浙江专版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定和性质.ppt

,8.4,直线、平面垂直的判定和性质,高考数学,考点垂直的判定和性质,一、线面、面面垂直的判定,1.直线与平面垂直,(1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的,任意一条,直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直.,(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的,两条相交,直线都垂,直,那么这条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知,m,n,m,n,=,B,l,m,l,n,则,l,.,2.点到平面的距离、线到面的距离,(1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个,点到这个平面的距离.,知识清单,(2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距,离,叫做这条直线和这个平面的距离.,3.平面与平面垂直,(1)定义:一般地,平面,和,相交,如果它们所成的二面角是,直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作,.,(2)判定定理:一个平面经过另一个平面的,一条垂线,则这两个平,面互相垂直.符号表示为,.,二、线面、面面垂直的性质,1.直线与平面垂直的性质定理,同,垂直,于一个平面的两直线平行.,2.直线与平面所成的角(设为,),(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的,射影,所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.,(2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是,直角,;当一条,直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为,0,的角.,直线,l,和平面,的位置关系,l,或,l,l,l,和,斜交,的取值或范围,=0,=,(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的,直线所成的一切角中,最小,的角.,3.平面与平面垂直的性质定理,两个平面垂直,则一个平面内,垂直于交线,的直线与另一个平面垂,直.符号表示为,a,.,4.二面角的概念及计算,(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,.这,条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,棱为,AB,面分别为,、,的二面角记作二面角,-,AB,-,如果棱为,l,那么这个,二面角记作,-,l,-,.,(2)在二面角,-,l,-,的棱,l,上任取一点,O,以点,O,为垂足,在半平面,和,内分,别作垂直于棱,l,的射线,OA,和,OB,则射线,OA,和,OB,构成的,AOB,叫做二面,角的,平面角,.,二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就,说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做,直二面角,.,线面垂直的判定及性质的解题策略,1.直线与平面垂直的判定定理的应用,应注意直线垂直于平面内两相交,直线,解题思路:线线垂直,线面垂直.,2.直线与平面垂直的性质定理的应用的解题思路:线面垂直,线线垂直.,3.证明直线与平面垂直的常用方法,(1)利用判定定理.,(2)利用平行线垂直于平面的性质(,a,b,a,b,).,(3)利用面面平行的性质(,a,a,).,(4)利用面面垂直的性质(,=,l,a,a,l,a,).,例1(2017浙江名校新高考联盟第四次联考,19)如图,在四面体,ABCD,中,平面,ACD,平面,BCD,BCA,=90,AC,=1,AB,=2,BCD,为等边三角形.,方法技巧,方法,1,(1)求证:,AC,平面,BCD,;,(2)求直线,CD,与平面,ABD,所成角的正弦值.,解题导引,(1)由正三角形和面面垂直的性质得线面垂直利用线面垂直的性质,得线线垂直利用线面垂直的判定得线面垂直,(2)由等体积法求得点面距离解直角三角形得结论,解析(1)取,CD,的中点,M,连接,BM,.,BCD,为等边三角形,BM,CD,又平面,ACD,平面,BCD,平面,ACD,平面,BCD,=,CD,BM,平面,BCD,BM,平面,ACD,BM,AC,又,BC,AC,AC,平面,BCD,.,(2)设点,C,到平面,ABD,的距离为,d,由,V,C,-,ABD,=,V,A,-,BCD,即,d,=,3,1,得,d,=,.,设直线,CD,与平面,ABD,所成角为,则sin,=,=,=,.,评析本题考查三角形性质,线面垂直的判定和性质,等体积法求点面,距离,线面角的求法等基础知识,考查逻辑推理能力和空间想象能力.,面面垂直的判定及性质的解题策略,1.证明平面与平面垂直的方法,(1)利用面面垂直的判定定理.解题思路是:线面垂直,面面垂直.,说明:利用线面垂直推出面面垂直时,注意“直线在其中一个平面,内”这个条件.,在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形,底边的中线垂直于底边,菱形的对角线互相垂直,勾股定理的逆定理等.,(2)利用定义证明,只需判定两平面所成的二面角为直二面角.,2.利用面面垂直的判定定理可以确定线线、线面、面面的位置关系,证,明面面垂直.,3.利用面面垂直的性质定理可以证明线面垂直.,方法,2,例2(2017浙江嘉兴基础测试,18)如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,ABC,是等,边三角形,D,是,AC,的中点,PA,=,PC,二面角,P,-,AC,-,B,的平面角的大小为60,.,(1)求证:平面,PBD,平面,PAC,;,(2)求,AB,与平面,PAC,所成角的正弦值.,解题导引,(1)由三线合一得线线垂直由线面垂直的判定得线面垂直由面面垂直的判定得结论,(2)由面面垂直得线面垂直得出线面角解三角形得结论,解析(1)证明:由题意得,BD,AC,PD,AC,又,BD,PD,=,D,所以,AC,平,面,PBD,.又,AC,平面,PAC,所以平面,PAC,平面,PBD,.,(2)易知,PDB,即为二面角,P,-,AC,-,B,的平面角,所以,PDB,=60,.,作,BO,PD,于,O,连接,AO,由(1)知,BO,平面,PAC,所以,BAO,即为直线,AB,与平面,PAC,所成的角.令,AB,=2,a,则,BD,=,a,BO,=,BD,=,a,所以sin,BAO,=,=,=,.,评析本题考查线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定和性质、线,面角和二面角的平面角的作法和计算.考查空间想象能力和逻辑推理能,力.,折叠问题的解题策略,平面图形翻折为空间图形,要正确作图,正确分析翻折前后点、线、面,的相应位置关系及变化.必须抓住在翻折过程中点、线、面的位置关系,与数量关系,明确哪些是变化的,哪些是不变的,特别要抓住不变的关系,这是解题的条件.一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是,不变的,涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的.,另外,翻折前与折线垂直的直线往往在翻折后构成了二面角的平面角,这对处理翻折问题起到了关键性的作用.,例3(2017浙江吴越联盟测试,17)如图1,在四边形,ABCD,中,A,=,C,=9,0,AB,=,BC,=,CD,=,DA,=1,现将,ABD,沿对角线,BD,所在的直线折起,得,到四面体,ABCD,(如图2).,方法,3,(1)求证:,AC,BD,;,(2)若,CD,DA,求二面角,A,-,BC,-,D,的余弦值.,解题导引,(1)找平面图形和翻折后图形中的长度、角度的变与不变关系证线线垂直由线线垂直得线面垂直由线面垂直得线线垂直,(2)利用面面垂直的性质,过点,D,作平面,ABC,的垂线作二面角的平面角,解直角三角形得结论,解析(1)证明:如图,取,AC,的中点,E,连接,BE,DE,.,因为,BA,=,BC,且,E,为,AC,的中点,所以,BE,AC,同理,DE,AC,又,BE,DE,=,E,所以,AC,平面,BED,所以,AC,BD,.,(2)在平面,BDE,中,过点,D,作,DF,BE,交,BE,的延长线于,F,点,连接,CF,.,由(1)知,AC,平面,BDE,又,AC,平面,ABC,所以平面,ABC,平面,BDE,且平,面,ABC,平面,BDE,=,BE,.,又,DF,BE,所以,DF,平面,ABC,所以,DF,BC,.,又,DC,BC,DF,CD,=,D,所以,BC,平面,CDF,故,BC,CF,则,DCF,即为二面角,A,-,BC,-,D,的平面角.,因为,CD,DA,所以,AC,=,.,在,BDE,中,BE,=,DE,=,BD,=,由余弦定理得cos,DBE,=,=,所以sin,DBE,=,故,DF,=,BD,sin,DBE,=,.,由,DF,BE,DF,BC,得,DF,平面,BCF,所以,DF,CF,故,DFC,=90,所以,sin,DCF,=,=,=,所以cos,DCF,=,.,故二面角,A,-,BC,-,D,的余弦值为,.,评析本题考查空间点、线、面的位置关系,考查学生的运算求解能力,和推理论证能力,以及空间想象能力.,