北京专用高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第三节空间点、直线、平面之间的位置关系,总纲目录,教材研读,1.,四个公理,考点突破,2.,空间中两直线的位置关系,3.,有关角的重要定理,考点二空间两直线的位置关系,考点一平面的基本性质及应用,4.,空间直线与平面、平面与平面的位置关系,考点三异面直线所成的角,1.四个公理,公理1:,如果一条直线上的,两点,在一个平面内,那么这条直线上所,有的点都在此平面内.,公理2:,过,不在同一条直线上,的三点,有且只有一个平面.,公理2的三个推论:,推论1:,经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.,推论2:,两条,相交,直线确定一个平面.,教材研读,推论3:,两条,平行,直线确定一个平面.,公理3:,如果两个不重合的平面有,一个,公共点,那么它们有且只有,一条过该点的公共直线.,公理4:,平行于同一条直线的两条直线,平行,.,2.空间中两直线的位置关系,(1)位置关系的分类:,.,(2)异面直线所成的角,(i)定义:设,a,b,是两条异面直线,经过空间任一点,O,作直线,a,a,b,b,把,a,与,b,所成的,锐角(或直角),叫做异面直线,a,与,b,所成的角(或夹角).,(ii)范围:,.,3.有关角的重要定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角,相等或互补,.,4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系,(1)直线与平面的位置关系有,相交,、,平行,、,直线在平面内,三种情况.,(2)平面与平面的位置关系有,平行,、,相交,两种情况.,1.下列命题:,经过三点确定一个平面;,梯形可以确定一个平面;,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;,若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.,其中正确命题的个数是,(),A.0B.1C.2D.3,答案,C对于,未强调三点不共线,故错误;易知正确;对于,未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故错误.故选C.,C,2.以下四个命题中,正确命题的个数是,(),不共面的四点中,其中任意三点不共线;,若点,A,B,C,D,共面,点,A,B,C,E,共面,则,A,B,C,D,E,共面;,若直线,a,b,共面,直线,a,c,共面,则直线,b,c,共面;,依次首尾相接的四条线段必共面.,A.0B.1C.2D.3,B,答案,B显然是正确的,可用反证法证明;中若,A,、,B,、,C,三点共,线,则,A,、,B,、,C,、,D,、,E,五点不一定共面;构造长方体或正方体,如图,显,然,b,、,c,异面,故不正确;中空间四边形中四条线段不共面.故只有正,确.,3.已知,a,b,是异面直线,直线,c,平行于直线,a,那么,c,与,b,(),A.一定是异面直线B.一定是相交直线,C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线,答案,C假设,c,b,由公理4可知,a,b,与,a,、,b,是异面直线矛盾,故选C.,C,4.如图所示,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,AB,AD,的中点,则异,面直线,B,1,C,与,EF,所成的角的大小为,.,答案,60,解析,连接,B,1,D,1,D,1,C,因,B,1,D,1,EF,故,D,1,B,1,C,(或其补角)为所求角,又,B,1,D,1,=,B,1,C,=,D,1,C,D,1,B,1,C,=60,.,60,典例1,已知:空间四边形,ABCD,(如图所示),E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中,点,G,、,H,分别是,BC,、,CD,上的点,且,CG,=,BC,CH,=,DC,.求证:,(1),E,、,F,、,G,、,H,四点共面;,(2)三直线,FH,、,EG,、,AC,共点.,考点一平面的基本性质及应用,考点突破,EF,BD,.,又,CG,=,BC,CH,=,DC,GH,BD,EF,GH,E,、,F,、,G,、,H,四点共面.,(2)易知,FH,与直线,AC,不平行,但共面,设,FH,AC,=,M,M,平面,EFHG,M,平面,ABC,.,证明,(1)连接,EF,、,GH,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,又平面,EFHG,平面,ABC,=,EG,M,EG,FH,、,EG,、,AC,共点.,方法指导,(1)证明点共线问题:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这,两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;同一法:选,择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.,(2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该,点.,(3)证明点、直线共面问题:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关,点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再,证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.,1-1,如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S,分别是所在棱的中点,则各,图形中,P,Q,R,S,四点共面的是,(填序号).,答案,解析,对于,顺次连接,P,、,Q,、,R,、,S,可证四边形,PQRS,为梯形;,对于,如图所示,取,A,1,A,和,BC,的中点分别为,M,N,顺次连,接,P,、,M,、,Q,、,N,、,R,、,S,可证明六边形,PMQNRS,为正六边形;,对于,顺次连接,P,、,Q,、,R,、,S,可证四边形,PQRS,为平行四边形;,对于,连接,PS,PR,SR,可证,Q,点所在棱与面,PRS,平行,因此,P,Q,R,S,四点,不共面.,1-2,如图所示,四边形,ABEF,和,ABCD,都是梯形,BC,AD,且,BC,=,AD,;,BE,FA,且,BE,=,FA,G,、,H,分别为,FA,、,FD,的中点.,(1)证明:四边形,BCHG,是平行四边形;,(2),C,、,D,、,F,、,E,四点是否共面?为什么?,解析,(1)证明:由已知可知,FG,=,GA,FH,=,HD,可得,GH,AD,且,GH,=,AD,.,又,BC,AD,且,BC,=,AD,GH,BC,四边形,BCHG,为平行四边形.,(2),C,、,D,、,F,、,E,四点共面.理由如下:,解法一:由,BE,FA,且,BE,=,FA,G,为,FA,的中点知,BE,FG,四边形,BEFG,为平行四边形,EF,BG,由(1)可知,BG,CH,EF,CH,EF,与,CH,共面.,又,D,FH,C,、,D,、,F,、,E,四点共面.,解法二:如图所示,延长,FE,、,DC,分别与,AB,的延长线交于点,M,、,M,BE,FA,且,BE,=,FA,B,为,MA,的中点.,BC,AD,且,BC,=,AD,B,为,AM,的中点.,M,与,M,重合.,即,EF,与,CD,相交于点,M,(,M,),C,、,D,、,F,、,E,四点共面.,典例2,(1)如图,在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,BC,1,CD,1,的中点,则下列说法错误的是,(),A.,MN,与,CC,1,垂直B.,MN,与,AC,垂直,C.,MN,与,BD,平行D.,MN,与,A,1,B,1,平行,(2)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N,分别为,DE,BE,EF,EC,的中点,在原正四面体中,考点二空间两直线的位置关系,命题角度一两直线位置关系的判定,GH,与,EF,平行;,BD,与,MN,为异面直线;,GH,与,MN,成60,角;,DE,与,MN,垂直.,以上四个命题中,正确命题的序号是,.,解析,(1)如图,连接,C,1,D,在,C,1,DB,中,MN,BD,故C正确;,CC,1,平面,ABCD,CC,1,BD,MN,与,CC,1,垂直,故A正确;,AC,BD,MN,BD,MN,与,AC,垂直,故B正确;,答案,(1)D(2),A,1,B,1,与,BD,异面,MN,BD,MN,与,A,1,B,1,不可能平行,故D错误.,(2)把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GH,与,EF,为异面直线,BD,与,MN,为异面直线.,连接,GM,易知,GHM,为正三角形,则,GH,与,MN,成60,角.,易知,MN,AF,且,AF,DE,则,DE,MN,.,命题角度二异面直线的判定,典例3,(1)如图,G,H,M,N,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各,图形中直线,GH,与,MN,是异面直线的是,.(填序号),(2),如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段,AB,CD,EF,GH,在原正方体中互为异面直线的对数为,.,答案,(1)(2)3,解析,(1)中,直线,GH,MN,;中,当,G,H,N,三点共面时,M,平面,GHN,因此直线,GH,与,MN,异面;中,连接,MG,易知,GM,HN,因此,GH,与,MN,共,面;中,当,G,M,N,三点共面时,H,平面,GMN,因此直线,GH,与,MN,异面.,(2)将展开图还原为正方体,如图所示,显然,AB,与,CD,EF,与,GH,AB,与,GH,都是异面直线,而,AB,与,EF,相交,CD,与,GH,相交,CD,与,EF,平行,故互为异面直线的有且只有3对.,方法指导,空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对,于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯,形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于,垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.,2-1,给定下列关于异面直线的命题:,命题(1):若平面,上的直线,a,与平面,上的直线,b,为异面直线,直线,c,是,与,的交线,那么,c,至多与,a,b,中的一条相交;,命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.,那么,(),A.命题(1)正确,命题(2)不正确,B.命题(2)正确,命题(1)不正确,C.两个命题都正确,D.两个命题都不正确,D,答案,D当,c,与,a,b,都相交,但交点不是同一个点时,平面,上的直线,a,与,平面,上的,b,为异面直线,因此判断(1)是假命题,如图所示;对于(2),可以,取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不,平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,从而(2)是假命题.故选D.,典例4,如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,PA,底面,ABC,D,是,PC,的中点.已知,BAC,=,AB,=2,AC,=2,PA,=2.,(1)求三棱锥,P,-,ABC,的体积;,(2)求异面直线,BC,与,AD,所成角的余弦值.,考点三异面直线所成的角,解析,(1)因为,PA,底面,ABC,所以,PA,是三棱锥,P,-,ABC,的高.又,S,ABC,=,2,2,=2,所以三棱锥,P,-,ABC,的体积为,V,=,S,ABC,PA,=,2,2=,.,(2)如图,取,PB,的中点,E,连接,DE,AE,则,ED,BC,所以,ADE,(或其补角)是,异面直线,BC,与,AD,所成的角.,易知,PB,=2,PC,=4,BC,=4,则在,ADE,中,DE,=2,AE,=,AD,=2,所以cos,ADE,=,=,.,故异面直线,BC,与,AD,所成角的余弦值为,.,方法指导,用平移法求异面直线所成的角的三步法,(1)一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;,(2)二证:即证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角;,(3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是,要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.,3-1,空间四边形,ABCD,中,AB,=,CD,且,AB,与,CD,所成的角为30,E,、,F,分别,为,BC,、,AD,的中点,求,EF,与,AB,所成角的大小.,解析,取,AC,的中点,G,连接,EG,、,FG,则,EG,AB,且,EG,=,AB,FG,CD,且,FG,=,CD,GEF,(或它的补角)为,EF,与,AB,所成的角,EGF,(或它的补角)为,AB,与,CD,所成的角.,AB,与,CD,所成的角为30,EGF,=30,或150,.,由,AB,=,CD,知,EG,=,FG,由,EG,=,FG,知,EFG,为等腰三角形,当,EGF,=30,时,GEF,=75,;,当,EGF,=150,时,GEF,=15,.,故,EF,与,AB,所成的角为15,或75,.,