高考数学二轮复习专题二函数与导数第4讲导数的热点问题理.ppt

,第,4,讲导数的热点问题,专题二函数与导数,热点分类突破,真题押题精练,热点分类突破,热点一利用导数证明不等式,用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力,.,例,1,已知函数,f,(,x,),(ln,x,k,1),x,(,k,R,).,(1),当,x,1,时，求,f,(,x,),的单调区间和极值；,解,f,(,x,),x,ln,x,k,1,ln,x,k,，,当,k,0,时，因为,x,1,，所以,f,(,x,),ln,x,k,0,，,函数,f,(,x,),的单调递增区间是,(1,，,),，无单调递减区间，无极值；,当,k,0,时，令,ln,x,k,0,，解得,x,e,k,，,当,1,x,e,k,时，,f,(,x,)e,k,时，,f,(,x,)0.,所以函数,f,(,x,),的单调递减区间是,(1,，,e,k,),，,单调递增区间是,(e,k,，,),，,在区间,(1,，,),上的极小值为,f,(e,k,),(,k,k,1)e,k,e,k,，无极大值,.,解答,解答,(2),若对于任意,x,e,，,e,2,，都有,f,(,x,)4ln,x,成立，求,k,的取值范围；,证明,思维升华,(3),若,x,1,x,2,，且,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，证明：,x,1,x,2,e,2,k,.,证明,因为,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,由,(1),知，函数,f,(,x,),在区间,(0,，,e,k,),上单调递减，,在区间,(e,k,，,),上单调递增，且,f,(e,k,1,),0.,不妨设,x,1,x,2,，则,0,x,1,e,k,x,2,e,k,1,，,因为,f,(,x,),在区间,(e,k,，,),上单调递增，,因为,x,(0,，,e,k,),，所以,ln,x,k,0,，,x,2,0,，,所以,x,1,x,2,e,2,k,成立,.,所以函数,h,(,x,),在区间,(0,，,e,k,),上单调递增，,故,h,(,x,),h,(e,k,),，,思维升华,用导数证明不等式的方法,(1),利用单调性：若,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，则,x,a,，,b,，则,f,(,a,),f,(,x,),f,(,b,),；,对,x,1,，,x,2,a,，,b,，且,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,对于减函数有类似结论,.,(2),利用最值：若,f,(,x,),在某个范围,D,内有最大值,M,(,或最小值,m,),，则对,x,D,，有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),m,).,(3),证明,f,(,x,),g,(,x,),，可构造函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，证明,F,(,x,)0.,跟踪演练,1,(2017,全国,),已知函数,f,(,x,),ax,2,ax,x,ln,x,，且,f,(,x,),0.,(1),求,a,；,解答,解,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,设,g,(,x,),ax,a,ln,x,，则,f,(,x,),xg,(,x,),，,f,(,x,),0,等价于,g,(,x,),0,，,因为,g,(1),0,，,g,(,x,),0,，故,g,(1),0,，,当,0,x,1,时，,g,(,x,)1,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增，,所以,x,1,是,g,(,x,),的极小值点，故,g,(,x,),g,(1),0.,综上，,a,1.,(2),证明：,f,(,x,),存在唯一的极大值点,x,0,，且,e,2,f,(,x,0,)0,；,当,x,(,x,0,，,1),时，,h,(,x,)0.,因为,f,(,x,),h,(,x,),，,所以,x,x,0,是,f,(,x,),的唯一极大值点,.,由,f,(,x,0,),0,，得,ln,x,0,2(,x,0,1),，,故,f,(,x,0,),x,0,(1,x,0,).,因为,x,x,0,是,f,(,x,),在,(0,1),上的最大值点，,由,e,1,(0,1),，,f,(e,1,),0,，,得,f,(,x,0,),f,(e,1,),e,2,.,所以,e,2,f,(,x,0,)0),，定义,h,(,x,),max,f,(,x,),，,g,(,x,),(1),求函数,f,(,x,),的极值；,解答,解,函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,1,f,(,x,),3,ax,2,6,x,3,x,(,ax,2),，,a,0,，,x,1,0),的零点个数,.,解答,思维升华,解,由,(1),知，,f,(,x,),在,(0,，,),上的最小值为,h,(,x,),max,f,(,x,),，,g,(,x,),在,(0,，,),上无零点,.,又,g,(1),0,，,h,(,x,),max,f,(,x,),，,g,(,x,),在,(0,，,),上有一个零点,.,设,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),ax,3,3,x,2,1,ln,x,(0,x,1),，,(,x,),在,(0,1),上单调递减,.,(,),当,0,x,x,0,时，,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),(,x,0,),0,，,h,(,x,),f,(,x,),且,h,(,x,),为减函数,.,又,h,(,x,0,),f,(,x,0,),g,(,x,0,),ln,x,0,0,，,h,(,x,),在,(0,，,x,0,),上有一个零点；,(,),当,x,x,0,时，,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),(,x,0,),0,，,h,(,x,),g,(,x,),且,h,(,x,),为增函数，,g,(1),0,，,h,(,x,),在,(,x,0,，,),上有一零点；,从而,h,(,x,),max,f,(,x,),，,g,(,x,),在,(0,，,),上有两个零点，,综上所述，当,0,a,2,时，,h,(,x,),无零点,.,思维升华,(1),函数,y,f,(,x,),k,的零点问题，可转化为函数,y,f,(,x,),和直线,y,k,的交点问题,.,(2),研究函数,y,f,(,x,),的值域，不仅要看最值，而且要观察随,x,值的变化,y,值的变化趋势,.,跟踪演练,2,(2017,届云南曲靖一中月考,),已知,f,(,x,),2,x,ln,x,，,g,(,x,),x,3,ax,2,x,2.,(1),如果函数,g,(,x,),的单调递减区间为,，求函数,g,(,x,),的解析式；,解答,解,g,(,x,),3,x,2,2,ax,1,，,代入得,a,1,，,g,(,x,),x,3,x,2,x,2.,解答,(2),在,(1),的条件下，求函数,y,g,(,x,),的图象在点,P,(,1,，,g,(,1),处的切线方程；,解,由,(1),知，,g,(,1),1,，,g,(,x,),3,x,2,2,x,1,，,g,(,1),4,，,点,P,(,1,1),处的切线斜率,k,g,(,1),4,，,函数,y,g,(,x,),的图象在点,P,(,1,1),处的切线方程为,y,1,4(,x,1),，,即,4,x,y,5,0.,解答,(3),已知不等式,f,(,x,),g,(,x,),2,恒成立，若方程,a,e,a,m,0,恰有两个不等实根，求,m,的取值范围,.,解,由题意知，,2,x,ln,x,3,x,2,2,ax,1,对,x,(0,，,),恒成立，,当,0,x,0,；当,x,1,时，,h,(,x,)0,，,当,x,1,时，,h,(,x,),取得最大值，,h,(,x,),max,h,(1),2,，,a,2.,令,(,a,),a,e,a,，则,(,a,),e,a,a,e,a,e,a,(,a,1),，,(,a,),在,2,，,1,上单调递减，,在,(,1,，,),上单调递增，,当,a,时，,(,a,),，,方程,a,e,a,m,0,恰有两个不等实根，,热点三利用导数解决生活中的优化问题,生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优,.,例,3,(2017,届福建福州外国语学校期中,),罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距,m,米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为,32,万元，距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为,(2,),x,万元,.,假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为,y,万元,.,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式；,解答,解,设需新建,n,个桥墩，,(2),当,m,96,米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用,y,最小？,解答,思维升华,当,0,x,16,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在区间,(0,16),内为减函数；,当,16,x,0,，,f,(,x,),在区间,(16,96),内为增函数，,故需新建,5,个桥墩才能使余下工程的费用,y,最小,.,思维升华,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,(1),建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求导：求函数的导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),求最值：比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,的点的函数值的大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值,.,(4),作答：回归实际问题作答,.,跟踪演练,3,图,1,是某种称为,“,凹槽,”,的机械部件的示意图，图,2,是凹槽的横截面,(,阴影部分,),示意图，其中四边形,ABCD,是矩形，弧,CmD,是半圆，凹槽的横截面的周长为,4.,若凹槽的强度,T,等于横截面的面积,S,与边,AB,的乘积，设,AB,2,x,，,BC,y,.,解答,(1),写出,y,关于,x,的函数表达式，并指出,x,的取值范围；,解,易知半圆,CmD,的半径为,x,，,故半圆,CmD,的弧长为,x,.,所以,4,2,x,2,y,x,，,解答,(2),求当,x,取何值时，凹槽的强度最大,.,解,依题意，设凹槽的强度为,T,，横截面的面积为,S,，则有,真题押题精练,真题体验,(2017,全国,),已知函数,f,(,x,),a,e,2,x,(,a,2)e,x,x,.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,解,f,(,x,),的定义域为,(,，,),，,f,(,x,),2,a,e,2,x,(,a,2)e,x,1,(,a,e,x,1)(2e,x,1).,(i),若,a,0,，则,f,(,x,)0,，则由,f,(,x,),0,，得,x,ln,a,.,当,x,(,，,ln,a,),时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上单调递减，在,(,ln,a,，,),上单调递增,.,解答,(2),若,f,(,x,),有两个零点，求,a,的取值范围,.,解答,解,(i),若,a,0,，由,(1),知，,f,(,x,),至多有一个零点,.,当,a,1,时，由于,f,(,ln,a,),0,，故,f,(,x,),只有一个零点；,即,f,(,ln,a,)0,，故,f,(,x,),没有零点；,又,f,(,2),a,e,4,(,a,2)e,2,2,2e,2,20,，,故,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上有一个零点,.,因此,f,(,x,),在,(,ln,a,，,),有一个零点,.,综上，,a,的取值范围为,(0,1).,押题预测,证明,押题依据,有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法,.,本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力,.,押题依据,已知,f,(,x,),a,sin,x,，,g,(,x,),ln,x,，其中,a,R,，,y,g,1,(,x,),是,y,g,(,x,),的反函数,.,(1),若,0,a,1,，证明：函数,G,(,x,),f,(1,x,),g,(,x,),在区间,(0,，,1),上是增函数；,证明,由题意知,G,(,x,),a,sin(1,x,),ln,x,，,a,cos(1,x,)0,，,故函数在区间,(0,，,1),上是增函数,.,证明,证明,由,(1),知，当,a,1,时，,G,(,x,),sin(1,x,),ln,x,在,(0,，,1),上单调递增,.,解答,(3),设,F,(,x,),g,1,(,x,),mx,2,2(,x,1),b,，若对任意的,x,0,，,m,0,恒成立，求满足条件的最小整数,b,的值,.,解,由,F,(,x,),g,1,(,x,),mx,2,2(,x,1),b,e,x,mx,2,2,x,b,20,，,即,F,(,x,),min,0.,又,h,(,x,),F,(,x,),e,x,2,mx,2,，,h,(,x,),e,x,2,m,，,m,0,，,h,(,x,),单调递增；又,h,(0)0,，,则必然存在,x,0,(0,1),，使得,h,(,x,0,),0,，,F,(,x,),在,(,，,x,0,),上单调递减，在,(,x,0,，,),上单调递增，,又,m,0,，则,x,0,(0,，,ln 2),，,m,(,x,),在,(0,，,ln 2),上单调递增，,m,(,x,)2ln 2,，又,b,为整数，,最小整数,b,的值为,2.,