第三篇-数学分支中的相关数学模型.ppt

第三篇 数学分支中的相关数学模型,1 高等数学相关模型,1.1卫星轨道长度,1.2射击命中概率,1.3人口增长率,2 线性代数相关模型,2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络,3 概率统计相关模型,3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力,3.3商品销售量与价格,1 高等数学相关模型,问题,1.1 卫星轨道长度,人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆,.,我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面,439km,，远地点距地球表面,2384km,，地球半径为,6371km,求该卫星的轨道长度.,分析,卫星轨道椭圆的参数方程,椭圆长度,分别是长、短半轴,椭圆积分,无法解析计算,输出,MATLAB,程序,function y=x5(t),a=8755;b=6810;y=sqrt(a2*sin(t).2+b2*cos(t).2);,t=0:pi/10：pi/2,y1=x5(t);,L1=4*trapz(t,y1),L2=4*quad(x5,0,pi/2,le-6),L1=4.908996526785276e+004,L2=4.908996531830460e+004,输出,求解,梯形公式,辛普森公式,评注,问题,1.2 射击命中概率,炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标中心发射时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差,.,分析,设目标中心,x,=0,y,=0,无法解析计算,设弹着点围绕中心成二维正态分布,且偏差在,X,方向和,Y,方向相互独立,.,若椭圆在,X,方向半轴长,120m,Y,方向半轴长,80,设弹着点偏差的均方差在,X,和,Y,方向均为,100m.,求炮弹落在椭圆形区域内的概率,.,则弹着点(,x,y,)概率密度函数,炮弹命中椭圆形区域的概率,求解：,蒙特卡罗方法,这是一种随机实验的方法，用它来计算定积分的原理,可以从下面的直观例子得出。如图所示：,投石算面积,随机投点法,从概率论的观点看上例，记投点的坐标为,每个坐标视为相互独立的、（0，1）取间内均匀分布的随机变量，,简称（0，1）随机数。,根据大数定律，事件“落在四分之一单位圆面积内”发生,的频率 （依概率）收敛于（）该事件发生的概率P，,不妨写作,，,而 P可以用积分表示为,于是当,，可以用随机投点法作近似计算,这里n是二维（0，1）随机数 的总数，k是其中,满足 的数目。（0，1）随机数可以用计算机,方便的产生。,rand(1,n)产生n个（0，1）随机数，用于蒙特卡罗方法。,重积分的计算：,设,是相互独立的（0，1）随机数，,判断每个点,是否落在,域内，将落在,域内的m个点记作,则,求解：,蒙特卡罗方法,作变换,以100(m)为1单位，则,MATLAB,程序,输出,a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;,n=100000;,for i=1:n,x=rand(1,2);,y=0;,if x(1)2+x(2)2=1,y=exp(-0.5*(a2*,P=0.3752,m=78.552,x(1)2+b2*x(2)2);,z=z+y,m=m+1,end,end,p=4*a*b*z/2/pi/n,m,评注,问题1,1.3 人口增长率,20,世纪美国人口数据(10,6,),计算各年份人口增长率,.,记时刻,t,人口为,x,(,t,)，则人口相对增长率为,分析,记1900年为,k,=0,求解：,数值微分三点公式,年增长率,2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04,评注,问题2,已知某地区,20,世纪,70,年代的人口增长率,且1970年人口为210（百万），,试估计,1980,年的人口,.,记时刻,t,人口为,x,(,t,)，则人口增长满足微分方程,分析,记1970年为,k,=0,求解,评注,1980,年该地区人口为,230.2,（百万）,数值积分梯形公式,为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为,x,轴，由南到北方向为,y,轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在,x,轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的,y,方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位,mm,）,.,习题：国土面积问题,根据地图比例,18mm,相当于,40km,，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值,41288km,比较,.,2 线性代数相关模型,背景,2.1 投入产出综合平衡分析,国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）.,投入产出综合平衡模型:,根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求.,设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）,简化,问题,产出,投入,农业,制造业,服务业,外部,需求,总产出,农业,15,20,30,35,100,制造业,30,10,45,115,200,服务业,20,60,/,70,150,外部,需求,35,110,75,总投入,100,200,150,说明,假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表,投入,农业,制造业,服务业,农业,0.15,0.10,0.20,制造业,0.30,0.05,0.30,服务业,0.20,0.30,0,说明,表中数字称为,投入系数,或,消耗系数,假设系数是常数,产出,设有,n,个部门，已知投入系数，给定外部需求，建 立求解各部门总产出的模型.,如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，三个部门总产出？,模型可行,：对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出.为使模型可行,投入系数满足？,如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，他们的总产出应分别增加多少？,分析,投入产出综合平衡分析,若有,n,个部门，记一定时期内第,i,个部门的总产出为,x,i,，其中对第,j,个部门的投入为,x,ij,，满足的外部需求为,d,i,，则,投入产出表每一行都满足,记第,j,个部门的单位产出需要第,i,个部门的投入为,a,ij,，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有,记,投入系数矩阵,产出向量,需求向量,则,或,若,I-A,可逆，则,各部门总产出,MATLAB,程序,a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;,d=50 150 100;,b=eye(3)-a;,x=bd,c=inv(b),三部门总产出:139.2801,267.6056,208.1377亿元,外部需求分别增加1个单位时，总产出分别增加,C=1.3459 0.2504 0.3443,0.5634 1.2676 0.4930,0.4382 0.4304 1.2167,部门关联系数,当对农业的需求增加1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位,模型可行,若,问题,2.2 输电网络,一种大型输电网络可简化为电路,负载电阻,线路内阻,电源电压,V,负载电流,列出各负载上电流的方程,设,讨论情况,n,=10,求,及总电流,分析,记,上的电流为,根据电路中电流、电压关系,列出,消,和,求电流方程,求电流方程,其中,MATLAB计算电流,程序,r=1;R=6;v=18;n=10;,b1=sparse(1,1,v,n,1);,b=full(b1);,a1=triu(r*ones(n,n);,a2=diag(R*ones(1,n);,a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);,a=a1+a2+a3;I=ab;I0=sum(I),k,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.9970,6.0000,2.0005,2.0000,1.3344,1.3333,0.8907,0.8889,0.5955,0.5926,0.3995,0.3951,0.2702,0.2634,0.1858,0.1756,0.1324,0.1171,0.1011,0.0780,0.0867,0.0520,k,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,0.0347,0.0231,0.0154,0.0103,0.0069,0.0047,0.0032,0.0023,0.0018,0.0015,说明,从,n,=10到,n,=20，,I,0,几乎不变，,I,1,-,I,5,变化也很小,I,k+1,差不多是,I,k,的2/3倍,如果,n,增加到50,100?,可以得到类似的结论,证明,I,k+1,是,I,k,的2/3倍,习题：种群的繁殖与稳定收获,种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变,.,种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性,.,种群年龄记作 当年年龄 的种群数量记作 ，繁殖率记作 （每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作 为一年的死亡率），收获量记作 ，则来年年龄 的种群数量 应为,（,1,）若 已知，给定收获量 ，建立求各年龄的稳定种群数量 的模型（用矩阵、向量表示）。,（,2,）设,如要求 为,500,，,400,，,200,，,100,，,100,求 。,（,3,）使 均为,500,，如何达到,?,解：（1）,为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。因此,则，,即,3 概率统计相关模型,问题,3.1合金强度与碳含量,合金的强度,y,(,kg/mm,),与其中的碳含量,x,(,%)有比较密切的关系，从生产中收集一批数据.,求拟合函数,y(x),，再用回归分析进行检验.,x,0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23,y,42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5,分析,描点作图,y,与,x,近似,为线性,拟合y=ax+b.,MATLAB,程序,x=0.1:0.01:0.23;,x=x(1:9),x(11:12),x(14);,y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;,pp=,polyfit,(x,y,1);,xx=0.08:0.01:0.25;,yy=polyval(pp,xx);,plot(x,y,r*,xx,yy),拟合,y=ax+b,a=140.6194,b=27.0269,评注,是否线性显著,有无异常点,预测,程序hejinpoly,MATLAB,统计工具箱,多元线性回归,b=regress(Y,X),b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),Y,X,为按列排列的数据,说明,b,bint为回归系数估计值和他们的置信区间,alpha为显著性水平（缺省时设定为0.05）,stats,包括R,2,，F，P值,r,rint为残差及置信区间，可用rcoplot(r,rint)画图,合金强度与碳含量问题,回归模型,回归模型与统计检验,MATLAB,程序,x1=0.1:0.01:0.18;,x=x1 0.2 0.21 0.23;,y=,42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5,;,x=ones(12,1)x;,b,bint,r,rint,stats=,regress,(y,x);,b,bint,stats,rcoplot(r,rint),b=27.0269 140.6194,bint=22.3226 31.7313,111.7842 169.4546,stats=0.9219 118.0670 0.0000,y=27.0269+140.6194x,线性显著,模型成立,有无异常点,画残差分布图,除第,8,个数据外其余残差的置信区间均包含零点,第,8,个点应视为异常点，剔除后重新计算，可得,b=26.8968 139.9043,bint=24.1330 29.6606,122.7939 157.0148,stats=0.9744 342.1259 0.0000,程序hejinre,问题,3.2 年龄与运动能力,将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，,求年龄对这种运动能力的影响关系.,多项式回归,年龄,17 19 21 23 25 27 29,第一人,20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35,第二人,24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3,分析,MATLAB,散点图程序,每组两人测量其旋转定向能力.,x=17:2:29;,y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;,y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;,plot(x,y1,+,x,y2,+),axis(15 30 15 35),应拟合一条二次曲线,可利用ployfit,一元多项式回归,年龄与运动能力的二次模型,MATLAB,程序,x1=17:2:29;x=x1,x1;,y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35,24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;,p,S=polyfit(x,y,2);p,p=-0.2003 8.9782-72.2150,a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150,S是一个数据结构,Y,delta=polyconf(p,x,S);Y,得到,x,与,y,的拟合效果,求解,程序duo1,统计检验,y1=mean(y);,rsquare=sum(Y-y1).2)./sum(y-y1).2),s=sqrt(sum(y-Y).2)./12),rsquare=0.6980 s=2.0831,衡量拟合优劣的指标,问题,3.3 商品销售量与价格,某厂生产电器的销售量,y,与竞争对手的价格,x,1,和本厂的价格,x,2,有关.在10个城市的销售记录,建立,y,与,x,1,和,x,2,的关系式,x,1,元,120 140 190 130 155 175 125 145 180 150,x,2,元,100 110 90 150 210 150 250 270 300 250,y,个,102 100 120 77 46 93 26 69 65 85,分析,对模型和系数进行检验,若本厂售价160元，对手售价170元，预测销售量.,画,散点图,y,与,x,2,有较明显的线性关系，而,y,与,x,1,之间的关系则难以确定，作几种尝试，用统计分析决定优劣.,设回归模型,MATLAB,程序,x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150;,x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;,y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;,x=ones(10,1)x1 x2;,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);,b=66.5176 0.4139 0.2698,bint=-32.5060 165.5411,-0.2018 1.0296,-0.4611 -0.0785,stats=0.6527 6.5786 0.0247,评注,结果不是太好,二次函数改进,MATLAB,统计工具箱,多元二项式回归 rstool,rstool(x,y,model,alpha),x,y,分别,为n,x,m,矩阵和n维向量,说明,alpha为显著性水平（缺省时为0.05）,model,由下列,4,个模型中选择,1,个（缺省时为线性模型）,linear,线性,purequadratic,纯二次,interaction,交叉,quadratic,完全二次,纯二次模型,x1=120,140,190,130,155,175,125,145,180,150;,x2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;,y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;x=x1,x2;,rstool(x,y,purequadratic),程序rstoo,预测,