初中数学实数与代数式知识梳理与考点专练（含答案）（2027年）.docx

2027中考数学一轮复习

初中数学

知识梳理

适用年级：初中数学
教材：
学年：2027年

——实数与代数式知识梳理与考点专练

【复习说明】本资料为中考数学一轮复习"数与式"板块的系统梳理，涵盖实数与 代数式两大模块。建议先通读知识梳理，再完成考点专练，最后对照参考答案查漏补 缺。
第一部分实数知识梳理

一、实数的分类

实数分为有理数和无理数两大类。

1.有理数
●整数：正整数、零、负整数
●分数：正分数、负分数(有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数)

2. 无理数
无限不循环小数叫做无理数。常见类型：
●开方开不尽的数：如 √ 2、³ √ 5等
●含π的数：如π、2π、π/3 等
●有特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001… (每两个1之间依次多一个0)
●注意：带根号的数不一定是无理数，如 √4=2是有理数；无理数不一定带根号， 如π是无理数。

二、数轴、相反数、绝对值、倒数

1.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上的点与实数是一一对应 的。

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2. 相反数
●定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
● 性质：若a 、b 互为相反数，则a+b=0;0 的相反数是0。
●几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距 离相等。

3.绝对值
●定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
● 性质： |a|≥0; 若 a>0, 则 |a|=a; 若 a=0, 则 |a|=0; 若 a<0, 则 |a|=-a。
●常见非负数： la| 、a² 、√a(a≥0)。

4. 倒数
●定义：乘积为1的两个数互为倒数。
● 性质：若a 、b 互为倒数，则ab=1;0 没有倒数；倒数等于它本身的数是±1。

三、科学记数法与近似数

1.科学记数法
把一个数表示成a×10” 的形式(其中1≤ |a|<10,n 为整数),这种记数方法叫做 科学记数法。
●当原数绝对值≥10时， n 等于原数的整数位数减1。
●当原数绝对值<1时， n 为负数，其绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零 的个数(包括小数点前的零)。

2.近似数与精确度
●近似数：接近实际数但略有差别的数。
●精确度：近似数与准确数的接近程度，常用”精确到哪一位"或"保留几个有效数 字”来表示。
●有效数字：从一个数的左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这 个数的有效数字。

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四、平方根、算术平方根、立方根

名称
定义
性质
平方根
若x²=a,则x叫做a的平方根
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平 方根是0:负数没有平方根
算术平方根
若x²=a(x≥0),则x叫做a的 算术平方根
正数的算术平方根是正数：0的算术平方根是 0;记作 √a
立方根
若x³=a,则x叫做a的立方根
正数的立方根是正数：负数的立方根是负数：0 的立方根是0;记作³ √ a

五、实数的运算

1.运算种类
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

2.运算律
●加法交换律： a+b=b+a
●加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
●乘法交换律： ab=ba
●乘法结合律： (ab)c=a(bc)
●乘法分配律： a(b+c)=ab+ac

3. 运算顺序
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算 从左到右依次进行。
4.特殊幂的运算
● 零指数幂：a=1(a≠0)
●负整数指数幂： aP=1/aP(a≠0,p 为正整数)
●-1的幂：(-1)n=-1(n 为奇数);(-1)"=1(n 为偶数)

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六、实数的大小比较
●数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
●性质比较法：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小。
●作差比较法：若a-b>0, 则a>b; 若 a-b=0, 则 a=b; 若 a-b<0, 则 a<b。
●作商比较法：两个正数，若a/b>1, 则 a>b。
●平方法：比较两个无理数的大小时，可比较它们的平方。

第二部分代数式知识梳理

一、整式的有关概念

1.代数式
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式 子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式
●定义：数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项 式。
●系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
●次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式
●定义：几个单项式的和叫做多项式。
●项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
●次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

4. 整 式
单项式和多项式统称为整式。

5. 同类项
●定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

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●合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不 变。

二、整式的运算

1.整式的加减
整式的加减实质就是合并同类项。如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
●去括号法则：括号前是"+",去掉括号和"+",括号内各项不变号；括号前是"-", 去掉括号和"-",括号内各项都变号。

2.幂的运算性质

名称
公式
说明
同底数幂相乘
am ·a"=a四
底数不变，指数相加
幂的乘方
(a鸭n=am
底数不变，指数相乘
积的乘方
(ab)n=ab"
积中各因式分别乘方
同底数幂相除
am÷a=am(a≠0)
底数不变，指数相减

3. 整式的秉法
●单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，单独的字母连同它的指数照写。
●单项式×多项式： m(a+b+c)=ma+mb+mc。
●多项式×多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。

4.秉法公式
●平方差公式： (a+b)(a-b)=a²-b²
●完全平方公式： (a±b)²=a²±2ab+b²

5.整式的除法
●单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，单独的字母连同它的指数照写。
● 多项式÷单项式： (a+b+c) ÷m=a÷m+b÷m+c÷m。

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三、因式分解

1.定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 (也叫分解因式)。
2.常用方法
● 提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c)。
●公式法：平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b); 完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)²。
●十字相乘法： x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

3.一 般 步骤
一提(提公因式)、二套(套公式)、三检查(检查是否分解彻底)。因式分解 必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
四 、分式

1.分式的概念
●定义：形如A/B(A 、B 是整式，B中含有字母，且B≠0) 的式子叫做分式。
●分式有意义的条件：分母B≠0。
● 分式值为0的条件：分子A=0 且分母B≠0。

2.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。即：
A/B=(A·M)/(B·M)=(A÷M)/(B÷M)(M≠0)。

3.分式的运算
● 乘除：a/b·c/d =ac/bd;a/b÷c/d =a/b·d/c =ad/bc。
●加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，
变为同分母的分式，再加减。
● 乘方： (a/b)n=a/b"。

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4.分式的化简求值
先将分式化简(因式分解、约分、通分),再代入字母的取值求值。注意：代入 的值必须使原分式有意义。
五 、二次根式

1.二次根式的概念
●定义：形如 √a(a≥0) 的式子叫做二次根式。
●二次根式有意义的条件：被开方数a≥0。

2.二次根式的性质
●(√a)²=a(a≥0)
● √(a²)=|a|=a(a≥0)=-a(a<0) ●√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)
● √(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)

3.最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
●被开方数不含分母；
●被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

4.二次根式的运算
●加减：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
● 乘法： √a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)。
● 除法： √a/√ b=√(a/b)(a≥0, b>0)。

第三部分考点专练

一 、选 择 题 ( 每 小 题 3 分 ， 共 3 0 分 )
1.-2027的绝对值是( ) A.-2027 B.2027
C.1/2027 D.-1/2027

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2. 下列各数中，是无理数的是( ) A.0 B.-1/3
C.√9 D. π/2
3.2026年我国国内生产总值约为126万亿元，将 126万亿用科学记数法表示为( )
A.1.26×10¹² B.1.26×10¹³
C.1.26×10¹4 D.1.26×10¹5
4. 下列计算正确的是( )
A.a²·a³=a6 B.(a²)³=a⁵
C.a⁶÷a²=a³ D.(ab)²=a²b²

5. 下列因式分解正确的是( )
A.x²-4=(x-2)² B.x²+2x+1=x(x+2)+1
C.3mx-6my=3m(x-2y) D.x²-x+2=(x-1)(x+2)
6. 若分式(x-2)/(x+1) 的值为0,则x 的值为( )
A.-1 B.2
C.-1 或2 D.-2
7. 下列运算正确的是( )
A.√2+√3=√5 B. √ 12=2√3
C.√(-3)²=-3 D.√8÷√2=4
8. 已知a+b=3,ab=2, 则a²+b² 的值为( )
A.5 B.6
C.9 D.13
9. 实 数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>0 D.|a|>|b|

10. 观察下列等式：3¹=3,3²=9,35=27,34-81,35=243, …根据其中规律可得 3+3²+3³+…+3²7的末位数字是( )
A.0 B.1
C.3 D.9

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二、填空题(每小题3分，共24分)

11. 比较大小： -3/4 -4/5(填">"、"<"或"=")。
12. 分解因式：2x²-8= 0
13. 若 √(x-2) 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
14. 计算：(π-3)⁹+(-1)²里5= -0
15. 若单项式2x"y³ 与-3x²y" 是同类项，则m+n= _ ◎
16. 已知x²-3x-1=0, 则代数式x²-3x+2026 的值为
17. 化简：(1+1/(x-1))÷x/(x²-1)=
18. 按一定规律排列的单项式： a,-2a²,4a⁵,-8a4,16a⁵, … , 第 n 个单项式是

三、解答题(共46分)

19 . (6分)计算： | √ 3- 2 | +(1/2)⁴-2 sin60°+(2026-π)。

20. (6分)先化简，再求值： ( x+2)(x-2)-x(x-1), 其 中x=3。

21. (8分)分解因式：
(1)3a³-6a²+3a;
(2)a²(x-y)+4b²(y-x)。

22. (8分)先化简，再求值：(1-1/(x+1))÷x/(x²-1), 其中x 从-1、0、1、2中 选取一个合适的数。
23. (8分)已知a 、b 、c满足 a|-√ 8|+√(b-5)+(c-√ 18)²=0。
( 1 ) 求a 、b 、c 的值；
(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能，求出其周长；若不能，请说明理由。

24. (10分)观察下列各式及其验证过程：
①2 √ (2/3)= √ (8/3)= √ (2²×2/3)= √ (2³/3)= √ (8/3);
②3 √ (3/8)= √ (27/8)= √ (3²×3/8)= √ (3³/8)= √ (27/8)。
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 √ (4/15)的变形结果并进行 验证；

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(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n 为任意正整数，且n≥2) 表示的等式， 并给出验证过程。
参考答案与解析

一、选择题
1. B 【 解析】负数的绝对值是它的相反数， |-2027|=2027。
2. D 【解析】π是无理数，π/2也是无理数： √9=3是有理数。
3. C 【 解析】126万亿=126×10¹²=1.26×10¹4。
4. D 【 解析】A 应 为a⁵,B 应 为a⁶,C 应 为a⁴,D 正确。
5.C 【解析】A应为(x+2)(x-2),B 结果不是积的形式，D展开后不等于x²-x+2。
6. B 【解析】x-2=0 且 x+1≠0, 解 得x=2。
7.B 【解析】 √ 12= √ (4×3)=2 √3;A不能合并，C 应为3,D应为2。
8. A 【 解 析 】a²+b²=(a+b)²-2ab=9-4=5。
9. A 【解析】由数轴可知a<0<b, 且 |b|>|a|, 故 a+b>0,
10.D 【解析】3的幂的末位数字以3、9、7、1循环，周期为4;每4项之和的末位为0
(3+9+7+1=20)。2027=4×506+3,前2024项末位和为0,剩余3项末位和为3+9+7=19,故总和的 末位数字为9。

二、填空题
11.> 【解析】 |-3/4|=0.75, |-4/5|=0.8,0.75<0.8, 两个负数绝对值大的反而小，故-3/4>- 4/5.
12.2( x+2)(x-2) 【解析】先提公因式2,再用平方差公式。
13. x≥2 【 解析】被开方数x-2≥0。
14.2 【解析】(π -3)=1,(- 1)²中=1,1+1=2。
15.5 【解析】m=2,n=3,m+n=5。
16.2027 【解析】由x²-3x-1=0 得 x²-3x=1, 代入得1+2026=2027。
17. x+1 【解析】原式=(x/(x-1))·((x+1)(x-1)/x)=x+1。
18. (-2) · a' 【解析】系数为(-2) ,字母部分为a"。

三、解答题
19. 解：原式=2- √3+2-2×( √3/2)+1=2- √3+2- √3+1=5-2 √3。

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20. 解：原式=x²-4-x²+x=x-4 。当x=3时，原式=3-4=-1。
21. 解：(1)原式=3a(a²-2a+1)=3a(a-1)²。
(2)原式=(x-y)(a²-4b²)=(x-y)(a+2b)(a-2b)。
22. 解：原式=((x+1-1)/(x+1))·((x+1)(x-1)/x)=x/(x+1)·(x+1)(x-1)/x=x-1。 由分式有意义可知x≠±1 且x≠0, 故x=2, 当x=2时，原式=2-1=1。
23. 解：(1)由非负数性质得：a=√8=2√2,b=5,c=√ 18=3√2。
(2)∵2 √2+3 √2=5 √2>5,5+2 √2>3 √2,5+3 √2>2 √2,∴能构成三角形。
周长=2 √2+5+3 √2=5+5 √2。
24. 解：(1)猜想：4 √ (4/15)= √ (64/15)。 验证：4 √ (4/15)= √ (16×4/15)= √ (64/15)。
(2)规律：n√(n/(n²-1))=√(n³/(n²-1))(n≥2 的整数)。
验证：n√(n/(n²-1))=√(n²·n/(n²-1))=√(n³/(n²-1))。
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