格林公式和曲线积分路径无关.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、区域连通性的分类,设,D,为平面区域,如果,D,内任一闭曲线所围成的部分都属于,D,则称,D,为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,D,D,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向,:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),y,x,o,a,b,D,c,d,A,B,C,E,同理可证,y,x,o,d,D,c,C,E,证明(2),D,两式相加得,G,D,F,C,E,A,B,证明(3),由(2)知,x,y,o,L,1.简化曲线积分,三、简单应用,A,B,2.简化二重积分,x,y,o,解,x,y,o,L,y,x,o,x,y,o,(注意格林公式的条件),3.计算平面面积,解,其中,L,是曲线|,x,|+|,y,|=1围成的区域,D,的正向边界。,1,1,-,1,-,1,L,D,y,x,O,格林公式的应用,（格林公式）,从,证明了,：,练习1,计算积分,解,练习2,求星形线,所界图形的面积。,解,y,x,O,D,L,1,1,-,1,-,1,重要意义：,1.它,建立了,二重积分,与,曲线积分,的一种等式关系,2.它,揭示了,函数在区域,内部,与,边界,之间的内在联系,3.从它出发，可以,导出,数学物理中的,许多重要公式,四、曲线积分与路径无关的定义,如果对于区域,G,内任意指定的两点,A,、,B,以及,G,内,从点,A,到点,B,的任意两条曲线,L,1,，,L,2,有,G,y,x,o,B,A,=,=,=0,所以,=,=,=,于是，在 内,应用格林公式，有,与路径无关.,L,与路径无关,解,因此，积分与路径无关。,则,P,，,Q,在全平面上有,连续的一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,取一简单路径：,L,1,+,L,2,.,因此，积分与路径无关。,全平面是单连通域。,解,因此，积分与路径无关。,则,P,，,Q,在全平面上有连续的,一阶偏导数，且,全平面是单连通域。,因此，积分与路径无关。,全平面是单连通域。,取一简单路径：,L,1,+,L,2,.,若曲线积分 与路线无关，则函数 的全微分是：,称函数 是 的,原函数,。,原函数概念：,定理5、,若在单连通区域,G,内函数,u(x,y),是,Pdx+Qdy,的原函数，而,A,(x1,y1),与,B,(x1,y1),是,G,内任意两点，则,例1、计算,例2、计算,沿着不与,oy,轴相交的途径。,解,例4、计算,沿着不与,oy,轴相交的途径。,已知二元函数的全微分，求其原函数的方法：,（1）凑微分法；,（2）曲线积分计算法。,例5,验证：在,xoy,面内，,是某个函数,u,(,x,y,)的全微分，并求出一个这样的函数。,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3.格林公式的应用.,格林公式;,五、小结,与 路 径 无 关 的 四 个 等 价 命 题,条件,等,价,命,题,若区域,如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外,边界：,内,边界：,