信该题考查球的有关计算,涉及面面平行及线面垂直的有关性质课程学习情境数学课程学习情境包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境,命题者关注学生已有知识的基础和准备程度例(年全国卷)周期序列在通信技术中有着重要应用若序列aaan 满足ai,(i,),且存在正整数m,使得aimai(i,)成立,则称其为周期序列,并称满足aimai(i,)的最小正整数m为这个序列的周期对于周期为m的序列aaan,C(k)mmiaiaik(k,m)是描述其性质的重要指标,下列周期为的序列中,满足C(k)(k,)的序列是()A B C D 解析由aimai知,序列的周期为m,由已知m,C(k)iaiaik,k,对于选项A,C()iaiai(aaaaaaaaaa)(),C()iaiai(aaaaaaaaaa)(),不 满 足对 于 选 项B,C()iaiai(aaaaaaaaaa)(),不满足对于选项D,C()iaiai(aaaaaaaaaa)(),不满足故选C点评本题考查数列的新定义问题,涉及周期数列,考查学生对新定义的理解能力及数学运算能力、数学推理等学科素养探索创新情境借助数学情境创设,引导学生进行合理的研究探索或知识迁移,结合数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等,通过自己的“再加工”来进行创新与应用创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律,也是高中数学教学与学习中不断渗透与培养的一种基本精神与能力例(届江苏省盐城市、南京市高三第一学期期末调研测试卷)在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异若离散型随机变量X,Y的取值集合均为,n(n N),则X,Y的散度D(XY)niP(Xi)l nP(Xi)P(Yi)若X,Y的概率分布如下表所示,其中p,则D(XY)的取值范围是解 析根 据 题 设 中 的 创 新 公 式,可 得D(XY)P(X)l nP(X)P(Y)P(X)l nP(X)P(Y)l npl npl np(p)而p(p)p,可知l np(p),所以D(XY)l np(p),即D(XY)的取值范围是,)点评本题涉及研究探索与迁移创新方面的数学情境创设,以方法操作或创新定义等方式给出问题,通过对此类问题的研究与探究,合理迁移相应的数学知识,考查学生理性思维和数学探究素养教学启示高考命题聚焦关键能力考查,从日常生产生活、科学研究、文化历史等领域中广泛选材创设情境,通过开放性、探究性的情境设计,加强对学生创新意识和创新思维能力的考查对于怎样引导 年第期 中学数学月刊 复习之友学生实现从“会解题”到“会解决问题”的转变,笔者认为教师应在平时教学中注意以下几点()教师要对教材“多挖掘”著名数学教育家波利亚说过:“没有一道题是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做,经过充分的探讨与研究,总会有点滴的发现,总能改进这个解答,而且在任何情况下,我们都能提高自己对这个解答的理解水平”对于教材正文中的例题,教师要挖掘问题的多向性和解决问题的多样化,对于正文中的“探究”“拓广探索”等栏目要鼓励学生去思考不同的探究方法,提出解决问题的思路要安排适当的时间选学教材中的“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等栏目,扩大学生的知识面,提高学生对学习的兴趣()教师要引导学生“再创造”爱因斯坦曾说过:“提出(发现)一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题而提出新的问题、新的可能性,从新的角度看旧问题,需要有创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步”“再创造”是学好数学的有效方法之一在日常的教学中,教师要积极引导学生去“再创造”,引导学生去发现或创造出新的结论,寻找更一般的规律,培养学生敢于质疑的精神和勇于探索的学习方式长期坚持,能激发学生的学习兴趣,促使学生形成积极主动学习的习惯()教师要关注数学文化“常渗透”数学素质的本质是数学文化观念、知识、能力、心理的整合,而实现数学素质教育目标的关键在于充分体现数学文化的本质,把数学文化理念贯穿到数学教育的全过程中教师在平时的教学中要重视数学知识与其他学科知识的联系和整合,要重视理论联系实际,要注重数学思想方法和数学观念的提升,要注重知识的理解与运用,真正将数学文化和数学史融入数学教学的全过程,提高学生的学科素养和关键能力参考文献教育部考试中心中国高考评价体系说明M北京:人民教育出版社,:安学保评价体系新实践高考命题新突破 新高考卷数学试题评析J数学通报,():,陈昂,任子朝突出理性思维弘扬数学文化 数学文化在高考试题中的渗透J中国考试,():陈小波几何特征:高考“情境化试题”解题思路的来源 以 年全国数学高考卷第 题为例J中学教研(数学),():黄秦安数学文化观念下的数学素质教育J数学教育学报,():(上接第 页)总结及反思数学探究是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程它是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程中的重要内容本节课以不等式exxl nx的证明为例,实践数学探究教学,追求高中数学深度学习基于逻辑推理素养的角度,首先以学生的实时解答为素材,提出并探究解决直接作差证明过程中出现定号困难的问题,基于数学运算素养的角度,又提出先变形再作差的优化方案,现场运算证明,让学生感知该方法的运算量及繁易程度;再接着联系已有数学知识与体验,借助函数图象直观想象,从函数凹凸性的角度,提出可以先证明这个不等式的一个必要条件,即f(x)m i ng(x)m a x;最后用放缩法,利用中间量(函数)证明不等式指向深度学习的数学探究,不是简单地探究解题的方法,而更注重解题思路的制定和困难的剖析;不仅要让学生会证明这道不等式,解决这个问题,更要让学生学会思考解决这一类相关问题,让他们学会适时联想结构、活动探究、理解本质,变式迁移,转化思路方法去解决问题,从而真正让学生用“三会”行为诠释核心素养的提升参考文献中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准(年版)M北京:人民教育出版社,:,郭华深度学习及其意义J课程教材教法,():;郭元祥论深度教学:源起、基础与理念J教育研究与实验,():;潘龙生“变式”教学要变出“思想性”J中学数学教学参考,():复习之友 中学数学月刊 年第期