北京专用高考数学一轮复习第九章平面解析几何第八节曲线与方程.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第八节曲线与方程,总纲目录,教材研读,1.,曲线与方程的定义,考点突破,2.,求轨迹方程的基本步骤,考点二,定义法求轨迹方程,考点一直接法求轨迹方程,考点三,利用相关点法(代入法)求轨迹方程,教材研读,1.曲线与方程的定义,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线,C,上的点与一个二元方程,f,(,x,y,)=0,的实数解建立如下的对应关系:,那么,这个方程叫做,曲线,的方程,这条曲线叫做,方程,的曲线.,2.求轨迹方程的基本步骤,1.方程(,x,-,y,),2,+(,xy,-1),2,=0表示的曲线是,(),A.一条直线和一条双曲线B.两条直线,C.两个点D.4条直线,C,答案,C由(,x,-,y,),2,+(,xy,-1),2,=0得,或,即方程表示两个点(1,1)和(-1,-1).,2.若,M,N,为两个定点,且|,MN,|=6,动点,P,满足,=0,则,P,点的轨迹是,(),A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线,A,答案,A,=0,PM,PN,.点,P,的轨迹是以线段,MN,为直径,的圆.,3.已知点,F,直线,l,:,x,=-,点,B,是,l,上的动点.若过点,B,垂直于,y,轴的直线,与线段,BF,的垂直平分线交于点,M,则点,M,的轨迹是,(),A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线,D,答案,D由题意知|,MF,|=|,MB,|,根据抛物线的定义知,点,M,的轨迹是以点,F,为焦点,直线,l,为准线的抛物线.,4.已知,ABC,的顶点,B,(0,0),C,(5,0),AB,边上的中线长|,CD,|=3,则顶点,A,的轨,迹方程为,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0),.,答案,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0),解析,设,A,(,x,y,)(,y,0),则,D,|,CD,|=3,+,=9,(,x,-10),2,+,y,2,=36(,y,0).,5.过椭圆,+,=1(,a,b,0)上任意一点,M,作,x,轴的垂线,垂足为,N,则线段,MN,中点的轨迹方程是,+,=1,.,答案,+,=1,解析,设,MN,的中点为,P,(,x,y,),则点,M,(,x,2,y,),又点,M,在椭圆上,+,=,1,即所求的轨迹方程为,+,=1.,考点一直接法求轨迹方程,考点突破,典例1,设,O,为坐标原点,动点,M,在椭圆,C,:,+,y,2,=1上,过,M,作,x,轴的垂线,垂足为,N,点,P,满足,=,.,(1)求点,P,的轨迹方程;,(2)设点,Q,在直线,x,=-3上,且,=1.证明:过点,P,且垂直于,OQ,的直线,l,过,C,的左焦点,F,.,解析,(1)设,P,(,x,y,),M,(,x,0,y,0,),则,N,(,x,0,0),=(,x,-,x,0,y,),=(0,y,0,).,由,=,得,x,0,=,x,y,0,=,y,.,因为,M,(,x,0,y,0,)在,C,上,所以,+,=1.,因此点,P,的轨迹方程为,x,2,+,y,2,=2.,(2)证明:由题意知,F,(-1,0).设,Q,(-3,t,),P,(,m,n,),则,=(-3,t,),=(-1-,m,-,n,),=3+3,m,-,tn,=(,m,n,),=(-3-,m,t,-,n,).,由,=1得-3,m,-,m,2,+,tn,-,n,2,=1,又由(1)知,m,2,+,n,2,=2,故3+3,m,-,tn,=0.,所以,=0,即,.,又过点,P,存在唯一直线垂直于,OQ,所以过点,P,且垂直于,OQ,的直线,l,过,C,的左焦点,F,.,易错警示,运用直接法应注意的问题,(1)在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解,性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的.,(2)若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略.,1-1,设点,A,为圆(,x,-1),2,+,y,2,=1上的动点,PA,是圆的切线,且|,PA,|=1,则,P,点的,轨迹方程为,(),A.,y,2,=2,x,B.(,x,-1),2,+,y,2,=4,C.,y,2,=-2,x,D.(,x,-1),2,+,y,2,=2,D,答案,D如图,设,P,(,x,y,),圆心为,M,(1,0).连接,MA,PM,则,MA,PA,且|,MA,|=1,又因为|,PA,|=1,所以|,PM,|=,即|,PM,|,2,=2,所以(,x,-1),2,+,y,2,=2.,典例2,(2017北京海淀二模,18)已知动点,M,到点,N,(1,0)和直线,l,:,x,=-1的距离相等.,(1)求动点,M,的轨迹,E,的方程;,(2)已知不与,l,垂直的直线,l,与曲线,E,有唯一公共点,A,且与直线,l,的交点为,P,以,AP,为直径作圆,C,.判断点,N,和圆,C,的位置关系,并证明你的结论.,考点二定义法求轨迹方程,解析,(1)由抛物线的定义可知动点,M,的轨迹,E,是以,N,(1,0)为焦点,直线,l,:,x,=-1为准线的抛物线,所以,=1,即,p,=2.,所以轨迹,E,的方程为,y,2,=4,x,(,x,0).,(2)点,N,在以,AP,为直径的圆,C,上.,证法一:由题意可设直线,l,:,x,=,my,+,n,(,m,0),令,x,=-1,得,P,.,由,可得,y,2,-4,my,-4,n,=0,(*),因为直线,l,与曲线,E,有唯一公共点,A,所以,=16,m,2,+16,n,=0,即,n,=-,m,2,.,所以(*)可化简为,y,2,-4,my,+4,m,2,=0,所以,A,(,m,2,2,m,),因为,n,=-,m,2,所以,=(,m,2,-1,2,m,),=-2,m,2,+2-2-2,n,=0,所以,NA,NP,所以点,N,在以,AP,为直径的圆,C,上.,证法二:依题意可设直线,l,:,y,=,kx,+,b,(,k,0),由,可得,k,2,x,2,+2(,bk,-2),x,+,b,2,=0,(*),因为直线,l,与曲线,E,有唯一公共点,A,所以,即,所以,=(,m,2,-1,2,m,),=-2,m,2,+2-2-2,n,=0,所以,NA,NP,所以点,N,在以,AP,为直径的圆,C,上.,证法二:依题意可设直线,l,:,y,=,kx,+,b,(,k,0),由,可得,k,2,x,2,+2(,bk,-2),x,+,b,2,=0,(*),因为直线,l,与曲线,E,有唯一公共点,A,所以,即,所以(*)可化简为,k,2,x,2,-2,x,+,=0,所以,A,令,x,=-1,得,P,所以,=,=,+2+,-2=0,所以,NA,NP,所以点,N,在以,AP,为直径的圆,C,上.,方法技巧,定义法求曲线方程的常用策略,(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程.,(2)定义法和待定系数法适用于轨迹类型已知的曲线,利用条件把待定,系数求出来,使问题得解.,2-1,已知圆,C,1,:(,x,+3),2,+,y,2,=1和圆,C,2,:(,x,-3),2,+,y,2,=9,动圆,M,同时与圆,C,1,及圆,C,2,相外切,求动圆圆心,M,的轨迹方程.,解析,如图所示,设动圆,M,与圆,C,1,及圆,C,2,分别外切于点,A,和点,B,根据两,圆外切得|,MC,1,|-|,AC,1,|=|,MA,|,|,MC,2,|-|,BC,2,|=|,MB,|.,因为|,MA,|=|,MB,|,所以|,MC,2,|-|,MC,1,|=|,BC,2,|-|,AC,1,|=3-1=2.,这表明动点,M,到两定点,C,2,、,C,1,的距离的差是常数2.,根据双曲线的定义,知动点,M,的轨迹为双曲线的左支(点,M,到,C,2,的距离,大,到,C,1,的距离小),且,a,=1,c,=3,则,b,2,=8,则圆心,M,的轨迹方程为,x,2,-,=1(,x,-1).,典例3,如图,已知,P,是椭圆,+,y,2,=1上一点,PM,x,轴于,M,.若,=,.,(1)求,N,点的轨迹方程;,(2)当,N,点的轨迹为圆时,求,的值.,考点三利用相关点法(代入法)求轨迹方程,解析,(1)设点,P,、,N,的坐标分别为,P,(,x,1,y,1,),N,(,x,y,),则,M,的坐标为(,x,1,0)且,x,=,x,1,=(,x,-,x,1,y,-,y,1,)=(0,y,-,y,1,),=(,x,1,-,x,-,y,)=(0,-,y,),由,=,得(0,y,-,y,1,)=,(0,-,y,).,y,-,y,1,=-,y,即,y,1,=(1+,),y,.,P,(,x,1,y,1,)在椭圆,+,y,2,=1上,+,=1,+(1+,),2,y,2,=1.,+(1+,),2,y,2,=1即为所求的,N,点的轨迹方程.,(2)要使点,N,的轨迹为圆,则(1+,),2,=,解得,=-,或,=-,.,当,=-,或,=-,时,N,点的轨迹是圆.,方法技巧,“相关点法”求轨迹方程的基本步骤,(1)设点:设被动点坐标为(,x,y,),主动点坐标为(,x,1,y,1,);,(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式,(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方,程.,3-1,已知曲线,E,:,ax,2,+,by,2,=1(,a,0,b,0),经过点,M,的直线,l,与曲线,E,交,于点,A,B,且,=-2,.若点,B,的坐标为(0,2),求曲线,E,的方程.,解析,设,A,(,x,0,y,0,),B,(0,2),M,故,=,=,.,由于,=-2,=-2,.,x,0,=,y,0,=-1,即,A,.,A,B,都在曲线,E,上,解得,曲线,E,的方程为,x,2,+,=1.,