高三函数的周期性与对称性.公开课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的周期性与对称性,对称性的几个结论,若,f,（,x,+,a,）,f,（,b,x,），则函数,f,（,x,）的图象关于直线,x,对称，特别地，若,f,（,a,+,x,）,f,（,a,x,），函数,f,（,x,）的图象关于直线,x,a,对称；,若有,f,（,a,+,x,）,f,（,b,x,），则函数,f,（,x,）的图象关于点（，0）中心对称，特别地，若,f,（,a,+,x,）,f,（,a,x,），则函数,f,（,x,）的图象关于点（,a,，0）中心对称.,周期性的几个结论,若,f,（,x,+,a,）,f,（,x,+,b,）（,a,b,），则,f,（,x,）是周期函数，,b,a,是它的一个周期；,若,f,（,x,+,a,）,f,（,x,）（,a,0），则,f,（,x,）是周期函数，2,a,是它的一个周期；,若,f,（,x,+,a,）（,a,0，且,f,（,x,）0），,则,f,（,x,）是周期函数，2,a,是它的一个周期.,对称轴,对称中心,周期,x,o,y,：若函数 的图象关于直线,对称，则 为周期函数，且,命题1,：若函数 的图象关于点,对称，则 为周期函数，且,命题2,：若函数 的图象关于直线 及点,对称，则 为周期函数，且,命题3,（这里的周期不一定是最小正周期）,已知函数 是定义在R上的偶函数，且满足 ，当 时，则 。,练习,【例1】,已知函数,f,（,x,）的定义域为,R,，则下列命题中:若,f,（,x,2）是偶函数，则函数,f,（,x,）的图象关于直线,x,2对称；,若,f,（,x,+2）,f,（,x,2），则函数,f,（,x,）的图象关于原点对称；,函数,y,f,（2+,x,）与函数,y,f,（2,x,）的图象关于直线,x,2对称；,函数,y,f,（,x,2）与函数,y,f,（2,x,）的图象关于直线,x,2对称.,其中正确的命题序号是,.,【解析】,是错误的，由于,f,（,x,2）是偶函数得,f,（,x,2）,f,（,x,2），所以,f,（,x,）的图象关于直线,x,2对称；是错误的，由,f,（,x,+2）,f,（,x,2）得,f,（,x,+4）,f,（,x,），进而得,f,（,x,+8）,f,（,x,），所以,f,（,x,）是周期为8的周期函数是错误的，在第一个函数中，用,x,代,x,，,y,不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于,y,轴对称；是正确的，令,x,2,t,，则2,x,t,，函数,y,f,（,t,)与,y,f,（,t,）的图象关于直线,t,0对称，即函数,y,f,（,x,2）与,y,f,（2,x,）的图象关于直线,x,2对称.,【例2】(2005年,福建),f,（,x,）是定义在,R,上的以3为周期的奇函数，且,f,（2）0，则方程,f,（,x,）0在区间（0，6）内解的个数的最小值是,(),A2 B3,C4 D5,【解析】,f,（,x,）为奇函数，,f,（0）0，又函数,f,（,x,）以3为周期，且,f,（2）0，,f,（2）0，,f,（1）0，,f,（4）0，,f,（3）0，,f,（5）0，,在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.,【例3】,已知函数,f,（,x,）的定义域为,x,x,R,且,x,1，,f,（,x,+1）为奇函数，当,x,1时，,f,（,x,）2,x,2,x,+1，则当,x,1时，,f,（,x,）的递减区间是,（,）,A,，+）B（1，,C,，+）D（1，,【解析】,由,f,（,x,+1）为奇函数得,f,（,x,+1）,f,（,x,+1），,f,（,x,）的图象关于点（1，0）中心对称，又由已知可画出,f,（,x,）在（，1）上的图象，再根据中心对称画出,f,（,x,）在（1，+）上的图象，由图象易知，,f,（,x,）在 ，+）上单调递减，故应选C.,【例4】,(,2005年,广东),对函数,f,（,x,），当,x,（，）时，,f,（2,x,）,f,（2+,x,），,f,（7,x,）,f,（7+,x,），在闭区间,0,7,上，只有,f,（1）,f,（3）0.,（1）试判断函数,y,f,（,x,）的奇偶性；,（2）试求方程,f,（,x,）0在闭区间,2005，2005,上的根的个数，并证明你的结论.,【解】,（1）由已知得,f,（0）0，,f,（,x,）不是奇函数，又由,f,（2,x,）,f,（2+,x,），得函数,y,f,（,x,）的对称轴为,x,2，,f,（,1）,f,（5）0，,f,（,1）,f,（1），,f,（,x,）不是偶函数.故函数,y,f,（,x,）是非奇非偶函数；,(2)由,f,（4,x,）,f,（14,x,）,f,（,x,）,f,（,x,+10），,从而知,y,f,（,x,）的周期是10.又,f,（3）,f,（1）0，,f,（11）,f,（13）,f,（7）,f,（9）0，故,f,（,x,）在,0，10,和,10，0,上均有两个解，从而可知函数,y,f,（,x,）在,0，2005,上有402个解，在上,2005，0,有400个解，所以函数,y,f,（,x,）在,2005，2005,上有802个解.,练习：已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(-x+3)=f(x)，且f(1)=-1，则 f(5)+f(14)=_.,例5：,